精品解析：2024年广东省深圳市福田区中考模拟预测数学试题

2024年初三年级质量检测 数学（3月） 本试卷分为二部分，第一部分为选择题1-10题，共30分，第二部分为非选择题11-22题，共70分，全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分． 答案（含作辅助线）必须用规定的笔，按作答题目序号，写在答题卡非选择题答题区内． 注意事项： 1．答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置． 2．选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分 选择题（本卷共计30分） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 2024的倒数是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 年“亚运＋双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约人次，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 5. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 对一组数据：，描述正确的是（ ） A. 中位数是 B. 平均数是5 C. 众数是6 D. 方差是7 8. 如图，与位似，点为位似中心，，若的周长是，则的周长是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 9. A，B 两地相距千米，一艘轮船从A地顺流航行至 B 地所用时间比从B 地逆流航行至A 地所用时间少分钟， 已知船在静水中航行的速度为千米/时．若设水流速度为x千米/时（）， 则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（本卷共计70分） 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 在实数范围内分解因式： _____． 12. 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换： ①△（a，b）=（﹣a，b）； ②○（a，b）=（﹣a，﹣b）； ③Ω（a，b）=（a，﹣b），按照以上变换例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），则○（Ω（3，4））等于_______________． 13. 如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点，点在轴上，且，则的值为_____． 14. 如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，过上一点M作，与OB相交于点N，，则______． 15. 如图，在直角坐标系中，已知A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为_______． 三、解答题（共7小题，满分55分） 16. 计算：． 17. 化简求值： ，其中x为数据4，5，6，5，3，2的众数． 18. 某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表： 成绩/分 频数/人 频率 10 0.1 15 b a 0.35 40 c 请根据图表信息解答下列问题： （1）求a，b，c的值； （2）补全频数直方图； （3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率． 19. 如图，是的外接圆，直径与交于点，点在的延长线上，连接，． （1）求证：是的切线； （2）从以下三个选项中选一个作为条件，使成立，并说明理由； ①；②；③； 你选的条件是：______． 20. 某经销商销售一种成本价为10元的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元；如图，在销售过程中发现销量与售价x（元）之间满足一次函数关系． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． （1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标； （3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 22. 在矩形中，点E是射线上一动点，连接，过点B作于点G，交直线于点F． （1）当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接． ①如图1，若点E在线段上，则线段与之间的数量关系是________，位置关系是_________； ②如图2，若点E在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由； （2）如图3，若点E在线段上，以和为邻边作，M是中点，连接，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初三年级质量检测 数学（3月） 本试卷分为二部分，第一部分为选择题1-10题，共30分，第二部分为非选择题11-22题，共70分，全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分． 答案（含作辅助线）必须用规定的笔，按作答题目序号，写在答题卡非选择题答题区内． 注意事项： 1．答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置． 2．选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分 选择题（本卷共计30分） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 2024的倒数是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键． 根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：∵， ∴2024的倒数是 ， 故选A． 2. 年“亚运＋双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约人次，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3. 第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A，不是轴对称图形，不合题意； B，是轴对称图形，符合题意； C，不是轴对称图形，不合题意； D，不是轴对称图形，不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 4. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可． 【详解】解：卷纸的主视图应是： ， 故选：C． 5. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，积的乘方与幂的乘方，零指数幂和负整数指数幂，运用相关运算法则进行计算即可判断出正确结果． 【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意； B. ，故选项B计算错误，不符合题意； C. ，计算正确，故C符合题意； D. ，故选项D计算错误，不符合题意； 故选：C． 7. 对一组数据：，描述正确的是（ ） A. 中位数是 B. 平均数是5 C. 众数是6 D. 方差是7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数和众数，根据方差，中位数，平均数和众数的定义进行求解判断即可． 【详解】解：把这组数据从小到大排列为，处在最中间的数为6， ∴中位数为6，故A不符合题意； ∵数字6出现的次数最多， ∴众数是6，故C符合题意； 平均数为，故B不符合题意； 方差为，故D不符合题意； 故选：C． 8. 如图，与位似，点为位似中心，，若的周长是，则的周长是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似变换的概念得到，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵与位似，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长：的周长， ∵的周长是， ∴的周长是． 故选：B． 【点睛】本题考查位似变换，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 9. A，B 两地相距千米，一艘轮船从A地顺流航行至 B 地所用时间比从B 地逆流航行至A 地所用时间少分钟， 已知船在静水中航行的速度为千米/时．若设水流速度为x千米/时（）， 则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据时间的关系列方程是解题的关键． 顺流的速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，根据路程、速度、时间的关系表示出船顺流所用的时间和逆流所用的时间，根据时间的关系建立分式方程即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由是等边三角形，得，而，故①正确；由，，可判定②正确；过点作于，过点作于，则，，可推出，，则，判定③正确；由可得，进而得到，得到，又因为不是中点，故，可判定④错误；由，得，则，可判定⑤错误． 【详解】解：为等边三角形， ，， 四边形是正方形 ，， ， 又， ， ， ，， ， 在中，， ， 又， ，故①正确； ，， ， ，故②正确； 过点作于，过点作于， 由题意可得，， ，， ，故③正确； ， ， ， 又与同高， ， 又，不是中点， ， ，故④错误； ，， ， ， ， 又，， ，故⑤错误， 综上所述：正确的结论有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形性质、锐角三角函数、相似三角形的判定及性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第二部分 非选择题（本卷共计70分） 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 在实数范围内分解因式： _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． 先提取公因数3，再运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为． 12. 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换： ①△（a，b）=（﹣a，b）； ②○（a，b）=（﹣a，﹣b）； ③Ω（a，b）=（a，﹣b），按照以上变换例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），则○（Ω（3，4））等于_______________． 【答案】（﹣3，4）． 【解析】 【详解】解：○（Ω（3，4））=○（3，﹣4）=（﹣3，4 故答案为（﹣3，4）． 13. 如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点，点在轴上，且，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了求反比例函数的比例系数，设点A的坐标为，利用得到，即可得到答案． 【详解】解：设点A的坐标为， 点A在第二象限， ，， ， ， 是反比例函数的图象上一点， ， 故答案为：． 14. 如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，过上一点M作，与OB相交于点N，，则______． 【答案】25度## 【解析】 【分析】通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可． 【详解】∵， ∴， 由题意可知：平分， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质，解此题的关键是熟练掌握基本作图和平行线的性质及角平分线定义的应用． 15. 如图，在直角坐标系中，已知A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】以OA为对称轴，构造等边三角形ADF，作直线DC，交x轴于点E，先确定点C在直线DE上运动，根据垂线段最短计算即可． 【详解】如图，以OA为对称轴，构造等边三角形ADF，作直线DC，交x轴于点E， ∵△ABC，△ADF都是等边三角形， ∴AB=AC，AF=AD，∠FAC+∠BAF=∠FAC+∠CAD=60°， ∴AB=AC，AF=AD，∠BAF=∠CAD， ∴△BAF≌△CAD， ∴∠BFA=∠CDA=120°， ∴∠ODE=∠ODA=60°， ∴∠OED=30°， ∴OE=OA=4， ∴点C在直线DE上运动， ∴当OC⊥DE时，OC最小， 此时OC=OE=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判断，三角形的全等判定和性质，垂线段最短，熟练掌握三角形全等和垂线段最短原理是解题的关键． 三、解答题（共7小题，满分55分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 17. 化简求值： ，其中x为数据4，5，6，5，3，2的众数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，众数．先根据分式混合运算法则进行化简，根据众数的定义求出x的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 4，5，6，5，3，2的众数为5， 将代入，得： 原式． 18. 某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表： 成绩/分 频数/人 频率 10 0.1 15 b a 0.35 40 c 请根据图表信息解答下列问题： （1）求a，b，c的值； （2）补全频数直方图； （3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率． 【答案】（1），，． （2） 补全频数分布直方图如图： （3） 【解析】 【分析】（1）根据的人数和频率可求抽取总人数，再由频率的定义求出a、b、c即可； （2）由（1）中a的值，补全频数分布直方图即可； （3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：抽取学生总数（人）， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种， ∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 19. 如图，是的外接圆，直径与交于点，点在的延长线上，连接，． （1）求证：是的切线； （2）从以下三个选项中选一个作为条件，使成立，并说明理由； ①；②；③； 你选的条件是：______． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，则， ∴， ∴是的切线； （2） 若选②； ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 由圆周角定理可知， ∴， ∴； 若选③； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同②，可知； 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，理解并掌握相关图形的性质定理是解决问题的关键． （1）由直径所对圆周角为直角可知，结合圆周定理可知，由，可知，进而可知，即可证明结论； （2）若选②，由等弧所对圆周角相等可知，结合（1）证，由圆周角定理可知，证得，进而可得结论； 若选③由同弧所对圆周角相等可知，结合，可知，得，同②，可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某经销商销售一种成本价为10元的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元；如图，在销售过程中发现销量与售价x（元）之间满足一次函数关系． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y与x的之间的函数解析式为：，自变量x的取值范围为：； （2）W与x之间的函数关系式为：；当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大；最大利润是192元． 【解析】 【分析】考查一次函数、二次函数的应用，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错． （1）根据一次函数过，可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式， （2）先求出总利润与的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润，但应注意抛物线的对称轴，不能使用顶点式直接求． 【小问1详解】 解：设y与x的解析式为，把，代入， 得：， 解得：， y与x的之间的函数解析式为：， 自变量x的取值范围为：； 【小问2详解】 解： ，抛物线开口向下，对称轴为， 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ， 当时，W最大元 答：W与x之间的函数关系式为，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元． 21. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． （1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标； （3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】（1）上边缘抛物线喷出水的最大射程为； （2）； （3） 解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下； ∵， ∴绿化带的左边部分可以灌溉到， 由题意可得： 将代入到可得： 因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解； （3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可； 【小问1详解】 解：由题意可得：， 且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为： 将代入可得： 即上边缘的抛物线为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即 上边缘抛物线喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 上边缘抛物线为：，可得对称轴为： 点关于对称轴对称的点为： 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即点； 【小问3详解】 略 22. 在矩形中，点E是射线上一动点，连接，过点B作于点G，交直线于点F． （1）当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接． ①如图1，若点E在线段上，则线段与之间的数量关系是________，位置关系是_________； ②如图2，若点E在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由； （2）如图3，若点E在线段上，以和为邻边作，M是中点，连接，，，求的最小值． 【答案】（1）①相等；垂直； ②成立， 证明：当点E在线段BC的延长线上时， 同理可得：△ABE≌△BCF（AAS）， ∴BE=CF，AE=BF， ∵△FCH为等腰直角三角形， ∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC， ∴FH∥BC， ∴四边形BEHF为平行四边形， ∴BF∥EH且BF=EH， ∴AE=EH，AE⊥EH； （2） 【解析】 【分析】（1）①证明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，再证明四边形BEHF为平行四边形，从而可得结果； ②根据（1）中同样的证明方法求证即可； （2）说明C、E、G、F四点共圆，得出GM的最小值为圆M半径的最小值，设BE=x，证明△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF=，求出最值即可得到GM的最小值． 【详解】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，即∠BAE+∠AEB=90°， ∵AE⊥BF， ∴∠CBF+∠AEB=90°， ∴∠CBF=∠BAE，又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴BE=CF，AE=BF， ∵△FCH为等腰直角三角形， ∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC， ∴FH∥BC， ∴四边形BEHF为平行四边形， ∴BF∥EH且BF=EH， ∴AE=EH，AE⊥EH， 故答案为：相等；垂直； ②略 （2）∵∠EGF=∠BCD=90°， ∴C、E、G、F四点共圆， ∵四边形BCHF是平行四边形，M为BH中点， ∴M也是EF中点， ∴M是四边形BCHF外接圆圆心， 则GM的最小值为圆M半径的最小值， ∵AB=3，BC=2， 设BE=x，则CE=2-x， 同（1）可得：∠CBF=∠BAE， 又∵∠ABE=∠BCF=90°， ∴△ABE∽△BCF， ∴，即， ∴CF=， ∴EF= = =， 设y=， 当x=时，y取最小值， ∴EF的最小值为， 故GM的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值，圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $