精品解析：2024年湖南省沅江市初中学业水平考试数学模拟测试题

2024年初中学业水平考试模拟测试试卷数学试题卷 注意事项： 1．本试卷包括试题卷和答题卷，共有六道大题，试题卷共6页，答题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卷相应的位置． 3．答案全部在答题卷上完成，答在本试题卷上无效． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卷一并交回． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题的选项中只有一项符合题目要求，请将答案填写在答题卷相应表格中） 1. 观察下列实物，抽象出的几何图形为长方体的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体，准确地识别球、长方体、圆柱、圆台是解决问题的关键．根据各选项中的实物所抽象出的几何图形逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：选项A中的实物抽象出的几何图形为球，故选项A不符合题意； 选项B中的实物抽象出的几何图形为长方体，故选项B符合题意； 选项C中的实物抽象出的几何图形为圆柱，故选项C不符合题意； 选项D中的实物抽象出的几何图形为圆台，故选项D不符合题意， 故选：B． 2. 计算，正确的结果是（ ） A. 6 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，注意计算的准确性即可． 【详解】解：∵ 故选：D． 3. 下列各数中为不等式的解是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查解一元一次不等式的方法，根据不等式的性质解一元一次不等式，将不等式的解集与选项比较，即可求解． 【详解】解： ∵，其它选项均大于， 故选：A． 4. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．由题意可知，故、异号，且，根据有理数加减法得的值应取的符号“”，故；由乘法法则可得． 【详解】解：依题意得：， ∴，、异号，且，故A，D错误； ，故C正确； ，故B错误； 故选：C． 5. 如图直线，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，可得的度数，再利用直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ， 故选：B． 7. 某公园有三个出入口，每个出入口均可进可出，乐乐周末陪父母去公园散步（三人全程都在一起），他们随机从每个出入口进出，则从同一个出入口进出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图可得出所有等可能的结果数以及从同一个出入口进出的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中从同一个出入口进出的结果有3种， ∴从同一个出入口进出的概率为， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用．依据题意，可得，，再由，从而，进而得解． 【详解】解：由题意，得，． ， 由两点距离公式可得：． ． 或5． 又， ． 故选：C． 9. 杆称是一种传统的称重工具，称盘里没有物体时，提起称纽保持平衡后，称砣拉线位于零刻度位置（如图1）；当把物体放到称盘里称重时，提起称纽，向右移动称砣保持平衡，称砣拉线所在的刻度对应物体的重量．设称盘里物体重量为时，平衡后称砣拉线位置距称纽的距离为 （如图2），则下图能反映y与x之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，一次函数的应用．根据题意结合图象判断即可． 【详解】解：设称盘里物体重量为时，平衡后秤砣拉线位置距称纽的距离为（如图， 提起称纽保持平衡后，秤砣拉线位于零刻度位置， 则是的一次函数， 能反映与之间的函数关系的大致图象是B选项， 故选：B． 10. 某学习小组将两块含角的全等三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究（如图1），其中，将沿射线DB方向平移，得到，分别连接（如图2），下列关于四边形的说法正确的个数有（ ） ①一直是平行四边形；②平移后是矩形；③平移后是菱形；④在平移的过程中，依次会出现矩形、菱形、正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据平移的性质得，，因此在平移的过程中，四边形一直是平行四边形，由此可对结论①进行判断； ②先计算出，，则当平移后，则，进而得，，然后根据得为直角三角形，则四边形是矩形，由此可对结论②进行判断； ③当平移后，点与点重合，此时点，，在同一条直线上，则，，且，此时四边形是菱形，由此可对结论③进行判断； ④由①②③可知平移后是矩形，平移后是菱形，在其它情况下是平行四边形，而四边形在既是矩形又是菱形时才是正方形，由此得在平移的过程中，不可能出现正方形，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①，且，，， ，， 根据平移的性质得：，， 在平移的过程中，四边形一直是平行四边形， 故结论①正确； ②在中，，，， ， 由勾股定理得：， 当平移后，则，如图1所示： ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 为直角三角形，即， 四边形一直是平行四边形， 此时四边形是矩形， 故结论②正确； ③， 当平移后，点与点重合，此时点，，在同一条直线上，如图所示： ，，且， 四边形是菱形， 故结论③正确； ④由①②③可知：平移后是矩形，平移后是菱形，在其它情况下是平行四边形， 又四边形在既是矩形又是菱形时才是正方形， 在平移的过程中，不可能出现正方形， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，图形的平移变换及性质，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，勾股定理等，理解全等三角形的性质，图形的平移变换及性质熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定是解决问题的关键． 二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填写在答题卷的空格中） 11. 手机微信支付因方便快捷已被广泛使用，在“我的钱包”账单里收到微信红包16元记为，买文具支付8元则记为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的定义，根据正数和负数的定义进行计算．掌握正数和负数的定义是关键． 【详解】解：收到16元记为， 支付8元则记为． 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先根据平方差公式和积的乘方计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解；， 故答案为：． 13. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解法求解，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 14. 在一次引体向上测试中，某小组8名男生的成绩分别为：13，9，a，11，7，11，8，9，若这组数据的唯一众数为11，则这组数据的中位数为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，先根据众数的定义得出，再根据中位数的定义求解即可．解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 【详解】解：∵数据13，9，，11，7，11，8，9的唯一众数为11， ∴， 则这组数据为：7，8，9，9，11，11，11，13， 所以这组数据的中位数为， 故答案为：10． 15. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，即可求解． 【详解】解:依题意，得：， 故答案为：． 16. 如图，在中，按以下步案作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理．连接，由作图可知：是线段的垂直平分线，即得，有，从而，由勾股定理得，故． 【详解】解：连接，如图： 由作图可知：是线段的垂直平分线， ， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：17． 17. 小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 18. 如图，在中，是直径，是弦，是的中点，于点，交于点，交于点，下列结论一定正确的是______（把所有正确结论的序号都填上）． ①，②，③，④若，则． 【答案】②③ 【解析】 【分析】①假设，则，再根据点是弧的中点得，则，即点，将半圆三等分，但是根据已知条件无法证明点，将半圆三等分，由此可对结论①进行判断；②延长交于，连接，根据垂径定理得，则，即，据此可对结论②进行判断；③由得，则，再根据垂径定理得，据此可对结论③进行判断；④连接，在中由，设，，则，由结论②正确得，则，进而得，证明得，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①假设， 则， 点是的中点， ， ， 点，将半圆三等分， 根据已知条件无法证明点，将半圆三等分， 假设是错误的，故结论①不正确； ②延长交于，连接，如图1所示： 为直径，， ， 又， ， ， 即， ，故结论②正确； ③， ， ， 为直径，， ， ，故结论③正确； ④连接，如图2所示： 在中，， 可设，， 由勾股定理得：， 由结论②正确得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ，是直径， ， ， ， ，故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是②③， 故答案为：②③． 【点睛】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题为6分，共12分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，负整数指数幂，先计算二次根式乘法和负整数指数幂，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE＝AF． 【答案】 证明：在菱形ABCD中， AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D， ∵点E、F分别是BC、CD边的中点， ∴BE＝BC，DF＝CD， ∴BE＝DF， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF． 【解析】 【分析】因为点E、F分别是BC、CD边的中点，利用菱形的性质得到BE＝DF，根据SAS证明△ABE≌△ADF从而推出AE=AF． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的性质及全等三角形的判定与性质．解题的关键是掌握菱形的各边相等，对角相等的性质． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题为8分，共16分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，化简得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：原式 ； 当时，原式 22. 小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵_______，_____， ∴，∴． （2）如图，以，，为三边构造， ①请判断是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】（1），5 （2） ①是直角三角形． 理由：， ， 是直角三角形； ② 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据二次根式的混合运算法则计算判断即可； （2）①利用勾股定理的逆定理判断即可； ②利用三角形三边关系判断即可． 【小问1详解】 解：，， ， ． 故答案为：，5； 【小问2详解】 解：①略 ②， ． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题为9分，共18分） 23. 生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：．全部喝完；．剩约；．剩约一半；．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参加这次会议的有多少人？图中所在扇形的圆心角是多少度？补全条形统计图； （2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费矿泉水多少毫升？ （3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议次，为创建节约型社会，减少浪费，请对该单位提一条关于会议饮水的合理化建议． 【答案】（1）50人，， 补全条形统计图如下： （2） （3）发小容量的水 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图、利用样本估计总体的平均数等知识； （1）由扇形统计图可看出类占了整个圆的一半即，从条形统计图又知类共人，这样已知部分数的百分比就可以求出总人数，而类有人，已知部分数和总数可以求出类所占总数百分比，再由百分比确定所占圆的圆心角的度数；已知总人数和、、类的人数可求出类的人数为人，将条形统计图中补完整． （2）用总的浪费量除以总人数就得到平均每人的浪费量． （3）根据题意写出建议，答案合理即可． 【小问1详解】 解：根据所给统计图可知，剩约的人数人，占总人数的， ，参加这次会议的总人数为人； ， 所在扇形圆心角的度数为： 【小问2详解】 解：， 答：平均每人浪费矿泉水； 【小问3详解】 解：发小容量的水：不统一发水，按需去取：用桶装饮用水自接等． 24. 沅江市湖泊众多，被誉为“东方威尼斯”，某实践探究小组想知道湖边两处凉亭的距离，但该距离无法直接测量，他们通过分工合作，测量组测量数据，实践探究小组设计并得到了如下记录表： 实践探究活动记录表 活动内容 测量湖边，两处的距离 成员 组长：××× 组员：××××××××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图 方法：因为湖边，两处凉亭的距离无法直接测量，数据测量组在湖边找了一处位置，用皮尺可测量处到，两处的距离，通过测角仪可测得，，的度数． 测量数据 角的度数 ，， 边的长度 米，米 数据处理组得到上面数据以后进行分析，他们发现不需要测量组的全部数据就可以计算出，之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全条件，并根据条件解决问题． 已知：如图，在中，，______，________．（从记录表中再选两个数据填入横线作为条件），求：线段的长，（最后结果保留整数，，，．） 【答案】，米，线段的长约米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．选条件，米，过点作，垂足为，由，可得米，再根据三角函数求出，在中，，推出米，即可求解． 【详解】解：选条件，米， 过点作，垂足为， 在中，， 米， 米， 又在中，， 米， 米． 六、解答题（本大题共2个小题，每小题为10分，共20分） 25. 已知：如图1，抛物线与x轴交于两点A，B（点A在点B的右边），与y轴交于点C． （1）若点A坐标为，点C的坐标为． ①求抛物线T的表达式； ②连接，，点E是线段上的动点（不含端点A，B），过点E作交于点F，连接．求的面积的最大值． （2）当时，点G是抛物线T上在第一象限内的定点，过点G且不与坐标轴平行的直线与抛物线T有唯一公共点，与x轴正半轴相交于点M，过点G的另一条直线与x轴相交于点N（N与M不重合，如图2）．当时，p与a之间是否存在某种数量关系？若存在，求出这个数量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；②3 （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）①把，点代入得，求出a和c的值，即可得出抛物线T的表达式为； ②先得出，设，则，的面积为S，根据，得出，进而推出，结合二次函数的性质，即可解答； （2）易得抛物线T必过点，则定点G为，把代入得出，则，根据与T有唯一公共点，得出．过点G作轴，垂足为H，则，把代入得出，则，，把代入得，消去q得：，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①把，点代入得： ， 解得：， ∴抛物线T的表达式为； ②由可得点B的坐标为， ∴， 设，则，的面积为S， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴当时，S有最大值3， 即的面积的最大值为3； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∴抛物线T必过点， ∵T的对称轴为， ∴抛物线T上在第一象限内的定点G为， 把代入得：， 整理得：， ∴， 由得， ∵与T有唯一公共点， ∴， ∴． 过点G作轴，垂足为H， ∵， ∴， 把代入得， 整理得：， ∴， ∴， 把代入得： ， 消去q得：， ∴． 26. 在矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点A落在边上的点E处． （1）如果折痕分别与边交于点F，G（如图1），当时，求折痕的长； （2）如果折痕分别与边交于点F，G（如图2），且的外接圆刚好与直线相切于点M，连接与相交于点P； ①证明：； ②求折痕的长． 【答案】（1） （2） ①由折叠可知，点A，E关于直线对称， ∴， 又是直角三角形， ∴是的外接圆的直径，点P是该外接圆的圆心， ∵与直线相切于点M， ∴， ∴， 又在与中，， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）折叠得到，在中得到，进而得到，求出，在，求出的长即可； （2）①折叠，得到，圆周角定理，得到是的外接圆的直径，点P是该外接圆的圆心，切线得到，同角的余角相等，得到，进而证明； ②连接，证明，进而得到，求出，，求出，设，在中，勾股定理求出的值，等积法求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵由折叠而来， ∴， 又在中，， ∴， ∴， 又在中，， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②连接， ∵与直线相切于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ， 在中，设，则， 由勾股定理得：，解得，即， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形与折叠，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学业水平考试模拟测试试卷数学试题卷 注意事项： 1．本试卷包括试题卷和答题卷，共有六道大题，试题卷共6页，答题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卷相应的位置． 3．答案全部在答题卷上完成，答在本试题卷上无效． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卷一并交回． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题的选项中只有一项符合题目要求，请将答案填写在答题卷相应表格中） 1. 观察下列实物，抽象出的几何图形为长方体的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算，正确的结果是（ ） A. 6 B. C. 5 D. 3. 下列各数中为不等式的解是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图直线，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则的数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 某公园有三个出入口，每个出入口均可进可出，乐乐周末陪父母去公园散步（三人全程都在一起），他们随机从每个出入口进出，则从同一个出入口进出的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 9. 杆称是一种传统的称重工具，称盘里没有物体时，提起称纽保持平衡后，称砣拉线位于零刻度位置（如图1）；当把物体放到称盘里称重时，提起称纽，向右移动称砣保持平衡，称砣拉线所在的刻度对应物体的重量．设称盘里物体重量为时，平衡后称砣拉线位置距称纽的距离为 （如图2），则下图能反映y与x之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 某学习小组将两块含角的全等三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究（如图1），其中，将沿射线DB方向平移，得到，分别连接（如图2），下列关于四边形的说法正确的个数有（ ） ①一直是平行四边形；②平移后是矩形；③平移后是菱形；④在平移的过程中，依次会出现矩形、菱形、正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填写在答题卷的空格中） 11. 手机微信支付因方便快捷已被广泛使用，在“我的钱包”账单里收到微信红包16元记为，买文具支付8元则记为_____． 12. 计算：______． 13. 方程的解是______． 14. 在一次引体向上测试中，某小组8名男生的成绩分别为：13，9，a，11，7，11，8，9，若这组数据的唯一众数为11，则这组数据的中位数为______． 15. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为________． 16. 如图，在中，按以下步案作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为______． 17. 小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 18. 如图，在中，是直径，是弦，是的中点，于点，交于点，交于点，下列结论一定正确的是______（把所有正确结论的序号都填上）． ①，②，③，④若，则． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题为6分，共12分） 19. 计算： 20. 如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE＝AF． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题为8分，共16分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵_______，_____， ∴，∴． （2）如图，以，，为三边构造， ①请判断是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题为9分，共18分） 23. 生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：．全部喝完；．剩约；．剩约一半；．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参加这次会议的有多少人？图中所在扇形的圆心角是多少度？补全条形统计图； （2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费矿泉水多少毫升？ （3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议次，为创建节约型社会，减少浪费，请对该单位提一条关于会议饮水的合理化建议． 24. 沅江市湖泊众多，被誉为“东方威尼斯”，某实践探究小组想知道湖边两处凉亭的距离，但该距离无法直接测量，他们通过分工合作，测量组测量数据，实践探究小组设计并得到了如下记录表： 实践探究活动记录表 活动内容 测量湖边，两处的距离 成员 组长：××× 组员：××××××××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图 方法：因为湖边，两处凉亭的距离无法直接测量，数据测量组在湖边找了一处位置，用皮尺可测量处到，两处的距离，通过测角仪可测得，，的度数． 测量数据 角的度数 ，， 边的长度 米，米 数据处理组得到上面数据以后进行分析，他们发现不需要测量组的全部数据就可以计算出，之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全条件，并根据条件解决问题． 已知：如图，在中，，______，________．（从记录表中再选两个数据填入横线作为条件），求：线段的长，（最后结果保留整数，，，．） 六、解答题（本大题共2个小题，每小题为10分，共20分） 25. 已知：如图1，抛物线与x轴交于两点A，B（点A在点B的右边），与y轴交于点C． （1）若点A坐标为，点C的坐标为． ①求抛物线T的表达式； ②连接，，点E是线段上的动点（不含端点A，B），过点E作交于点F，连接．求的面积的最大值． （2）当时，点G是抛物线T上在第一象限内的定点，过点G且不与坐标轴平行的直线与抛物线T有唯一公共点，与x轴正半轴相交于点M，过点G的另一条直线与x轴相交于点N（N与M不重合，如图2）．当时，p与a之间是否存在某种数量关系？若存在，求出这个数量关系；若不存在，请说明理由． 26. 在矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点A落在边上的点E处． （1）如果折痕分别与边交于点F，G（如图1），当时，求折痕的长； （2）如果折痕分别与边交于点F，G（如图2），且的外接圆刚好与直线相切于点M，连接与相交于点P； ①证明：； ②求折痕的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $