精品解析：江苏省苏州市高新区第一中学2024-2025学年九年级上学期第一次考试数学试题

2024-2025 学年九年级 (上) 数学 一、选择题： 1. 二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3、、 5 B. C. 3、 、 D. 3、、 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的一般形式，所以此题可根据二次函数的一般形式“形如”进行求解即可． 【详解】解∶ 二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是3、 、 ， 故选∶C． 2. 下列函数关系式中： （1）（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：（1）是二次函数； （2）不二次函数； （3）是二次函数； （4）不是二次函数； （5）不是二次函数； （6），不确定m是否为0，不一定是二次函数； 故选：B． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：根据二次函数的图象与性质可知： 抛物线的对称轴是直线，即轴， 故选：． 4. 将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向上平移个单位 D. 向下平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，已知点平移前后的坐标判断平移方式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 点向右平移个单位可得到点， 将抛物线向右平移个单位可得到抛物线， 故选：． 5. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐项分析判定即可． 【详解】解∶ 二次函数的二次项系数为1，则其图象开口向上， 其对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小， 故选∶C． 6. 与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是利用顶点坐标的变化确定抛物线的变换．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相同，求出对称后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为， 与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是． 故选：C． 7. 已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可． 【详解】解：如图所示， A．由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意； B．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； C．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； D．由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意； 故选：D 8. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 二、填空题： 9. 抛物线 的顶点是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据（）的顶点坐标为求解即可． 【详解】解： 抛物线的顶点是， 故答案为： ． 10. 若是关于x的二次函数，则a的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义可得，且，求解即可得． 【详解】解：由题意得：，且， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记二次函数的一般形式的结构特征：（1）函数的关系式是整式；（2）自变量的最高次数是2；（3）二次项系数不等于零． 11. 若抛物线与抛物线关于轴对称，则__________，__________． 【答案】 ①. ， ②. 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线关于轴对称，熟练掌握抛物线关于轴对称的特征是解题的关键．根据抛物线关于轴对称的特征可知，的符号不变，的符号变为相反数即可得到答案． 【详解】解：根据抛物线关于轴对称的特征可知，的符号不变，的符号变为相反数 抛物线关于轴对称的抛物线为， 即 故答案为：，． 12. 若为二次函数图象上的三点，则的大小关系是_________(用“<”表示) ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小．正确计算函数值是解题的关键．分别计算的值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， 故答案为：． 13. 抛物线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则三角形的面积为____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，根据轴和y轴上点的坐标特征可求A，B的坐标，由于是直角三角形，根据直角三角形的面积计算公式即可求出结果． 【详解】解：令，则 解得：， ∴点的坐标为， 令，则 ∴点的坐标为， ∵点的坐标为，点B的坐标为， ∴，． ∴． 14. 二次函数y=ax2+c的图象与y=3x2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点(1，1)，则该二次函数的解析式为________________ ． 【答案】y=-3x2+4 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，利用待定系数法求解． 【详解】解：由题意可设所求函数为：， ∵所求函数经过点(1，1)， ∴， ∴c=4， ∴所求函数为：， 故答案为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键． 15. 如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． （1）当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； （2）当______时，新函数有最小值； （3）当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； （4）直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 【答案】（1）5，3 （2）-2或2 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案； （2）根据函数图象即可求得； （3）根据函数图象即可求得； （4）根据图象求得答案即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； 【小问4详解】 解：观察图象可得： 直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 16. 平面坐标系中有线段，已知、，若抛物线与线段有交点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得抛物线随值的变化左右移动，分别求出抛物线经过点，所对应的的值即可． 【详解】解：由可得抛物线对称轴直线为，顶点坐标为(，0)， 当对称轴在点左侧时，， 把代入得， 解得或(舍去)， 当对称轴在点右侧时，， 把代入得， 解得或(舍去)， ∴当时，抛物线与线段有交点， 故答案为： 【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，掌握抛物线随值的变化左右移动是解题的关键． 三、解答题： 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，灵活先用解一元二次方程的方法是解答本题的关键： （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴ 18. 已知关于x的方程． （1）若方程有一根为5，求k的值； （2）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）k的值为4或6 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式： （1）利用因式分解法求出，即可求解； （2）了利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 当时，； 当时，， 综上所述，k的值为4或6； 【小问2详解】 证明：∵， ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根． 19. （1）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围； （2）已知函数y=（m2+m）是二次函数，求m的值． 【答案】（1）m≠0且m≠1；（2）m的值为3． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案； （2）直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式求出即可． 【详解】解：（1）函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1是二次函数， 即m2﹣m≠0， 即m≠0且m≠1， ∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数； （2）由题意得：m2﹣2m﹣1=2，m2+m≠0， 解得：m1=3，m2=﹣1（不合题意舍去）， 所以m的值为3． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确解一元二次方程是解题关键． 20. 已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围； （3）求抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】（1）；（2）x的取值范围为；（3）抛物线与y轴的交点坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为，把点代入即可求解； （2）根据函数的对称轴即可求解； （3）令x=0，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线，当时，有最大值， ∴抛物线的解析式为． ∵抛物线过点，∴，∴． ∴此抛物线的解析式． （2）∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大． ∴x的取值范围为． （3）当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知对称轴的应用． 21. 【探究】如图，已知抛物线 （1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象 (不要求列表)； （2）该抛物线可由抛物线 向 平移 个单位得到； （3）当时，函数值y取值范围是 ． 【应用】已知二次函数 （h是常数），且自变量取值范围是． ①当时，求函数的最大值 ②若函数的最大值为，求h的值． 【答案】（1）见解析；（2）上，4；（3）；[应用]①0；②1或6 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）根据画二次函数 图象的方法画图即可； （2）利用二次函数的平移规律求解即可； （3）利用二次函数的性质并结合函数图象即可得出结论； 【应用】①利用二次函数的性质求解即可； ②分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）如图， （2）该抛物线可由抛物线 向上平移4个单位得到， 故答案为：上，4； （3）抛物线开口向下，当时，y有最大值为4， 当时，；当时， ∴当时，函数值y取值范围是， 故答案为：； [应用]①抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，当时，y有最大值，最大值0； ②当时，时，y随x的增大而减小，则当时，y有最大值， ∴， 解得，（舍去） 当时，时，y有最大值为0，故不符合题意； 当时，时，y随x的增大而增大，则当时，y有最大值， ∴， 解得（舍去），（舍去） 综上，若函数的最大值为，则h的值为1或6． 22. 如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点， 边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度．把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后 得△AA1B． （1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式； （2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y＝(x－1)2．（2）D点坐标为 (0，1)． C点坐标为（，）． 【解析】 【分析】（1）先设抛物线的解析式为y=a（x-1）2，再将B1点坐标代入抛物线的解析式即可得出答案； （2）令x=0即可求出D点坐标，再设出C点坐标C（m，m），代入抛物线解析式解方程即可求得C点坐标． 【详解】（1）由题意可知，A（1，0），A1（2，0），B1（2，1）， 设以A为顶点的抛物线的解析式为y=a（x-1）2； ∵此抛物线过点B1（2，1）， ∴1=a（2-1）2， ∴a=1， ∴抛物线的解析式为y=（x-1）2； （2）∵当x=0时，y=（0-1）2=1， ∴D点坐标为（0，1）， 由题意得OB在第一象限的角平分线上， 故可设C（m，m）， 代入y=（x-1）2；得m=（m-1）2； 解得m1=＜1，m2=＞1（舍去）． 故C点坐标为（，）． 考点：二次函数综合题． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为点B， （1）抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ，B点坐标(用含a的式子表示) ； （2）已知点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图像，求a的取值范围． 【答案】（1）y轴，， （2）或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用分类讨论的方法和数形结合的思想解答． （1）根据抛物线的解析式直接得出对称轴，顶点坐标；根据题意得出点A的坐标，再利用关于x轴对称的点的坐标规律得出点B坐标； （2）分和两种情况分别讨论，画图图像，求出a的范围． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标为， 当时，， ∴， ∴点A关于x轴的对称点为点B的坐标为， 故答案为：y轴，，； 【小问2详解】 解：当时，点在y轴负半轴上， 当点P恰好在抛物线上时，代入得：， 解得：或（舍）， 当点Q恰好在抛物线上时，代入得：， 解得：或（舍）， ∴当时，抛物线与线段恰有一个公共点； 当时，点在y轴正半轴上， 同理可知： 当点P恰好在抛物线上时，代入得：， 解得：（舍）或， 当点Q恰好在抛物线上时，代入得：， 解得：（舍）或， ∴当时，抛物线与线段只有一个公共点； 综上：若抛物线与线段恰有一个公共点，a的取值范围是或． 24. 已知抛物线(如图所示)． （1）填空：抛物线的顶点坐标是(______，______)，对称轴是_____； （2）已知y轴上一点A，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若△是等边三角形，求点P的坐标； （3）在(2)条件下，点M在直线上．在平面内是否存在点N，使四边形为菱形?若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）顶点坐标是，对称轴是y轴（或直线） （2）或 （3），，， ． 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可． （2）根据等边三角形的性质求得，将代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标． （3）首先求得直线的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关的长即可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标． 【小问1详解】 解：因为抛物线解析式为， 所以顶点坐标是，对称轴是y轴（或直线）． 【小问2详解】 解：∵△是等边三角形， ∴． ∴． ∴． 把代入，得． ∴点P的坐标为或． 【小问3详解】 解：当点P的坐标为， ∵点A的坐标为（0，2）， 设线段所在直线的解析式为， 则，解得： ． ∴所在直线的解析式为：． ∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为：． 则， 解得：． ∴M或． 此时，N或． 若点P的坐标为，同理可得N的坐标为或 ． 综上所述，存在点N或或或 ，使得 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题关键是熟练运用二次函数的性质，利用点的坐标，列出方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025 学年九年级 (上) 数学 一、选择题： 1. 二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3、、 5 B. C. 3、 、 D. 3、、 2. 下列函数关系式中： （1）（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 抛物线对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 轴 4. 将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向上平移个单位 D. 向下平移个单位 5. 对于二次函数图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 6. 与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（　　） A. B. C D. 7. 已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题： 9. 抛物线 的顶点是________________． 10. 若是关于x的二次函数，则a的值是_______． 11. 若抛物线与抛物线关于轴对称，则__________，__________． 12. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是_________(用“<”表示) ． 13. 抛物线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则三角形的面积为____． 14. 二次函数y=ax2+c图象与y=3x2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点(1，1)，则该二次函数的解析式为________________ ． 15. 如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． （1）当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； （2）当______时，新函数有最小值； （3）当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； （4）直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 16. 平面坐标系中有线段，已知、，若抛物线与线段有交点，则的取值范围是___________． 三、解答题： 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 已知关于x的方程． （1）若方程有一根为5，求k的值； （2）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根． 19. （1）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围； （2）已知函数y=（m2+m）是二次函数，求m的值． 20. 已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围； （3）求抛物线与y轴的交点坐标． 21. 【探究】如图，已知抛物线 （1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象 (不要求列表)； （2）该抛物线可由抛物线 向 平移 个单位得到； （3）当时，函数值y取值范围是 ． 【应用】已知二次函数 （h是常数），且自变量取值范围是． ①当时，求函数最大值 ②若函数的最大值为，求h的值． 22. 如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点， 边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度．把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后 得△AA1B． （1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式； （2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为点B， （1）抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ，B点坐标(用含a的式子表示) ； （2）已知点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图像，求a的取值范围． 24. 已知抛物线(如图所示)． （1）填空：抛物线的顶点坐标是(______，______)，对称轴是_____； （2）已知y轴上一点A，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若△是等边三角形，求点P的坐标； （3）在(2)的条件下，点M在直线上．在平面内是否存在点N，使四边形为菱形?若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$