第21章一元二次方程（单元测试培优卷）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第21章一元二次方程单元测试（培优卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24·安徽合肥·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东梅州·模拟预测）关于方程的根的说法中，正确的是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．两个实数根的和为2 D．两个实数根的积为-3 3．（2024·安徽马鞍山·三模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海·假期作业）小明解方程的过程如图所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ） 解：……① ……② ……③ ，…④ A．① B．② C．③ D．④ 5．（20-21·山东烟台·期末）根据表的对应值： x ﹣1 1 1.1 1.2 x2＋12x﹣m ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84 可以判断方程x2＋12x﹣m＝0必有一个解x满足（    ） A．﹣1＜x＜1 B．1＜x＜1.1 C．1.1＜x＜1.2 D．﹣0.59＜x＜0.84 6．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 7．（24-25九年级上·全国·假期作业）设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 8．（24-25九年级上·全国·假期作业）从前，有一个木工师傅甲拿着木条进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一个木工师傅乙叫他沿着门的两个对角斜着拿木条，木工师傅甲按照木工师傅乙的方法一试，不多不少刚好进去了，你知道木条有多长吗？若设木条的长为尺，则下列方程符合题意的是（　　） A． B． C． D． 9．（2022·河北保定·一模）可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（　　） A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（　　） A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）一元二次方程的二次项系数和常数项的和是 . 12．（2024·江西·二模）已知关于x的方程 的一根是，则该方程的另一根为 . 13．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的一个根，则2021﹣2a+2b的值等于 ． 14．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ． 15．（23-24·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 16．（23-24·浙江湖州·阶段练习）“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是小正方形（图1）．在此图形中连结四条线段得到图2，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为 ． 图1                  图2 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)（用公式法解） (4)(用配方法解）； 18．（23-24·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？ 19．（23-24·四川广安·期末）已知关于的方程． (1)若是方程的一个根，求的值及另一个根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 20．（23-24·江苏苏州·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 21．（2024·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：    某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问： (1)该单位这次去旅游，员工有没有超过人？ (2)该单位这次共有多少员工去旅游？ 22．（2024·浙江·专题练习）有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 23．（23-24·山东烟台·期中）如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章一元二次方程单元测试（培优卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24·安徽合肥·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2； 结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得． 故选：A． 2．（2024·广东梅州·模拟预测）关于方程的根的说法中，正确的是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．两个实数根的和为2 D．两个实数根的积为-3 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，先求出一元二次方程根的判别式的值，再根据判别式的值即可得到答案. 【详解】解：对于方程， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B 3．（2024·安徽马鞍山·三模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 解得：． 故选：C． 4．（24-25八年级上·上海·假期作业）小明解方程的过程如图所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ） 解：……① ……② ……③ ，…④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法解一元二次方程即可确定出错的步骤． 【详解】解：出错的步骤是③， 应该是在②步的基础上，两边同时加上4， 得， 故选：C． 5．（20-21·山东烟台·期末）根据表的对应值： x ﹣1 1 1.1 1.2 x2＋12x﹣m ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84 可以判断方程x2＋12x﹣m＝0必有一个解x满足（    ） A．﹣1＜x＜1 B．1＜x＜1.1 C．1.1＜x＜1.2 D．﹣0.59＜x＜0.84 【答案】C 【分析】根据表中的数据可得时，，当时，，可判断当时，，即可求解． 【详解】解：根据表中的数据可得时，，当时， ∴时， 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的近似值，熟悉二次函数的图像是解题的关键. 6．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 7．（24-25九年级上·全国·假期作业）设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．若，是一元二次方程的两根，则，． 先利用一元二次方程解的定义得到，利用降次的方法得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：B． 8．（24-25九年级上·全国·假期作业）从前，有一个木工师傅甲拿着木条进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一个木工师傅乙叫他沿着门的两个对角斜着拿木条，木工师傅甲按照木工师傅乙的方法一试，不多不少刚好进去了，你知道木条有多长吗？若设木条的长为尺，则下列方程符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理．先根据题意用木条的长为，表示出门框的长、宽、以及竹竿长是直角三角形的三个边长，然后根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺． ∴门框的长为尺，宽为尺， 由勾股定理可得：． 故选：A． 9．（2022·河北保定·一模）可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（　　） A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长 【答案】B 【分析】由勾股定理可得：整理可得从而可得答案. 【详解】解： ∠C＝90°，AC＝，BC＝b，AD＝AC， 整理得： 而x2+ax＝b2， 方程的一个正根为线段BD的长， 故选B 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，勾股定理的应用，理解一元二次方程的解的含义是解本题的关键. 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（　　） A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意； ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意； ④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意． 正确的结论为②④， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）一元二次方程的二次项系数和常数项的和是 . 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；c叫做常数项可得答案． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和常数项分别为3，， 即， 故答案为： 12．（2024·江西·二模）已知关于x的方程 的一根是，则该方程的另一根为 . 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是根据根与系数的关系得到，解题即可． 【详解】解：设另一根为a， 则，解得， 故答案为：1． 13．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的一个根，则2021﹣2a+2b的值等于 ． 【答案】2017 【分析】把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）得a﹣b＝2，再把2021﹣2a+2b变形为2021﹣2（a﹣b），然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）得a﹣b﹣2＝0， ∴a﹣b＝2， ∴2021﹣2a+2b ＝2021﹣2（a﹣b） ＝2021﹣2×2 ＝2021﹣4 ＝2017． 故答案为：2017． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是解题的关键． 14．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用，熟练求解一元二次方程是解题的关键，先解一元二次方程，然后根据个根均为正整数列不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两个根均为正整数， ∴，且为正整数， 解得，且为正整数， ∴可以为 故答案为：（答案不唯一）． 15．（23-24·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2020 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得， ， 则代数式的最小值是2020． 故答案为：2020． 16．（23-24·浙江湖州·阶段练习）“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是小正方形（图1）．在此图形中连结四条线段得到图2，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为 ． 图1                  图2 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确表示阴影部分，空白部分的面积是解题的关键． 如图，由题意知，，设，依题意得，，由，，可得，即，可求，由，可得，即，计算求出满足要求的解，进而可求的值． 【详解】解：如图，由题意知，，设， 依题意得，， ∵，， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∵， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)（用公式法解） (4)(用配方法解）； 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，公式法，因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程公式法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， 开方得，即， ∴，； （2）解：， 整理得， 即，， ∴，； （3）解：， ∵，，， ， ， ∴，； （4）解：， 移项得， 配方得，即， 开方得，即， ∴，． 18．（23-24·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？ 【答案】(1) (2)2592 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）（个）． ∴预计7月份该品牌头盔销售量是2592个． 19．（23-24·四川广安·期末）已知关于的方程． (1)若是方程的一个根，求的值及另一个根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式的意义； （1）设另一个根为，由根与系数的关系得出，，即可求出的值及另一个根； （2）由判别式的意义得出，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设另一个根为， 由根与系数的关系得出， 解得：； （2）∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 20．（23-24·江苏苏州·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算： （1）根据题目已知定义计算即可； （2）先根据一元二次方程根的定义得到，再根据新定义化简原式，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1） ； ； （2）是一元二次方程的根， ， 根据根与系数的关系得， ． 21．（2024·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：    某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问： (1)该单位这次去旅游，员工有没有超过人？ (2)该单位这次共有多少员工去旅游？ 【答案】(1)超过人 (2)该单位这次共有名员工去旅游 【分析】本题考查了有理数的乘法和一元二次方程的应用，解题关键根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． （1）先根据共支付给旅行社旅游费用元，确定旅游的人数的范围； （2）根据每人的旅游费用人数总费用，设该单位这次共有名员工去旅游列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵人数不超过人，人均费用为元， ∴， ∴员工人数一定超过人， ∴该单位这次去旅游，员工超过了20人； （2）解：设该单位这次共有名员工去旅游，根据题意列方程得： ， 整理得， 即， 解得，， 当时，，故舍去； 当时，，符合题意． 答：该单位这次共有35名员工去旅游． 22．（2024·浙江·专题练习）有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式． （）根据根与系数的关系可得，即可； （）由，将（1）代入即可解答； （）由，将（1）代入即可得方程：即可解答． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实根， ∴，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， 解得：，， 当时，原方程为：，，符合题意； 当时，原方程为：，，符合题意； ∴的值为或． 23．（23-24·山东烟台·期中）如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 【答案】(1)①秒或秒；②秒 (2)秒或秒或秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积， （1）①由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案； （2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案； 运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$