精品解析：安徽省阜阳市红旗中学2024-2025学年高二上学期9月初开学摸底考数学试题

2023级高二上学期9月初开学摸底考 数学（人教A版）试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合或，即可利用集合的补集以及交集定义求解. 【详解】由可得或， 故， 故， 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质化简，即可根据逻辑关系求解. 【详解】由可得， 由可得或， 故能得到，同时也无法推出， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 设是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线和平面的位置关系的判定定理和性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】A：由，，，可得，又因为，从而可得，故A正确； B：若，，与可能相交，故B错误； C：由，，，，可得，，则，故C正确； D：由，，可得，因为，所以，故D正确. 故选：B. 4. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分情况讨论时对应的中位数，从而可求解. 【详解】由题意， 当时，8个点数的中位数为3.5； 当时，8个点数的中位数为4； 当时，8个点数的中位数为4.5， 则8个点数的中位数为4的概率为. 故选:D. 5. 已知，，若，则实数m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦和差公式化简得到，由正切二倍角公式和得到，从而得到方程，求出实数m的值. 【详解】， 即， ，故， 则， 由于，故， 解得或， 因为，所以，故， 即，解得. 故选：C 6. 已知平面向量和满足在上的投影向量为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在上的投影向量公式可求得，从而可求解. 【详解】因为在上的投影向量为， 所以，则在上的投影向量为.故A正确. 故选：A. 7. 已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数的性质画出函数图象，若，将问题转化为曲线与直线的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质可得，，，结合对勾函数的性质求范围即可． 【详解】令，则或，令，则或， 由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为． 作出的草图如下， 令，不妨设，则，，，为曲线与直线的交点横坐标， 由图知：，且， 则， 由对勾函数可知在上递减，故， 故. 故选：C 8. 在中，M为BC上一点且满足，，，若，则的外接圆半径为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，又，由三角形面积公式得到方程，求出，在和中，利用余弦定理得到，，在中，由余弦定理得，利用正弦定理求出外接圆半径. 【详解】设，则， 因为，所以， 由三角形面积公式得， 解得， 在中，由余弦定理得 ， 故， 在中，由余弦定理得 ， 故， 在中，由余弦定理得， 故， 则的外接圆半径为. 故选：D 二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则互为共轭复数 C. 若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据复数的乘方结合复数的相关概念分析判断；对于C：根据复数的模的几何意义可判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于A，设， 则，故A正确； 对于B，取，那么，但不是共轭复数，故B错误； 对于C，设在复平面内的点为，由知，点在以为圆心，1为半径的圆上，故C正确； 对于D，取，则，故D错误. 故选：AC. 10. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 当时，的值域为 D. 若方程在区间上恰有六个不等实根，则实数m的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简，即可利用平移以及奇函数的性质求解，由周期公式即可求解A，代入验证即可求解B，利用整体法求解即可判断CD. 【详解】由， 得， 故， 由于为奇函数，故， 由于，故取，则， 故， 对于A，最小正周期为，A错误， 对于B，由于，故B正确， 对于C，当时，则，故，故的值域为，C正确， 对于D，时，则，要使在区间上恰有六个不等实根，则，解得，故D正确， 故选：BCD 11. 如图，M为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 当在平面内运动时，四棱锥的体积是定值 B. 当在直线上运动时，与所成角的取值范围为 C. 使得直线与平面所成的角为60°的点的轨迹长度为 D. 若为棱的中点，当在底面内运动，且平面时，的最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，利用体积公式可得体积不变；B选项，根据找到异面直线所成角为与所成的角，即可判断；C选项，找到的轨迹为线段，以及在平面内以为圆心、为半径的圆弧，计算即可；D选项，利用中点得线线平行，即可找到的轨迹，计算即可． 【详解】对于A，因为底面正方形的面积不变，在平面内运动时，又到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A正确； 对于B，由于，故与所成的角即为与所成的角， 当在端点时，为等边三角形，此时所成的角最小，最小为， 当在的中点时，所成的角最大，最大为，故与所成角的取值范围为，故B错误； 对于C，由于在正方体表面上，若直线与平面所成的角为60°，则，故以为圆心，以为半径作球，与棱相交于点，则的轨迹为线段，以及在平面内以为圆心、为半径的圆弧，如图①，故的轨迹长度为，故C正确； 分别取、、、、的中点、、、、， 由正方体的性质可知、、、、，六点共面，且为正六边形，如图②， 由中位线定理，，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，平面， 所以平面平面， 在底面内运动，所以轨迹为线段， 取中点，连接，则平面， 故 故当最小时，最小，由于故，故当为时，的长最小，此时，故最小为，D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则向量与的夹角余弦值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】由已知可求得，进而求得，可求得结论. 【详解】由题意得，，故与的夹角余弦值为0. 故答案为：0. 13. 如图1是古希腊数学家阿基米德的墓碑图文，碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，圆柱的底面直径和高都等于这个球的直径，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现.如图2是这个图形的示意图，那么图2中圆锥与球的表面积的比值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两图形的关系可得圆柱的底面半径与球的半径相等，设半径为，计算出两几何体的体积，求出比值即可． 【详解】设球半径为，则圆锥的表面积为， 球的表面积为，故圆锥与球的表面积之比为. 故答案为：. 14. 定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】推导出函数是周期为4的周期函数，计算出、、、的值，结合函数的周期性以及并项求和法可求得所求代数式的值. 【详解】由题意得，，令，则， 所以函数图象关于直线对称，即， 设，又关于对称， 所以，即， 所以，所以函数是奇函数， 所以函数图象关于原点中心对称， 所以，所以， 故函数是周期函数，周期为4. 又当时，，且，故可以得出 进而. 那么 . 故答案为：. 【点睛】结论点睛：函数的对称性： （1）若，则函数关于成中心对称； （2）若，则函数关于成中心对称 四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格. （1）求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀. 【答案】（1），38.25小时 （2）42小时 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出，利用平均数的定义进行计算； （2）要获得优秀即求第70百分位数，第70百分位数之间，列出相应方程，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，，解得. 因为， 所以可以估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数约为38.25小时. 【小问2详解】 由题意得，因为， 那么第70百分位数位于之间. 设第70百分位数为，则，解得. 故至少参加42小时的社会实践活动，方可被评为优秀. 16. 已知锐角三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换等知识求得正确答案. （2）将转化为来表示，再根据三角函数的性质求得正确答案. 【小问1详解】 由正弦定理得， 则， 所以， 即， 由于，所以，所以， 则，，由于， 所以. 【小问2详解】 若，由正弦定理得， 所以， 所以三角形的周长为 ， 由于三角形是锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以三角形周长的取值范围是. 17. 如图1，矩形中，，，为边上的一点．现将沿着折起，使点到达点的位置． （1）如图2，若为边的中点，点为线段的中点，求证：平面； （2）如图3，设点在平面内的射影落在线段上． ①求证：平面； ②当时，求直线与平面所成的角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析，② 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，根据线线平行可得四边形是平行四边形，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）①根据线面垂直的性质可得，结合矩形性质，即可由线面垂直的判定求证， ②根据线面垂直可得为直线与平面所成的角，即可利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 证明：如图，取线段的中点，连接，， 因为点是线段的中点，所以，， 因为，，所以，， 即四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 ①由题意可知平面，平面，故， 又平面，故平面. ②由于平面，故为直线与平面所成的角， ，，故, , 则，故， 故直线与平面所成的角的余弦值为. 18. 设函数，． （1）判断函数的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）； （2）求证：； （3）若在区间上的最小值为，求的值． 【答案】（1）奇函数，上单调递增 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶函数的定义进行证明奇偶性，利用单调性的性质判断的单调性； （2）求和即可证明； （3）令，利用换元转化为一元二次函数轴动区间定求最值的问题进行求解. 【小问1详解】 由题意可知，的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数； 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以，在上单调递增； 【小问2详解】 因为， ， 所以可得； 【小问3详解】 由， 令，由，则， 又，则令， 对称轴， 当，即时，， 解得； 当，即时，， 解得，又，因此不符合题意，舍去； 当，即时，， 解得， 综上知，. 【点睛】方法点睛： 1.函数最值与值域的求法：单调性法；不等式法；配方法；换元法；数形结合法；分离常数法；导数法. 2.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴是指对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 19. 对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“正弦标准差”． （1）若集合，，求A相对的的“正弦标准差”； （2）若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，代入公式计算，结合正弦差角公式得到答案； （2）利用三角恒等变换化简，从而，平方相加，得到，结合，求出，从而消元，结合得到，得到，求出，. 【小问1详解】 ， 其中. 【小问2详解】 存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，理由如下： ， 只需，则， 即，整理得， 因为，， 所以，，， 则， 所以，则， 所以， 即， 整理得，故， 因为，所以，， 则，， 检验，将，代入得 ，满足要求， 故存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值， 此时. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧， （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高二上学期9月初开学摸底考 数学（人教A版）试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4的概率为（ ） A B. C. D. 5. 已知，，若，则实数m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 6. 已知平面向量和满足在上的投影向量为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，M为BC上一点且满足，，，若，则的外接圆半径为（ ） A. B. C. 1 D. 二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则互为共轭复数 C. 若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆 D. 若，则 10. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 当时，的值域为 D. 若方程在区间上恰有六个不等实根，则实数m的取值范围为 11. 如图，M为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 当在平面内运动时，四棱锥体积是定值 B. 当在直线上运动时，与所成角的取值范围为 C. 使得直线与平面所成角为60°的点的轨迹长度为 D. 若为棱的中点，当在底面内运动，且平面时，的最小值 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则向量与的夹角余弦值为______. 13. 如图1是古希腊数学家阿基米德墓碑图文，碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，圆柱的底面直径和高都等于这个球的直径，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现.如图2是这个图形的示意图，那么图2中圆锥与球的表面积的比值为______. 14. 定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则______. 四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格. （1）求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀. 16. 已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，求周长的取值范围． 17. 如图1，矩形中，，，为边上的一点．现将沿着折起，使点到达点的位置． （1）如图2，若为边的中点，点为线段的中点，求证：平面； （2）如图3，设点在平面内的射影落在线段上． ①求证：平面； ②当时，求直线与平面所成的角的余弦值． 18. 设函数，． （1）判断函数的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）； （2）求证：； （3）若在区间上的最小值为，求的值． 19. 对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“正弦标准差”． （1）若集合，，求A相对的的“正弦标准差”； （2）若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$