四川省内江市威远县威远中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

威远中学2024-2025学年高三上学期开学考试 数学试题 出题人:刘洪波 做题人:邹代勇 审题人:黄 东 一、单选题:本题共8个小题,每小题5分,共40分。在每个小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。 1.已知集合,,,则(CUA)∩B=( ) A. B. C. D. 2.设为虚数单位,,则复数的虚部是( ) A. B. C. D. 3.已知角 的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点(-3,1),则sin2 =( ) A. B. C. D. 4.已知,且,则( ) A. B. C.4 D. 5.已知,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和,其中S3=,a32=a4,则a5=( ) A. B. C.8 D.16 7.记函数的最小正周期为T.若,且,则( ) A. B. C. D. 8.已知函数,,若,则的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多选题:本题共3个小题,每小题6分,共18分。在每个小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有错选的得0分。 9.已知函数,下列结论中正确的是( ) A.函数的最小正周期是 B.函数的图象关于直线对称 C.函数的最小值是 D.函数的图象关于点对称 10.下列说法正确的的有( ) A.已知一组数据的方差为3,则的方差也为3 B.统计学中用线性相关系数r来衡量两个变量的线性相关性强弱,若r越小,则两个变量之间的线性相关性越弱. C.已知随机变量X服从正态分布,若,则 D.已知随机变量X服从二项分布,若,则 11.已知函数,其中实数,则下列结论正确的是( ) A.必有两个极值点 B.有且仅有3个零点时,的范围是 C.当时,点是曲线的对称中心 D.当时,过点可以作曲线的3条切线 三、填空题:本题共3个小题,每小题5分,共15分。 12.若的展开式中二项式系数之和为32,则展开式中的系数为 . 13.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲,乙,丙,丁,戊5名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,问天实验舱与梦天实验舱各安排1人. 甲、乙两人要在同一个舱内,则不同的安排方案共有 。 14.若定义在上的函数满足是奇函数,,, 则 . 4、 解答题:本题共5个小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.本题13分 已知分别为∆ABC的内角的对边,且. (1)求角A; (2)若,求出边并求出.∆ABC的面积 16.本题15分 ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具,引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系,从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查.整理如下列联表: 年龄因素 对该程序的态度 合计 不喜欢该程序 喜欢该程序 青少年 7 中老年 16 30 合计 21 注:本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”,其余的称为“青少年”. (1)请完成上面列联表,并依据小概率值的独立性检验,能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系; (2)在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作.以样本频率估计概率.若在全市范围内抽取20位居民,经常使用该程序辅助工作的人数为,求的数学期望和方差; (3)在抽取的60名居民中有10名高中生,其中有7名男生,3名女生.为进一步了解他们的对于AI的认知和看法,在10名高中生中,随机抽取3人进行访谈,设抽取的3人中男生人数为,求的分布列和数学期望. 附: 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17.本题15分 已知函数. ( )若,,求曲线在处的切线的方程 ( )讨论函数f (x)的单调性 ( )若,对任意两个不同的,不等式 恒成立,求的最小值. 18. 夏日天气炎热,学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮,某同学每天都会在两种凉饮中选择一种,已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是,若在前一天选择绿豆汤的条件下,后一天继续选择绿豆汤的概率为,而在前一天选择银耳羹的条件下,后一天继续选择银耳羹的概率为,如此往复.(提示:设表示第天选择绿豆汤) (1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率 (2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率; (3)记该同学第天选择绿豆汤的概率为,求出的通项公式。 19.对于任意正整数n,进行如下操作:若n为偶数,则对n不断地除以2,直到得到一个奇数,记这个奇数为;若n为奇数,则对不断地除以2,直到得出一个奇数,记这个奇数为.若,则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”; (2)已知.求m的值; (3)将所有“理想数”从小至大依次排列,逐一取倒数后得到数列,记的前n项和为, 证明:. 威远中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A C D C C A AC AC ABD 2.C【详解】由得:,的虚部为. 4.C【详解】因为,,则,, 则,故,故选:C. 5.D【详解】因为在单调递增,且,所以,即 因为,所以,即, 所以存在两种情况:且,且,因此推不出, 同样推不出,因此“”是“”的既不充分也不必要条件.故选:D. 6.C【详解】解:设递增的等比数列{an}的公比为,且q1,∵S3=,, ∴(1+q+q2)=,q4=q3,解得=,q=2;=2,q=(舍去). 则==8.故选:C. 7.C【详解】根据最小正周期,可得,解得; 又,即是函数的一条对称轴, 所以,解得.又,当时,.故选:C 8.A【详解】因为函数、均为上的增函数,所以,函数为上的增函数, ,因为,其中, 所以,,故, 当且仅当时等号成立,故的最大值为.故选:A. 9.AC【详解】解:由题知,, 故选项A正确;令,解得: , 令,令,故选项B错误;因为, 所以,故选项C正确;因为对称中心纵坐标为1,故选项D错误.故选:AC 10.AC【详解】对于A中,由一组数据的方差为, 根据方差的性质,可得数据的方差也为,所以A正确; 对于B中,统计学中用线性相关系数r来衡量两个变量的线性相关性强弱,当越趋向于,此时相关性越强,所以B不正确;对于C中,由随机变量X服从正态分布,若, 则,所以C正确;对于D中,由随机变量服从二项分布,可得, 若,则,所以D错误.故选:AC. 11.ABD【详解】选项A:由题意可得, 令解得或,因为,所以令解得或,令解得, 所以在,上单调递增,在上单调递减, 所以在处取得极大值,在处取得极小值,故A正确; 选项B:要使有且仅有3个零点,只需,即, 解得,故B正确;选项C:当时,, , ,所以点不是曲线的对称中心,C错误; 选项D:,设切点为, 所以在点处的切线方程为:, 又因为切线过点,所以, 解得,令,, 所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数, , 令解得或,因为,所以令解得或, 令解得,则在,上单调递增, 在上单调递减,且,,图像如图所示, 所以当时,与图像有3个交点,即过点可以作曲线的3条切线,故D正确;故选:ABD 12.80【详解】二项式系数之和为32,即,解得, 所以展开式的通项为,令,得, 所以展开式中的系数为.故答案为:80 13.10 14.【详解】因为是奇函数,所以, 用替换上式中的,可得, 在中,用替换,可得, 所以,用替换该式中的,可得, 所以,所以函数的周期为,在中,令,得, 在中,令,得, 在中,令,得,所以, 所以.故答案为:. 【点睛】结论点睛:解决抽象函数的求值、性质判断等问题,常见结论: (1)关于对称:若函数关于直线轴对称,则,若函数关于点中心对称,则,反之也成立; (2)关于周期:若,或,或,可知函数的周期为. 15.【详解】(1)因为, 5分 所以由正弦定理得,因为,所以, 所以,所以,因为,所以; (2)在中,,所以由余弦定理得, 整理得,解得(舍去),或面积为5 13分 16.【详解】(1)根据题意可得列联表如下; 性别 不喜欢该程序 喜欢该程序 合计 青少年 7 23 30 中老年 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为:年龄因素与是否喜欢该程序无关; 根据列联表的数据计算可得, 根据小概率值的独立性检验,推断不成立, 即年龄因素与喜欢该程序有关系,此推断犯错误的概率不超过0.1. 5分 (2)由题意可知:随机抽取一人为“经常使用该程序辅助工作”的概率, 可知,所以,. 10分 (3)易知10名高中生有7名男生,3名女生, 则Y的所有可能取值为0,1,2,3,且Y服从超几何分布: ,,,故所求分布列为 Y 0 1 2 3 P 可得 15分 17. 曲线在处的切线的方程为, 4分 ( )省略 9分 ( )因为, ,所以,故函数在上单调递增,不妨设,则, 可化为,设,则. 所以为上的减函数,即在上恒成立, 等价于在上恒成立,即在上恒成立, 又,所以,所以,而函数在上是增函数, 所以(当且仅当,时等号成立).所以.即的最小值为. 15分 18、(1)答案为2/9 4分 (2) 设表示第1天选择绿豆汤,表示第2天选择绿豆汤,则表示第1天选择银耳羹,根据题意得,,所以.10分 (3) (3)设表示第天选择绿豆汤,则,根据题意得,,由全概率公式得,,即,整理得,,又,所以是以为首项,为公比的等比数列. Pn=............ 17分 19.(1)以内的质数为,,故,所以为“理想数”; ,而,故不是“理想数”;,而,故是“理想数”; ,而,故不是“理想数”;,而,故不是“理想数”; ,而,故不是“理想数”;,而,故不是“理想数”; ,而,故不是“理想数”;和5为两个质数“理想数”; 4分 (2)由题设可知必为奇数,必为偶数, 存在正整数,使得,即:,且, ,或,或,解得,或, ,或,即的值为12或18. 8分 (3)显然偶数"理想数"必为形如的整数, 下面探究奇数"理想数",不妨设置如下区间:, 若奇数,不妨设, 若为"理想数",则,且,即,且, ①当,且时,; ②当时,;,且, 又,即,易知为上述不等式的唯一整数解, 区间]存在唯一的奇数"理想数",且, 显然1为奇数"理想数",所有的奇数"理想数"为, 所有的奇数"理想数"的倒数为, ,即. 17分 ( 2 ) ( 1 ) 学科网(北京)股份有限公司 $$