河北省邯郸市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质

河北省邯郸市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质 一．选择题（共15小题） 1．（2024•邯郸二模）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m 2．（2024•馆陶县二模）如图，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于（　　） A．70 B．74 C．144 D．148 3．（2024•馆陶县二模）如图，若将钟面上的12时作为正北方向，3时作为正东方向，则8时可以描述为（　　） A．北偏西60°方向 B．北偏西30°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西60°方向 4．（2024•馆陶县二模）如图，在两个同心圆⊙O中，AB，CD分别是大圆和小圆的直径，且AB与CD不在同一条直线上，则可直接判定以点A，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分 5．（2024•邱县二模）如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2024•馆陶县二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形PQMN；②利用尺规分别作PQ，PN的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，OP长为半径画⊙O，则不一定在⊙O上的点是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 7．（2024•邱县二模）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP＝180°，要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加BM＝PC； 乙：添加BM∥PC； 丙：添加MP＝BC． 则正确的方案（　　） A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对 C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对 8．（2024•邯郸二模）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形ABC是三角板），其依据是（　　） A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 9．（2024•邯郸二模）如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a、b两直线的距离可以是（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 10．（2024•邯郸二模）如图是正方体的表面展开图，现将部分面上分别标注数字，若正方体朝上的面标注的数字是1，则正方体朝下的面标注的数字是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（2024•邯郸二模）如图，在矩形ABCD铁片上，截下一个正六边形EFGHMN，其中点E、F在边AD上，点G在矩形ABCD的内部，点H、M在边BC上，点N在AB边上，若，则AD的长可以是（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．13cm 12．（2024•邯郸二模）已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，如图，求证，四边形ABCD是菱形． 证明：∵AB＝CD，BC＝DA， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵“_____”， ∴四边形ABCD是菱形． 在以上证明过程中，“_____”可以表示的是（　　） A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．AB＝BC D．AB∥DC 13．（2024•邯郸二模）借助圆规，可得图中最长的线段是（　　） A．BA B．CA C．DA D．EA 14．（2024•邯郸二模）如图，在正方形ABCD内，确定一个点M，使△MAB、△MBC、△MCD、△MDA均为等腰三角形，则M点的个数为（　　） A．1 B．3 C．4 D．5 15．（2024•邱县二模）已知直线PQ，嘉嘉和淇淇想画出PQ的平行线，他们的作法如下（图1和图2）： 嘉嘉： ①将直尺紧贴直线PQ； ②含60°角的三角板的顶点C落在直尺上； ③使三角板斜边BC与量角器的60°刻度线重合，则AB∥PQ． 淇淇： ①作射线PC； ②在射线PC上任取点A，用尺规作与∠APQ相等的角，即∠CAB＝∠APQ； ③连接AB，则AB∥PQ． 下列说法正确的是（　　） A．嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确 B．嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确 C．嘉嘉和淇淇的作法都正确 D．嘉嘉和淇淇的作法都不正确 二．填空题（共10小题） 16．（2024•馆陶县二模）如图1，在六边形ABCDEF中，每个内角的度数都相等．嘉嘉针对图形特点，对这个图形进行了补充和探究： （1）分别延长CB，FA相交于点G，得到图2，则∠G＝　 　°； （2）若已知AB＝3，BC＝5，CD＝4，DE＝1，则六边形ABCDEF的周长为 　 　． 17．（2024•邯郸二模）如图，有A、B、C三个城镇，A城镇位于C城镇正北方向，且到C城镇5km，B城镇位于C城镇正东方向，且到C城镇12km，点M，点C被湖水隔开，若点M是AB的中点，则MC＝　 　km． 18．（2024•邯郸二模）如图，已知△ABC，根据几何作图的痕迹，解决下列问题： （1） 　 　； （2）若∠COE＝68°，则∠ACB＝　 　°． 19．（2024•邯山区二模）已知，如图等边△ABC中，AD是BC边上的高，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB，AC于点E，F．若BC＝10，则的长为 　 　． 20．（2024•邯郸二模）如图，将两块不同的等腰直角三角板OEF和三角板OCG放置在正方形ABCD中，直角顶点O重合，点E，F，G分别在边AB，BC，AD上，AB＝10，GD＝BF，若较小的斜边EF长为2，则BE的长为 　 　，较长的斜边CG长为 　 　． 21．（2024•邯山区二模）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　 　． 22．（2024•峰峰矿区二模）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是 　 　度． 23．（2024•峰峰矿区二模）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，CE⊥AB于E，连接OE，若∠ABC＝80°，则∠OEC的度数为 　 　°． 24．（2024•邱县二模）如图，过正六边形ABCDEF的顶点D作一条直线l⊥AD于点D，分别延长AB、AF交直线l于点M，N，则∠AMN＝　 　；若正六边形ABCDEF的面积为6，则△AMN的面积为　 　． 25．（2024•广平县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AB＝4，∠ABO＝30°，则AC＝　 　．由尺规作图痕迹，可知∠OPD＝　 　． 三．解答题（共5小题） 26．（2024•丛台区二模）在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，BC＝8，∠DAB＝∠ABC＝90°，以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点E是从点B向点C运动的一个动点，速度为每秒一个单位长度，在运动过程中，连接线段AE，并将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF． （1）易证：∠DCB的度数为 　 　；对角线AC的长度为 　 　； （2）当点E运动到点C时，求点F的坐标； （3）当点F落在对角线AC上时，求点E运动的时间t； （4）直接写出点E从点B运动到点C时，点F运动的路径长． 27．（2024•丛台区二模）雨过天晴，人们常看到天空中出现彩虹，它是由阳光照射到空中弥漫的水珠上时出现的现象．在说明这个现象时，需要分析光线射入水珠后的光路． 已知：一细束光线MA射入水珠，水珠可视为一个半径为R＝10mm的球，球心O到入射光线MA的垂直距离为d＝8mm，折射光线AC＝16mm．（参考数据：sin37°≈0.6，sin53°≈0.8） （1）圆心O到折线AC的距离； （2）求光线MA与折线AC所夹的劣弧BC的长． （3）若这条光线在第一次射出水珠的线路CN与水珠所在的⊙O相切，请直接写出光线CN与MA所在直线所夹的锐角的度数． 28．（2024•馆陶县二模）将直径为10cm的量角器与矩形直尺按如图1位置放置，其中量角器的直径AB平行于直尺的边缘MN，OA对应量角器的0°刻度线，OB对应量角器的180°刻度线，且量角器的轮廓所在的半圆O与直尺的边缘MN相切于点P，与直尺的另一边缘相交于点C，D．已知点P，C，D在直尺上的读数分别为5cm，1cm，9cm． 计算在图1中，设OP与CD交于点E． （1）求直尺的宽度PE； 操作将图1中的量角器沿MN向右作无滑动的滚动，直尺保持固定，当量角器的端点B恰好与直尺边缘上的交点D重合时停止滚动，如图2所示． 探究经过上述操作后，在图2中，求： （2）点C在量角器上的读数； （3）点P在直尺上的读数（结果保留小数点后一位）（参考数据：tan37°取0.75，π取3.14） 29．（2024•邯郸二模）如图1，在矩形OABC中，OA＝6，OC＝8，点D在射线OC上（不与O点重合），以O为圆心，OD为半径向上作半圆O，半圆O交CO延长线于E点． （1）若OD＝2，M是半圆O上一点，则B、M两点之间距离的最小值为 　 　． （2）如图2，连接OB交半圆O于P点，在接AD交半圆O于F点，若P点恰好是的中点，求的长；【注：，】（3）连接AC，若半圆O与△ABC的边有两个交点，求tan∠BAD的取值范围． 30．（2024•邯山区二模）如图，点B在数轴上对应的数是﹣2，以原点O为圆心，OB的长为半径作优弧AB，使点A在原点的左上方，且，点D在数轴上对应的数为4． （1）求扇形AOB的面积； （2）点E是优弧AB上任意一点， ①当∠EDB最大时，直接指出ED与优弧AB的位置关系，并求∠EDB的最大值． ②当点E与点A重合时，线段DE与优弧AB的交点为F，请直接写出EF的长． 河北省邯郸市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．（2024•邯郸二模）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m 【解答】解：由题意可知，CF＝2.5m，BE＝0.7m， ∴BD＝1.8m． 设AC的长为x m，则AB＝AC＝x m， 所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m． 在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2， 解得：x＝3.4， 即绳索AC的长是3.4米． 故选：A． 2．（2024•馆陶县二模）如图，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于（　　） A．70 B．74 C．144 D．148 【解答】解：过点A作AE⊥l1，过点C作CF⊥l2， ∴∠CBF+∠BCF＝90°， 四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°， ∴∠ABE+∠CBF＝90°， ∵l1∥l2∥l3， ∴∠ABE＝∠BCF， 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF（AAS）（画出L1到L2，L2到L3的距离，分别交L2，L3于E，F） ∴BF＝AE， ∴BF2+CF2＝BC2， ∴BC2＝52+72＝74． 故面积为74． 故选：B． 3．（2024•馆陶县二模）如图，若将钟面上的12时作为正北方向，3时作为正东方向，则8时可以描述为（　　） A．北偏西60°方向 B．北偏西30°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西60°方向 【解答】解：根据上北下南的方位，如果将钟面上的12时作为正北方向，3时作为正东方向，那么8时可描述为南偏西60°． 故选：D． 4．（2024•馆陶县二模）如图，在两个同心圆⊙O中，AB，CD分别是大圆和小圆的直径，且AB与CD不在同一条直线上，则可直接判定以点A，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分 【解答】解：在两个同心圆⊙O中，AB，CD分别是大圆和小圆的直径，且AB与CD不在同一条直线上， ∴OA＝OB，OC＝OD， ∴四边形ADBC是平行四边形 故选：D． 5．（2024•邱县二模）如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：∵正五边形的每个内角为180°×（5﹣2）÷5＝108°， ∴组成的正多边形的每个内角为360°﹣2×108°﹣24°＝120°， ∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴形成的正多边形为正n边形，则， 解得：n＝6． 故选：C． 6．（2024•馆陶县二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形PQMN；②利用尺规分别作PQ，PN的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，OP长为半径画⊙O，则不一定在⊙O上的点是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【解答】解：连接OP，OQ，OM，ON， ∵作PQ，PN的垂直平分线，两直线交于点O， ∴OP＝OQ＝ON， ∴点P，Q，N在点O为圆心，OP长为半径的圆上，OM与ON的大小关系不能确定， ∴点M不一定在圆上， 故选：C． 7．（2024•邱县二模）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP＝180°，要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加BM＝PC； 乙：添加BM∥PC； 丙：添加MP＝BC． 则正确的方案（　　） A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对 C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对 【解答】解：∵∠P+∠BCP＝180°， ∴MP∥BC， 甲：添加BM＝PC后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形MBCP为平行四边形； 乙：添加BM∥PC后，满足两组对边平行，能证明四边形MBCP为平行四边形； 丙：添加MP＝BC后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形MBCP为平行四边形； 综上可知，只有乙、丙才对， 故选：B． 8．（2024•邯郸二模）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形ABC是三角板），其依据是（　　） A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）， ∴C正确． 故选：C． 9．（2024•邯郸二模）如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a、b两直线的距离可以是（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【解答】解：根据平行线之间的距离的定义可得a、b两直线的距离应该小于5， 故选：D． 10．（2024•邯郸二模）如图是正方体的表面展开图，现将部分面上分别标注数字，若正方体朝上的面标注的数字是1，则正方体朝下的面标注的数字是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：其中面“2”与面“1”相对， 所以正方体朝上的面标注的数字是1，则正方体朝下的面标注的数字为2， 故选：A． 11．（2024•邯郸二模）如图，在矩形ABCD铁片上，截下一个正六边形EFGHMN，其中点E、F在边AD上，点G在矩形ABCD的内部，点H、M在边BC上，点N在AB边上，若，则AD的长可以是（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．13cm 【解答】解：∵六边形EFGHMN是正六边形， ∴∠FEN＝∠ENM＝∠NMH＝120°，EF＝EN＝NM， ∴∠AEN＝∠BMN＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴△ANE≌△BNM， ∴， ∴， 如图，连接EM，FH，NG，分别相交于点K，L， 则四边形ANKE与四边形EFLK是矩形， ∴KL＝EF＝6cm， ∵∠MNE＝120°，MN＝NE， ∴∠ENK＝60°，∠NEK＝30°， ∴， 同理可得，GL＝3cm， ∴NG＝NK+KL+LG＝3+6+3＝12cm ∵点G在矩形ABCD的内部， ∴AD＞NG， 故选：D． 12．（2024•邯郸二模）已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，如图，求证，四边形ABCD是菱形． 证明：∵AB＝CD，BC＝DA， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵“_____”， ∴四边形ABCD是菱形． 在以上证明过程中，“_____”可以表示的是（　　） A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．AB＝BC D．AB∥DC 【解答】解：根据“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”，可得“…………”可以表示的是AB＝BC． 故选：C． 13．（2024•邯郸二模）借助圆规，可得图中最长的线段是（　　） A．BA B．CA C．DA D．EA 【解答】解：通过用圆规比较图中的四条线段，其中最长的DA， 故选：C． 14．（2024•邯郸二模）如图，在正方形ABCD内，确定一个点M，使△MAB、△MBC、△MCD、△MDA均为等腰三角形，则M点的个数为（　　） A．1 B．3 C．4 D．5 【解答】解：如图，作AD、BC、AB、CD的中垂线， ①分别以A、C为圆心，正方形的边长为半径画圆，每个圆与两条中垂线各有2个交点，共8个交点， 根据中垂线的性质以及圆内半径相等，8个交点的位置都满足△MAB、△MBC、△MCD、△MDA均是等腰三角形； ②两条中垂线的交点，也满足△MAB、△MBC、△MCD、△MDA均是等腰三角形； ∴满足构成等腰三角形的所有点M的个数为：4+4+1＝9； 其中在正方形内部的点有5个， 故选：D． 15．（2024•邱县二模）已知直线PQ，嘉嘉和淇淇想画出PQ的平行线，他们的作法如下（图1和图2）： 嘉嘉： ①将直尺紧贴直线PQ； ②含60°角的三角板的顶点C落在直尺上； ③使三角板斜边BC与量角器的60°刻度线重合，则AB∥PQ． 淇淇： ①作射线PC； ②在射线PC上任取点A，用尺规作与∠APQ相等的角，即∠CAB＝∠APQ； ③连接AB，则AB∥PQ． 下列说法正确的是（　　） A．嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确 B．嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确 C．嘉嘉和淇淇的作法都正确 D．嘉嘉和淇淇的作法都不正确 【解答】解：嘉嘉：斜边BC与量角器的60°刻度线重合， ∴∠BCQ＝60° 又∵直角板∠ACB＝30°， ∴∠ACQ＝90°， ∴∠A+∠ACQ＝180°， ∴AB∥PQ， 则嘉嘉的作法正确， 淇淇：∵∠CAB＝∠APQ， ∴AB∥PQ， 则淇淇的作法正确， 故选：C． 二．填空题（共10小题） 16．（2024•馆陶县二模）如图1，在六边形ABCDEF中，每个内角的度数都相等．嘉嘉针对图形特点，对这个图形进行了补充和探究： （1）分别延长CB，FA相交于点G，得到图2，则∠G＝　60　°； （2）若已知AB＝3，BC＝5，CD＝4，DE＝1，则六边形ABCDEF的周长为 　22　． 【解答】解：（1）（6﹣2）×180°＝720°， 所以六边形ABCDEF的每个内角度数为：720°÷6＝120°， 所以∠CBA＝∠BAF＝120°， 所以∠GBA＝∠GAB＝60°， 所以∠G＝180°﹣60°﹣60°＝60°． 故答案为：60． （2）延长CB，FA相交于点G，延长CD，FE相交于点M， 因为∠G＝60°，∠C＝120°， 所以∠G+∠C＝180°， 所以CM∥GF， 同理可得，CG∥FM， 所以四边形CGFM为平行四边形， 所以CG＝MF，CM＝GF． 因为∠GBA＝∠GAB＝60°， 所以△BGA为等边三角形， 所以BG＝AG＝AB＝3， 同理可得，DM＝EM＝DE＝1， 所以MF＝CG＝5+3＝8，GF＝CM＝4+1＝5， 所以EF＝8﹣1＝7，AF＝5﹣3＝2， 所以六边形ABCDEF的周长为：3+5+4+1+7+2＝22． 故答案为：22． 17．（2024•邯郸二模）如图，有A、B、C三个城镇，A城镇位于C城镇正北方向，且到C城镇5km，B城镇位于C城镇正东方向，且到C城镇12km，点M，点C被湖水隔开，若点M是AB的中点，则MC＝　6.5　km． 【解答】解：由题意得∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴， ∵点M是AB的中点， ∴， 故答案为：6.5． 18．（2024•邯郸二模）如图，已知△ABC，根据几何作图的痕迹，解决下列问题： （1） 　BC　； （2）若∠COE＝68°，则∠ACB＝　44　°． 【解答】解：（1）由作图痕迹可知OE是线段BC的垂直平分线， ∴， 故答案为：BC． （2）由作图痕迹可知CO是∠ACB的角平分线， ∴∠ACB＝2∠OCE， ∵△OCE中，∠COE＝68°，∠OEC＝90°， ∴∠OCE＝180°﹣68°﹣90°＝22°， ∴∠ACB＝2×22°＝44°， 故答案为：44． 19．（2024•邯山区二模）已知，如图等边△ABC中，AD是BC边上的高，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB，AC于点E，F．若BC＝10，则的长为 　　． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，AD是BC边上的高，BC＝10， ∴BD＝5，AB＝10， ∴AD5， ∴的长为． 故答案为：． 20．（2024•邯郸二模）如图，将两块不同的等腰直角三角板OEF和三角板OCG放置在正方形ABCD中，直角顶点O重合，点E，F，G分别在边AB，BC，AD上，AB＝10，GD＝BF，若较小的斜边EF长为2，则BE的长为 　2　，较长的斜边CG长为 　2　． 【解答】解：如图，分别过O、G作AB的平行线RQ、GP，作OM∥BC交AB于点M，连接EC、GF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD∥RQ∥GP，AD∥BC∥OM， ∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°， ∴四边形MBQO、PCDG、QPGR都是矩形， ∴AB＝BC＝CD＝GP＝10，GD＝PC， 由题意可知：OE＝OF，OC＝OG，∠EOF＝∠COG＝90°， ∴∠EOC＝∠FOG， 在△EOC和△FOG中， ， ∴△EOC≌△FOG （SAS）， ∴EC＝FG， 在Rt△EBC和Rt△FPG中， ， ∴Rt△EBC≌Rt△FPG （HL）， ∴BE＝FP， 设BE＝x，BF＝y， ∴FP＝BE＝x，GD＝BF＝PC＝y， ∵EF＝2，CB＝10， 在Rt△BEF中，根据勾股定理得： BE2+BF2＝EF2， ∴x2+y2＝（2）2， ∵BF+FP+PC＝BC， ∴y+x+y＝10， 解得x＝2，y＝4， ∴BE＝2，BF＝GD＝4， ∴GC2， 故答案为：2，2． 21．（2024•邯山区二模）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　78°　． 【解答】解：解法一：连接BO，并延长BO到P， ∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O， ∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE+∠ABC＝180°， ∵∠DOE+∠1＝180°， ∴∠ABC＝∠1＝39°， ∵OA＝OB＝OC， ∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C， ∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC， ∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°； 解法二： 连接OB， ∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O， ∴AO＝OB＝OC， ∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE， ∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°， ∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°， ∴∠AOD+∠COE＝141°， ∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°； 故答案为：78°． 22．（2024•峰峰矿区二模）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是 　140　度． 【解答】解：连接OE， ∵∠ACB＝90°， ∴点C在以AB为直径的圆上， 即点C在⊙O上， ∴∠EOA＝2∠ECA， ∵∠ECA＝2°×35＝70°， ∴∠AOE＝2∠ECA＝2×70°＝140°． ∵量角器0刻度线的端点N与点A重合， ∴点E在量角器上对应的读数是140， 故答案为：140． 23．（2024•峰峰矿区二模）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，CE⊥AB于E，连接OE，若∠ABC＝80°，则∠OEC的度数为 　40　°． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°，AB＝BC， ∴∠CAB＝∠ACB（180°﹣80°）＝50°，AO＝CO， ∵CE⊥AB， ∴OE＝OA＝OC，∠AEC＝90°， ∴∠OEA＝∠OAE＝50°， ∴∠OEC＝90°﹣50°＝40°， 故答案为：40． 24．（2024•邱县二模）如图，过正六边形ABCDEF的顶点D作一条直线l⊥AD于点D，分别延长AB、AF交直线l于点M，N，则∠AMN＝　30°　；若正六边形ABCDEF的面积为6，则△AMN的面积为　16　． 【解答】解：连接BE，CF交于点O， ∵ABCDEF是正六边形， ∴∠MAD＝∠NAD＝60°， ∵AD⊥MN， ∴∠ADM＝∠ADN＝90°， ∴∠AMN＝∠ANM＝30° ∵ABCDEF是正六边形，面积为6， ∴点O在AD上，OA＝OB，△AOB的面积＝1， ∴•OA2＝1， ∴OA2， ∵AD⊥MN，DM＝DNAD＝2OA， ∴S△ANM•MN•AD2×2OA×2OA＝4OA2＝16， 故答案为30°，16． 25．（2024•广平县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AB＝4，∠ABO＝30°，则AC＝　4　．由尺规作图痕迹，可知∠OPD＝　75°　． 【解答】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，AC＝2AO， ∵AB＝4，∠ABO＝30°， ∴AOAB＝2， ∴AC＝4； 在菱形ABCD中，∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO＝30°， ∵PD平分∠CDO， ∴∠PDO∠CDO＝15°， ∵∠DOP＝90°， ∴∠OPD＝90°﹣15°＝75°， 故答案为：4，75°． 三．解答题（共5小题） 26．（2024•丛台区二模）在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，BC＝8，∠DAB＝∠ABC＝90°，以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点E是从点B向点C运动的一个动点，速度为每秒一个单位长度，在运动过程中，连接线段AE，并将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF． （1）易证：∠DCB的度数为 　45°　；对角线AC的长度为 　　； （2）当点E运动到点C时，求点F的坐标； （3）当点F落在对角线AC上时，求点E运动的时间t； （4）直接写出点E从点B运动到点C时，点F运动的路径长． 【解答】解：（1）如图所示，过点D作DG⊥BC于点G， 已知AB＝AD＝4，BC＝8，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABGD是正方形， ∴AB＝BG＝DG＝AD＝4， ∴CG＝DG＝4， ∴△CDG是等腰直角三角形， ∴∠DCB＝45°， 在Rt△ABC中，， 故答案为：45°，； （2）如图所示，点E运动到点C，过点F作FH⊥BC延长线于点H， ∴∠ABC＝∠FHC＝90°， ∵∠AEF＝90°，∠ACB+∠FCH＝∠FCH+∠CFH＝90°， ∴∠ACB＝∠CFH，且AC＝CF， ∴△ABC≌△CHF（AAS）， ∴AB＝CH＝4，BC＝HF＝8， ∴H（12，0），F（12，8）； （3）如图所示，结合（2）的证明方法可得，△ABE≌△EHF（AAS）， ∴AB＝EH＝4，BE＝HF， 设BE＝HF＝x，则CH＝8﹣（4+x）＝4﹣x， ∵FH⊥BC，∠ABC＝90°，即AB⊥BC， ∴AB∥FH， ∴△CFH∽△CAB， ∴，即， 解得，， ∵点E是从点B向点C运动的一个动点，速度为每秒一个单位长度， ∴点F落在对角线AC上时，点E运动的时间； （4）由（1）可知，当点B与点E重合时，即AE＝AB＝4， ∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF， ∴EF＝BG＝4，即F（4，0）； 由（2）可知，当点B与点C重合时，F（12，8） 当点E从点B开始运动时，结合上述证明可得，△ABE≌△EHF， ∴BE＝HF，AB＝EH＝4，设F（x，y）， ∴FH＝BE＝BH﹣EH即y＝x﹣4 ∴点F运动路径是y＝x﹣4（4≤x≤12）的线段， ∴水平方向上：12﹣4＝8，垂直方向上：8， ∴根据勾股定理得， ∴点F运动的路径长为． 27．（2024•丛台区二模）雨过天晴，人们常看到天空中出现彩虹，它是由阳光照射到空中弥漫的水珠上时出现的现象．在说明这个现象时，需要分析光线射入水珠后的光路． 已知：一细束光线MA射入水珠，水珠可视为一个半径为R＝10mm的球，球心O到入射光线MA的垂直距离为d＝8mm，折射光线AC＝16mm．（参考数据：sin37°≈0.6，sin53°≈0.8） （1）圆心O到折线AC的距离； （2）求光线MA与折线AC所夹的劣弧BC的长． （3）若这条光线在第一次射出水珠的线路CN与水珠所在的⊙O相切，请直接写出光线CN与MA所在直线所夹的锐角的度数． 【解答】解：（1）如图所示，过点O作OD⊥AC于点D， ∵AC＝16mm， ∴mm， 又AO＝10mm， ∴（mm）， 即圆心O到折线AC的距离为6mm； （2）如图所示，过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，OC， 依题意，OE＝8mm， ∴在Rt△AOE中，（mm）， ∵，， ∴∠OAE＝53°，∠DAO＝37°， ∴∠BAC＝53°﹣37°＝16°， ∴∠BOC＝32°， ∴π； （3）如图所示，过点O作OF∥AM交CN于点F， 由（2）可得∠OAE＝53°，则∠BOE＝∠AOE＝37°，∠BOC＝32°， ∴∠EOC＝69°， ∴∠COF＝90°﹣∠EOC＝21°， 又∵CN是⊙O的切线， ∴CN⊥OC， ∴∠OFC＝90°﹣∠COF＝90°﹣21°＝69°， 即光线CN与MA所在直线所夹的锐角的度数为69°． 28．（2024•馆陶县二模）将直径为10cm的量角器与矩形直尺按如图1位置放置，其中量角器的直径AB平行于直尺的边缘MN，OA对应量角器的0°刻度线，OB对应量角器的180°刻度线，且量角器的轮廓所在的半圆O与直尺的边缘MN相切于点P，与直尺的另一边缘相交于点C，D．已知点P，C，D在直尺上的读数分别为5cm，1cm，9cm． 计算在图1中，设OP与CD交于点E． （1）求直尺的宽度PE； 操作将图1中的量角器沿MN向右作无滑动的滚动，直尺保持固定，当量角器的端点B恰好与直尺边缘上的交点D重合时停止滚动，如图2所示． 探究经过上述操作后，在图2中，求： （2）点C在量角器上的读数； （3）点P在直尺上的读数（结果保留小数点后一位）（参考数据：tan37°取0.75，π取3.14） 【解答】解：（1）∵C，D在直尺上的读数分别为1cm，9cm， ∴CD＝9﹣1＝8（cm）， ∵半圆O与MN相切于点P， ∴OP⊥MN， 又∵CD∥MN， ∴OP⊥CD， ∴， 如图1，连接OD，在Rt△DOE中，， ∴， ∴PE＝OP﹣OE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（cm）； （2）连接OC，如图2，在Rt△DOE中，， ∴∠ODE＝37°， ∴∠AOC＝2∠ODE＝2×37°＝74°， 即点C在量角器上的读数为74°； （3）取半圆弧的中点为Q，连接OQ， ∴∠DOQ＝90°， ∴∠POQ＝90°﹣∠DOP＝∠ODE＝37°， ∴的长度为：3.23（cm）， 即经操作后，点P移动的距离为3.23cm， ∴点P在直尺上的读数为5+3.23≈8.2（cm）． 29．（2024•邯郸二模）如图1，在矩形OABC中，OA＝6，OC＝8，点D在射线OC上（不与O点重合），以O为圆心，OD为半径向上作半圆O，半圆O交CO延长线于E点． （1）若OD＝2，M是半圆O上一点，则B、M两点之间距离的最小值为 　8　． （2）如图2，连接OB交半圆O于P点，在接AD交半圆O于F点，若P点恰好是的中点，求的长；【注：，】（3）连接AC，若半圆O与△ABC的边有两个交点，求tan∠BAD的取值范围． 【解答】解：（1）连接OB，交圆O于点M，如图，此时B、M两点之间距离最小， ∵在矩形OABC中，OA＝6，OC＝8， ∴OA＝BC＝6，AB＝OC＝8，AB∥OC， ∴， ∵OD＝2， ∴OM＝OD＝2， ∴BM＝OB﹣OM＝8， 故答案为：8； （2）AD交OB于点N，如图， ∵P点恰好是的中点， ∴，OB⊥AD， ∴∠OAN+∠AON＝90°， ∵∠ABO+∠AON＝90°， ∴∠ABO＝∠OAN， ∴结合∠AOD＝∠BAO＝90°，有△AOB∽△ODA， ∴， ∴， ∵，， ∴∠BOC＝37°， ∴， ∴； （3）设AC与半圆O相切于点G，连接OG，如图， 此时，半圆O与△ABC的边有一个交点， 随着半径的增大，半圆O与△ABC的边有两个个交点， ∵AC与半圆O相切于点G， ∴AC⊥OG， ∵， 又∵， ∴， ∴OD＝OG＝4.8， ∴在Rt△AOD中，， ∵AB∥OC， ∴∠ADO＝∠BAD， ∴； 随着半圆的半径继续扩大，当半圆O经过点B时，如图， 此时，半圆O与△ABC的边又只有一个交点， 此时有：OD＝OB＝10， ∴在Rt△AOD中，， ∵AB∥OC， ∴∠ADO＝∠BAD， ∴， ∴半圆O与△ABC的边有两个交点时， tan∠BAD的取值范围为：． 30．（2024•邯山区二模）如图，点B在数轴上对应的数是﹣2，以原点O为圆心，OB的长为半径作优弧AB，使点A在原点的左上方，且，点D在数轴上对应的数为4． （1）求扇形AOB的面积； （2）点E是优弧AB上任意一点， ①当∠EDB最大时，直接指出ED与优弧AB的位置关系，并求∠EDB的最大值． ②当点E与点A重合时，线段DE与优弧AB的交点为F，请直接写出EF的长． 【解答】解：（1）∵， ∴∠AOB＝60°， ∴扇形AOB的圆心角为300°， ∵点B在数轴上对应的数是﹣2，以原点O为圆心，OB的长为半径， ∴OB＝2， ∴扇形AOB的面积． （2）①∵点E是优弧AB上任意一点， ∴当直线DE与优弧AB有唯一公共点时，即ED与优弧AB的位置关系相切时，∠EDB最大， ∴当∠EDB最大时，ED与优弧AB的位置关系为：ED与优弧AB相切； 连接OE，如图， ∵ED与优弧AB相切， ∴OE⊥DE， ∵点D在数轴上对应的数为4， ∴OE＝4． ∴sin∠EDB， ∴∠EDB＝30°． ∴当∠EDB最大时，ED与优弧AB相切，∠EDB的最大值为30°． ②过点A作AG⊥OB于点G，过点O作OH⊥EF于点H，如图， 则EH＝FHEF． 由（1）知：∠AOB＝60°， ∴EG＝OA•sin60°，OG＝OA•cos60°＝1． ∴GD＝OG+OD＝5， ∴ED2． ∵∠AGD＝∠OHD＝90°，∠D＝∠D， ∴△DOH∽△DEG， ∴， ∴， ∴OH， ∴EH， ∴EF＝2EH． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/12 14:22:49；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$