精品解析：湖南省长沙市岳麓区西雅中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024年数学科目暑假作业重做 时量：120分钟，总分：120分 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列各点中，在直线上的点是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻角互补 3. 安徽砀山酥梨栽培历史悠久，是中国传统三大名梨之首．甲、乙、丙、丁四个果篮中酥梨的平均质量与方差如下表所示，如果要挑选一个单果质量大且均匀的果篮，则应该选（ ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量（克） 450 500 450 500 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 设一元二次方程的两个实数根为，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 3 6. 若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 9. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为( ) A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 二、填空题（共6小题，每题3分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 12. 已知是方程 的一个解，则另一个解为 __________ 13. 点在直线上，则代数式的值是___． 14. 如图，在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点，则的周长为_________． 15. 为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则小丁此次投掷的成绩是_____米． 16. 一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是____________． 三、解答题（共9小题，共66分） 17. 先化简：，其中，选择一个你喜欢的整数代入求值． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与y轴的交点为C，与x轴的交点为D． （1）若一次函数图象经过点，求一次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，求的面积． 20. 在一次“慈善一日捐”捐款活动中，某中学学生会对该校学生捐款进行随机抽样调查和分组统计，将数据整理成以下统计图（信息不完整）． 组别 捐款数（）元 请结合以上信息解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______； （2）样本中捐款数的学生有______人，并补全图中的捐款人数条形统计图； （3）若该校共有1600名学生，根据以上信息估计全校捐款超过50元的人数是多少？ 21. 如图，在平行四边形中，是上一点（不与点，重合），，过点作，交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）当，时，求的长． 22. 若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求m的值． 23. 某服装店以每件40元的价格购进一批衬衫，在试销过程中发现：每月销售量（件）与销售单价（为正整数）（元）之间符合一次函数关系，当销售单价为55元时，月销售量为140件；当销售单价为70元时，月销售量为80件． （1）求与的函数关系式； （2）设服装店每月销售该种衬衫获利为元，求与之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，商场获利最大，最大利润是多少元？ 24. 若关于的方程有一个解为，那么称这样的方程为“实一方程”．例如方程：有解，所以为“实一方程”． （1）下列方程是“实一方程”的有_______________； ①； ②； ③． （2）已知直线与轴交于点，与轴交于点，，且当时，关于的方程为“实一方程”，求该直线解析式； （3）已知，为“实一方程”（，，为常数，且）的两个根，试求的取值范围． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． （1）分别求直线和这条抛物线的解析式； （2）若，求此时点的坐标； （3）是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年数学科目暑假作业重做 时量：120分钟，总分：120分 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列各点中，在直线上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别代入x=1，x=3求出与之对应的y值，对比四个选项后即可得出结论． 【详解】解：当时，， 点不在直线上，点在直线上， 选项不符合题意，选项符合题意； 当时，， 点不在直线上，点不在直线上， 选的不符合题意，选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键． 2. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻角互补 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质．根据菱形的性质及矩形的性质，结合各选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、四边相等，菱形具有而矩形不具有，故本选项符合题意； B、对角线相等，矩形具有而菱形不具有，故本选项不符合题意； C、对角相等，菱形具有，矩形具有，故本选项不符合题意； D、邻角互补，菱形具有而矩形也具有，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 安徽砀山酥梨栽培历史悠久，是中国传统三大名梨之首．甲、乙、丙、丁四个果篮中酥梨的平均质量与方差如下表所示，如果要挑选一个单果质量大且均匀的果篮，则应该选（ ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量（克） 450 500 450 500 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差的意义，比较平均质量和方差，即可求解；理解方差的意义是解题的关键． 【详解】解：， 乙、丁的平均质量较大， ， 甲、乙的质量较均匀， 要挑选一个单果质量大且均匀的果篮应选乙， 故选：B． 4. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 5. 设一元二次方程的两个实数根为，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴， ∴． 故选：A 6. 若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向上；利用随的增大而减小，即可判断． 【详解】解：二次函数， 开口向上，对称轴为，在对称轴的左侧，随的增大而减小， 和对称 因为， 于是． 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作轴于点N，由直角三角形的性质求出长即可． 【详解】解：过点B作轴于点N，如图所示： ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，由勾股定理得， ∴， 所以顶点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理及含直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 8. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当时，，得， 要使得，只需，即：一次函数在的图象的下方， 由函数图象可知，关于x的不等式的解集为， 故选：C． 9. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 10. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为( ) A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为(2,3)，由待定系数法求出直线l的解析式为y=-x+4，设平移后点C的坐标为(2,3-m)，代入解析式即可求出m． 【详解】解：过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，如图， ∴∠ABM+∠BAM=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，AB=DA， ∴∠DAO+∠BAM=90°， ∴∠DAO=∠ABM， 在△DAO和△ABM中， ， ∴△DAO≌△ABM(AAS)， ∴OA=BM，OD=AM， ∵B(3,1)， ∴BM=1，OM=3， ∴OA=1， ∴AM=OM-OA=2， ∴OD=2， 同理可证△CDN≌△DAO， ∴DN=OA=1，CN=DO=2， ∴ON=OD+DN=3， ∴C(2,3)， ∵点B(3,1)在直线l：y=kx+4上， ∴3k+4=1， ∴k=-1， ∴直线l的解析式为y=-x+4， 设正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后点C的坐标为(2,3-m)， ∵点C在直线l上， ∴-2+4=3-m， 解得：m=1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化-平移，全等三角形的判定与性质定理，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，求出C点的坐标是解决问题的关键． 二、填空题（共6小题，每题3分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 已知是方程 的一个解，则另一个解为 __________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程，将代入方程中求得m值，进而解方程即可． 【详解】解：∵是方程 的一个解， ∴，则， ∴方程为，即， 解得，， 故答案为：3． 13. 点在直线上，则代数式的值是___． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点．直接把点代入函数，得到，再代入代数式即可得出结论． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴ 故答案为：3． 14. 如图，在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点，则的周长为_________． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线性质的应用，根据平行四边形的性质求出、的长，根据线段垂直平分线性质求出，求出的周长，代入求出即可． 【分析】解：四边形是平行四边形，，， ，， 的垂直平分线交于点， ， 的周长为， 故答案为：． 15. 为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则小丁此次投掷的成绩是_____米． 【答案】7 【解析】 【分析】建立坐标系，如图所示：根据顶点为（2,2），过点（0,1.68）求得抛物线解析式，转化为抛物线与x轴的交点问题即一元二次方程问题求解即可． 【详解】解：建立坐标系，如图所示： 由题意得：，点为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 把代入得： ， 解得， , 令，得 解得（舍）， 小丁此次投掷的成绩是米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意自主建立坐标系，把生活问题转化为二次函数的数学模型求解是解题的关键． 16. 一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称最短路线问题，由点，的坐标及点，分别是，的中点，可得出点，的坐标，作点关于轴的对称点，连接交于点，此时周长最小，由点的坐标可得出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出当周长最小时点的坐标． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，点是的中点，点为的中点， 点的坐标为，点的坐标为． 作点关于轴的对称点，连接交于点，此时周长最小，如图所示． 点的坐标为， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为． 当时，， 此时点的坐标为． 故答案为： ． 三、解答题（共9小题，共66分） 17. 先化简：，其中，选择一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再从中选一个使得原分式有意义的整数的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ，，， ，， ∵，且x为整数， ， 当时，原式． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）将方程的右边的代数式移项至左边，再将方程的左边进行因式分解，将原方程转化为两个一元一次方程，求解即可； （2）直接利用求根公式法求解即可； 解题的关键是掌握解一元二次方程的方法（直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法）并能根据具体情况选择合适的方法求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 ， 此时，，， ∵， ∴， ∴，． 19. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与y轴的交点为C，与x轴的交点为D． （1）若一次函数图象经过点，求一次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点在图象上得到，解得，得到，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）过A作轴于点E，求出点D坐标为，则，由得到，利用三角形的面积公式即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点在图象上， ∴，解得：． ∴ ∵点和点在图象上， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：如图，过A作轴于E， ∵一次函数解析式为：， ∴时， ，解得， ∴点D坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质等知识，读懂题意，数形结合和准确计算是解题的关键． 20. 在一次“慈善一日捐”捐款活动中，某中学学生会对该校学生捐款进行随机抽样调查和分组统计，将数据整理成以下统计图（信息不完整）． 组别 捐款数（）元 请结合以上信息解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______； （2）样本中捐款数的学生有______人，并补全图中的捐款人数条形统计图； （3）若该校共有1600名学生，根据以上信息估计全校捐款超过50元的人数是多少？ 【答案】（1）50 （2） 14，补图如下： （3）576 【解析】 【分析】（1）根据C组的人数及百分比可求样本容量； （2）用样本容量减去其他组的人数得到D组人数，补图即可； （3）用总人数1600乘以超过50元的比例即可． 【小问1详解】 本次调查的样本容量是， 故答案为：50； 【小问2详解】 样本中捐款数的学生有人， 故答案为：14， 【小问3详解】 （人）， ∴全校捐款超过50元的有576人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图，在平行四边形中，是上一点（不与点，重合），，过点作，交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）证出即可得到结论； （2）由证明，得出，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长是． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等知识；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理，证明四边形为矩形是解决问题的关键． 22. 若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求m的值． 【答案】（1）且 （2）的值为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根、一元二次方程根的判别式得出、，进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式的变形得到，由此解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 即，解得， ∴且； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ， ， ∴或， 解得（且，故舍去），， ∴的值为． 23. 某服装店以每件40元的价格购进一批衬衫，在试销过程中发现：每月销售量（件）与销售单价（为正整数）（元）之间符合一次函数关系，当销售单价为55元时，月销售量为140件；当销售单价为70元时，月销售量为80件． （1）求与的函数关系式； （2）设服装店每月销售该种衬衫获利为元，求与之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，商场获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）关系式为：，时商场获利最大，最大利润是2500元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键． （1）设与的函数关系式，根据售价与销量之间的数量关系建立方程组，求出其解即可； （2）根据利润（售价进价）数量就可以表示出， 【小问1详解】 解：设与的函数关系式，由题意，得 ， 解得：， 与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意，得 ， 与之间的函数关系式为：， ， 当时，最大利润为2500元． 24. 若关于的方程有一个解为，那么称这样的方程为“实一方程”．例如方程：有解，所以为“实一方程”． （1）下列方程是“实一方程”的有_______________； ①； ②； ③． （2）已知直线与轴交于点，与轴交于点，，且当时，关于的方程为“实一方程”，求该直线解析式； （3）已知，为“实一方程”（，，为常数，且）的两个根，试求的取值范围． 【答案】（1）①③ （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）依据题意，根据“实一方程”定义逐个计算即可判断得解； （2）依据题意，由当时，关于的方程为“实一方程”，从而可得，再由，进而求出，即可判断得解； （3）依据题意，由为“实一”方程，则方程必有一个根是，故，结合，可得，，且，可得，又，为“实一方程” 的两个根，从而其中一个是，而另一个为，故，再由，进而计算可以得解． 【小问1详解】 解：解方程得， 是“实一方程”； 解方程得，， 不是“实一方程”； 解方程得，， 是“实一方程”； 故答案为：①③； 【小问2详解】 由题意，当时，关于的方程为“实一方程”， 当时，． ． ． 又直线与轴交于点，与轴交于点， ，，． ． ． 又， ． 或． 或． 直线解析式为或． 【小问3详解】 由题意，为“实一”方程， 方程必有一个根是． ． 又， ，，且． ． ，为“实一方程” 的两个根， 其中一个是，而另一个为． ． ， ． ． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． （1）分别求直线和这条抛物线的解析式； （2）若，求此时点的坐标； （3）是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为， （2）, （3），，或 【解析】 【分析】（1）设，将，代入两个函数解析式即可求出答案； （2）设，，根据，则，即可解答； （3）设，分当时；，三种情况依次进行讨论即可． 【小问1详解】 解：设，将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线经过点，两点，将，代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 设，，，则， 当时 ∵ ， 整理得， ，（舍去） ； 当时 ∵ ， 整理得， ∴（舍去）或； ∴ 当时 ∴不存在 综上所述：, 【小问3详解】 设，则 ，，， ①当时，即， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ②时，即， ， ， ， 而， ， ， ③时，即， ， ， （舍去）或 ， 或， 或， 综上所述：，，或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $