01压轴必会一：数轴动点精讲练-2024-2025学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（苏科版）

01 压轴必会一：数轴动点精讲练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、动点：左减右加的简单运用。 1 二、数轴动点与找规律的融合。 1 三、数轴动点之距离类。 2 四、数轴动点之中点类。 3 五、综合提升 4 考点精讲 1.学习运用分类思想：即把某一个问题，按某一个标准，分成不同情况讨论。 数轴分类一般根据点的位置：左，中，右。（或小于，等于，大于） 2.初步体会点、线、式解决动点问题（数轴动点万能公式）。 点：即某个点表示的数。（不知道时可以设字母表示）； 线： 距离公式。可以用表示的数的差的绝对值表示(或大-小)。 公式表示:设点A表示的数为 ,点B表示的数为,则A、B两点之间的距离： AB=. 例:点A表示的数是6,点B表示的数是-3,则点A与点B之间的距离: 法一:大-小AB=6-(-3)=9 法二:差的绝对值(主要用于动点,无法确定两个点表示的数的大小关系时.) AB=或A B==9 中点公式：和的一半 设：点A表示的数是,点B表示的数是,则点A与点B的中点C表示的数是. （扩：A=2C-B, B=2C-A ,A+B=2C,） 例：点A表示的数是6,点B表示的数是-3,则点A与点B的中点C表示的数是= 式：根据题目要求，列出相关的代数式或等式。 3.动点表示方法： 巧记：左减右加--速度× 时间（t） （1）向右移动:起始点+速度× 时间（t） （2）向左移动: 起始点-速度× 时间（t） 例：点A表示的数是-1，点B表示的数是2. 若点A以每秒3个单位长度向右运动，则t秒后点A表示的数为-1-3t; 若点B以每秒2个单位长度向右运动，则t秒后点B表示的数为2+2t; 实战训练 一、动点：左减右加的简单运用。 1．数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 2．A 为数轴上表示 的点，将点 A 沿着数轴向右移8个单位长度后，再向左移动4个单位长度到点 B，则点B表示的数为(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 3．数轴上一点表示的数是6，若将点先向右平移4个单位长度，再向左平移7个单位长度到点，则此时点表示的数是（    ）． A． B． C．3 D．9 4．数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 二、数轴动点与找规律的融合。 5．如图所示，将圆的周长分为个单位长度，在圆的等分点处标上数字，，，，先让圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字 重合． 6．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上-2025的点是 ． 7．一只小球从数轴上的原点出发，第一次向左跳1个单位长度到点，第二次从点向右跳2个单位长度到点，第三次从点向左跳3个单位长度到点，第四次从点向右跳4个单位长度到点，若小球按以上规律跳了6次，它在数轴上的点所表示的数是 ，若小球按以上规律跳了次，它在数轴上的点所表示的数是 （用含的代数式表示）． 8．一只小虫从数轴上表示的A点开始移动，第一次先向右移动1个单位，再向左移动2个单位；第二次先向右移动3个单位，再向左移动4个单位；第三次先向右移动5个单位，再向左移动6个单位，…，第一次移动后小虫在数轴上表示的数是 ，第五次移动后小虫在数轴上表示的数是 ，第n次移动后小虫在数轴上表示的数是 ． 三、数轴动点之距离类。 9．如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 10．阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 11．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝　，PC＝　； (2)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，当点P运动到点C时，P、Q两点运动停止． ①求当t为何值时Q点追上P点？ ②当P、Q两点运动停止时，求点P和点Q的距离． 12．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数－26，－10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示P点对应的数：__________； 用含t的代数式表示点P和点C的距离：PC=_____________. （2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A， ①点P、Q同时运动运动的过程中有__________处相遇，相遇时t=_______________秒． ②在点Q开始运动后，请用t的代数式表示P、Q两点间的距离．（友情提醒：注意考虑P、Q的位置） 四、数轴动点之中点类。 13．数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 15．如图，点O为数轴的原点，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A表示的数是﹣5，ABOA． (1)求点B表示的数； (2)将点B在数轴上平移3个单位，得到点C，点M是AC的中点，求点M表示的数． 16．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒： （1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 五、综合提升 18．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 01 压轴必会一：数轴动点精讲练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、动点：左减右加的简单运用。 1 二、数轴动点与找规律的融合。 2 三、数轴动点之距离类。 4 四、数轴动点之中点类。 8 五、综合提升 14 考点精讲 1.学习运用分类思想：即把某一个问题，按某一个标准，分成不同情况讨论。 数轴分类一般根据点的位置：左，中，右。（或小于，等于，大于） 2.初步体会点、线、式解决动点问题（数轴动点万能公式）。 点：即某个点表示的数。（不知道时可以设字母表示）； 线： 距离公式。可以用表示的数的差的绝对值表示(或大-小)。 公式表示:设点A表示的数为 ,点B表示的数为,则A、B两点之间的距离： AB=. 例:点A表示的数是6,点B表示的数是-3,则点A与点B之间的距离: 法一:大-小AB=6-(-3)=9 法二:差的绝对值(主要用于动点,无法确定两个点表示的数的大小关系时.) AB=或A B==9 中点公式：和的一半 设：点A表示的数是,点B表示的数是,则点A与点B的中点C表示的数是. （扩：A=2C-B, B=2C-A ,A+B=2C,） 例：点A表示的数是6,点B表示的数是-3,则点A与点B的中点C表示的数是= 式：根据题目要求，列出相关的代数式或等式。 3.动点表示方法： 巧记：左减右加--速度× 时间（t） （1）向右移动:起始点+速度× 时间（t） （2）向左移动: 起始点-速度× 时间（t） 例：点A表示的数是-1，点B表示的数是2. 若点A以每秒3个单位长度向右运动，则t秒后点A表示的数为-1-3t; 若点B以每秒2个单位长度向右运动，则t秒后点B表示的数为2+2t; 实战训练 一、动点：左减右加的简单运用。 1．数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查数轴上的单动点问题，解决本题的关键要确定运动的路程和运动方向． 【详解】解：点以每秒个单位长度的速度运动， 点运动秒后的路程：， 又点向右运动， 点运动秒后表示的数为， 故选：C． 2．A 为数轴上表示 的点，将点 A 沿着数轴向右移8个单位长度后，再向左移动4个单位长度到点 B，则点B表示的数为(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】题目主要考查数轴上点的移动规律：左减右加，有理数的加减法则，熟记规律是解题的关键． 【详解】解：． 故点B表示的数为2． 故选：A． 3．数轴上一点表示的数是6，若将点先向右平移4个单位长度，再向左平移7个单位长度到点，则此时点表示的数是（    ）． A． B． C．3 D．9 【答案】C 【详解】根据数轴上点的平移规律解答即可． 【详解】解：将点先向右平移4个单位长度，再向左平移7个单位长度到点，点表示的数是：． 故选C． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的平移，掌握数轴上点的平移法则“右加左减”成为解答本题的关键． 4．数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 【答案】4 【详解】本题考查了数轴，画出数轴，然后确定出点C的位置，再向左移动3个单位确定出点B，向右移动2个单位确定出A，即可得解，逆向思维确定出各点的位置是解题的关键，作出图形更形象直观． 【详解】解：如图所示： 点表示的数为4， 故答案为：． 二、数轴动点与找规律的融合。 5．如图所示，将圆的周长分为个单位长度，在圆的等分点处标上数字，，，，先让圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字 重合． 【答案】 【详解】本题考查了数轴，解题的关键是找到数轴上的数与圆周上数字之间的对应关系．根据周长为个单位长度，利用除以，进而可得答案． 【详解】解：根据题意得：， 圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合， 数轴上的对应圆周上的， 数轴上的数将与圆周上的数字重合， 故答案为：． 6．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上-2025的点是 ． 【答案】 【详解】由于圆的周长为个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合． 【详解】解：由图形可知，旋转一周，点对应的数是1，点对应的数为0，点对应的数为，点对应的数据为，点对应的数为，点对应的数为， 在数轴上-2025到2的距离为， ，对应的点应该为圆上的第6个点，即点 故答案为： 【点睛】本题考查了数轴，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此类题目的关键． 7．一只小球从数轴上的原点出发，第一次向左跳1个单位长度到点，第二次从点向右跳2个单位长度到点，第三次从点向左跳3个单位长度到点，第四次从点向右跳4个单位长度到点，若小球按以上规律跳了6次，它在数轴上的点所表示的数是 ，若小球按以上规律跳了次，它在数轴上的点所表示的数是 （用含的代数式表示）． 【答案】 3 / 【详解】由题意可得表示的数，表示的数是1，表示的数，表示的数2，则可得表示的数3，点所表示的数是，即可求解． 【详解】解：由题意可得表示的数， 表示的数是， 表示的数， 表示的数， 表示的数 则可得表示的数， 点所表示的数是， 故点所表示的数是． 故答案为：3，． 【点睛】此题考查数字的变化规律，数轴的认识，找出其中的变化规律是解题的关键． 8．一只小虫从数轴上表示的A点开始移动，第一次先向右移动1个单位，再向左移动2个单位；第二次先向右移动3个单位，再向左移动4个单位；第三次先向右移动5个单位，再向左移动6个单位，…，第一次移动后小虫在数轴上表示的数是 ，第五次移动后小虫在数轴上表示的数是 ，第n次移动后小虫在数轴上表示的数是 ． 【答案】 4 0 【详解】根据数轴上的点的坐标向右为加，向左为减的特点可分别求出第一次、第二次、第三次移动后这个点在数轴上表示的数，找出规律即可求出第n次移动结果这个点在数轴上表示的数． 【详解】根据题意，小虫第一次移动后小虫在数轴上表示的数为； 同理可得，第二次移动后小虫在数轴上表示的数为； 第三次移动后小虫在数轴上表示的数为； 第四次移动后小虫在数轴上表示的数为； 第五次移动后小虫在数轴上表示的数为， …， 从小虫移动后的数可知，小虫每移动一次表示的数减少1， 则第n次移动后小虫在数轴上表示的数为． 故答案为：4，0，． 【点睛】此题考查了数轴，解答此题的关键是先求出前五次这个点移动后在数轴上表示的数，再根据此数值找出规律即可解答． 三、数轴动点之距离类。 9．如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【答案】(1)、1、4 (2)7；10 (3)点B向左移动2个单位 【详解】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键． （1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数； （2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答； （3）由于，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可． 【详解】（1）解：根据图示可知：A、B、C这三个点表示的数各是、1、4， 故答案为：；1；4． （2）解：根据图示知：的距离是；的距离是， 故答案为：7；10； （3）解：∵A、C的距离是10， ∴点B到点A和点C的距离都是5， ∴应将点B向左移动2个单位，使点B表示的数为，． 10．阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)不变，理由见解析； (3)或或． 【详解】（）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）根据题意求出点，，向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示，的值，最后再进行计算即可； （）分三种情况讨论，点在点处，点在点的右边，点在点的右边； 本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【详解】（1），， 故答案为：，； （2）不变，理由： 因为：经过秒后，，，三点所对应的数分别是，，， 所以：，， ∵， ∴，， ∴，， 所以：， 所以的值不会随着时间的变化而改变； （3）经过秒后，，两点所对应的数分别是，， 当点追上点时，， 解得：， 当时，点在还点处， 所以：， 当时，点在点的右边， 所以：， 当时，点在点的右边， 所以：， 综上所述，、两点间的距离为或或． 11．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝　，PC＝　； (2)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，当点P运动到点C时，P、Q两点运动停止． ①求当t为何值时Q点追上P点？ ②当P、Q两点运动停止时，求点P和点Q的距离． 【答案】(1)t；； (2)①24；②24． 【详解】（1）求出P表示的数，即可得到答案； （2）①求出Q表示的数，列方程可解得t的值； ②求出Q从C返回所运动的时间，即可求出当P、Q两点运动停止时，点P和点Q的距离． 【详解】（1）解： P表示的数是， ∴， ； 故答案是：t；； （2）①P运动到B所需时间为（秒）， ∴Q表示是数是， 当Q追上P时，， 解得t＝24， ∴当t为24时Q点追上P点； ②P运动到C所需时间为（秒）， Q运动到C所需时间为（秒）， ∴Q运动到C时，（秒）， ∴Q从C返回所用时间是（秒）， ∴当P、Q两点运动停止时，点P和点Q的距离是（个单位）． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，涉及数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示P，Q所表示的数． 12．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数－26，－10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示P点对应的数：__________； 用含t的代数式表示点P和点C的距离：PC=_____________. （2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A， ①点P、Q同时运动运动的过程中有__________处相遇，相遇时t=_______________秒． ②在点Q开始运动后，请用t的代数式表示P、Q两点间的距离．（友情提醒：注意考虑P、Q的位置） 【答案】（1）－26+t；36－t； （2）2处，24秒和30秒； （3）当16≤t≤24时  PQ=﹣2t+48； 当24＜t≤28时  PQ=2t-48； 当28＜t≤30时  PQ= 120﹣4t； 当30＜t≤36时  PQ= 4t﹣120 【详解】（1）根据两点间的距离，可得P到点A和点C的距离； （2）根据两点间的距离，要对t分类讨论，t不同范围，可得不同PQ． 【详解】解：（1）P点对应的数为﹣26+t；PC=36﹣t； 故答案为﹣26+t；36﹣t； （2）①有2处相遇， 分两种情况： Q返回前相遇：3（t﹣16）=t， 解得：t=24， Q返回后相遇：3（t﹣16）+t=36×2， 解得：t=30． 综上所述，相遇时t=24秒或30秒． 故答案为 24或30； ②当16≤t≤24时，PQ=t﹣3（t﹣16）=﹣2t+48； 当24＜t≤28时，PQ=3（t﹣16）﹣t=2t﹣48； 当28＜t≤30时，PQ=72﹣3（t﹣16）﹣t=120﹣4t； 当30＜t≤36时，PQ=t﹣[72﹣3（t﹣16）]=4t﹣120； 当36＜t≤40时，PQ=3（t﹣16）﹣36=3t-84． “点睛”本题考查了数轴，一元一次方程的应用，解答（2）②题要对t分类讨论是解题的关键． 四、数轴动点之中点类。 13．数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 (4)或或 【详解】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，（1）利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案； （2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案； （3）由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，再构建绝对值方程，再解方程即可； （4）分①当时，O是线段的中点，②当时，P为线段的中点，③当时，Q为线段的中点，④当时，O为线段的中点，再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为， 故答案为：16，； （2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ． 故答案为：，； （3）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距5个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过或时相距5个单位长度； （4）解：①当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得． ②当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间， 当P、Q两点重合时，，即， ∴此时， 由题意得， 解得； ③当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间，此时， 由题意得， 解得； ④当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得不合题意，舍去， 综上所述：或或． 14．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3)，理由见详解 【详解】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 15．如图，点O为数轴的原点，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A表示的数是﹣5，ABOA． (1)求点B表示的数； (2)将点B在数轴上平移3个单位，得到点C，点M是AC的中点，求点M表示的数． 【答案】(1)点B表示的数是1 (2)点M表示的数是﹣3.5或 【详解】（1）根据AB与OA的关系，得到B到A的距离，从而得出B到原点的距离即可； （2）分两种情况，利用中点的性质计算即可． 【详解】（1）解：∵ABOA，OA＝5， ∴AB＝6， ∴BO＝AB﹣AO＝6﹣5＝1， 则点B表示的数是1； （2）解：当点B向左平移时，CB＝3， ∴点C表示的数是﹣2， 则AC=3， ∵点M是AC的中点， ∴CM=1.5 ∴点M表示的数是-3.5； 当点B向右平移时，CB＝3， ∴C表示的数是4，且AC=9， ∵点M是AC的中点， ∴CM=4.5， ∴M表示的数是， ∴点M表示的数是﹣3.5或． 【点睛】本题考查了数轴上的点的表示，中点的意义，熟练掌握数轴上的点的表示方法，以及中点的意义是解题的关键．注意数形结合． 16．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒： （1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】（1）-6，；（2）点运动7秒时追上点；（3）线段的长度不发生变化，其值为7 【详解】（1）根据点表示的数和AB的长度即可求解； （2）根据题意列出方程，求解即可； （3）分类讨论即可：①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，根据中点的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为8，且， ∴点表示的数为， 点P表示的数为， 故答案为：-6，； （2）设点、同时出发，点运动时间秒追上，依题意得， ， 解得， ∴点运动7秒时追上点； （3）线段的长度没有发生变化都等于7；理由如下： ①当点在点、两点之间运动时： ， ②当点运动到点的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为7． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键． 五、综合提升 17．【思考背景】数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，帮助我们更加直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴，可以提出很多有趣的问题： 【问题情境】 （1）平移运动 如图1，数轴上的一点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点． ①______（用含的代数式表示）； ②将点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，求点表示的数； ③一机器人从原点开始，第1次向左移动1个单位，紧接着第2次向右移动2个单位，第3次向左移动3个单位，第4次向右移动4个单位，…，以此规律，当它移动2023次时，所在数轴上的点表示的数是______． （2）翻折变换 ①若在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系：______； ②若以表示的点为折点，折叠数轴使之两侧重合，与表示的点重合的点在数轴上表示的数是______； ③如图2，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折重合，若点、对应重合的点分别为点、，点与点相距2个单位长度，请直接写出点表示的数． 【迁移拓展】请你结合以上情境，思考并提出一个合理的数学问题．（不要求作答） 【答案】（1）①；②；③；（2）①；②；③P对应的数为或．迁移拓展：问题见解析，表示的数为． 【详解】（1）①根据用数轴上的点表示有理数的方法即可求解．②根据题意先列式再计算可求解．③先列式，再利用规律求解即可； （2）①根据翻折的性质结合相反数的特点即可求解．②根据数轴上两点之间的距离先求解折痕对应的数，再列式即可求解．③设折点P对应的数为，则对应的数为，利用点与点相距2个单位长度，再建立方程即可求解． 迁移拓展：仿照（1）（2）设置问题，再解答即可． 【详解】解：（1）①数为； ②点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，点表示的数为； ； ③由题意可得： ； （2）①在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系为； ②由题意可得：； ③设折点P对应的数为，则对应的数为， ∵点与点相距2个单位长度， ∴，即， ∴或， 解得：或， ∴P对应的数为或． 迁移拓展：问题如下： 一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，把向右平移2个单位得到点，并且线段的长度为5，请直接写出点表示的数． 解答如下： 点对应的点落在点的右边，把向右平移2个单位得到点， 设在数轴上表示的数为，则对应的数为， ∴， ∴， ∴， 点为，故表示的数为． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，相反数的含义，整式的加减运算的应用，绝对值方程与一元一次方程的应用，熟练的表示折痕点与折后对应点对应的数是解本题的关键． 18．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒． 【详解】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． 探索1：根据时间路程速度，即可求解； 探索2：由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解； 探索3：分两种情况：①当在上时，②当在上时，根据线段的和差以及时间路程速度，即可求解． 【详解】解：探索1：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； 探索2： 的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：； 探索3：设秒后， ①当在上时， ， ， ， ， ， ， （秒）； ②当在上时， ， ， ， ， （秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$