单元检测03 一元二次函数、方程和不等式（基础卷） -2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）

单元检测03 一元二次函数、方程和不等式（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东·二模）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2024高二上·广东·学业考试）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·北京·开学考试）已知二次函数（为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）给定下列推导过程，错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）设正实数m，n满足，则（　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 11．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·上海金山·期中）已知a为正数，比较大小： 4. 13．（24-25高一上·上海·课前预习）已知，有以下说法： ①若，则；②若，则；③若，则， 其中正确的是 ． 14．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）设实数满足，则函数的最大值是 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一·上海·课堂例题）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 16. (15分) （23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 17. (15分) （23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知，且 (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 18. (17分) （24-25高一上·江苏·开学考试）（1）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． （2）已知，解不等式：． 19. (17分) （23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 单元检测03 一元二次函数、方程和不等式（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东·二模）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2024高二上·广东·学业考试）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·北京·开学考试）已知二次函数（为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）给定下列推导过程，错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）设正实数m，n满足，则（　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 11．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·上海金山·期中）已知a为正数，比较大小： 4. 13．（24-25高一上·上海·课前预习）已知，有以下说法： ①若，则；②若，则；③若，则， 其中正确的是 ． 14．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）设实数满足，则函数的最大值是 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一·上海·课堂例题）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 16. (15分) （23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 17. (15分) （23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知，且 (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 18. (17分) （24-25高一上·江苏·开学考试）（1）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． （2）已知，解不等式：． 19. (17分) （23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D D A B A C ACD AD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】化简，利用倒数性质得，利用作差比较法易得，故得. 【详解】因由可得， 又，由可得， 故得，. 故选：D. 2．C 【分析】由，可得，A错；利用作差法判断B错；利用基本不等式可得C正确；由，而，可得D错． 【详解】，，故A错； ，，即，可得，，故B错； ，，且，则，故C正确； ，，而，则，故D错. 故选：C 3．D 【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 由于，,故A错误， 对于B，由于关系不确定，故不一定成立，故B错误， 对于C，由于，所以，C错误， 对于D，由于，则，故，D正确， 故选；D 4．D 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 5．A 【分析】变形给定的等式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】由，得，由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A 6．B 【分析】根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为18，可得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 7．A 【分析】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 8．C 【分析】利用二次函数的性质，先求得抛物线对称轴，分和，两种情况进行分析，求得的值即可． 【详解】∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，抛物线的开口向上， ∵当时，函数在处取得最小值， 又函数值y的最小值为，∴当时，，∴，解得． ②当时，抛物线的开口向下， ∵当时，函数在处取得最小值， 又函数值y的最小值为，∴当时，，∴，解得： 故选：C． 9．ACD 【分析】根据不等式的性质逐项判断. 【详解】对于A：只有当时，才成立，故A错误； 显然，B正确； 对于：只有当且时，才成立，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：ACD. 10．AD 【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可. 【详解】对于A，因为正实数m，n满足m＋n＝1， 所以， 当且仅当且，即时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，所以≤， 即最大值为，B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，C不正确； 对于D，由， 因此，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 即的最小值为，D正确． 故选：AD 11．ACD 【分析】首先讨论，三种情况讨论不等式的形式，再讨论对应方程两根大小，得不等式的解集. 【详解】对于一元二次不等式，则 当时，函数开口向上，与轴的交点为， 故不等式的解集为； 当时，函数开口向下， 若，不等式解集为； 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 故选：ACD 12． 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 13．① 【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于①，若，则；①正确， 对于②,若，当时，则，故②错误， 对于③,若，当时，则，故③错误， 故答案为：① 14．/ 【分析】根据基本不等式凑乘积为定值，即可得所求函数的最大值. 【详解】因为，所以中，， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 15．(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）作差法比较大小； （2）两式平方比较大小； 【详解】（1） 理由：， 估算是，估算是，所以， 因此. （2） 理由：将两式平方， ，显然， 所以. 16．（1）；（2）. 【分析】（1）二次除一次后，可直接用基本不等式求最值； （2）配凑法形成积定后即可用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为且, 所以， 当且仅当，即时，y取到最小值. （2），，， ， 当且仅当时，即时取得等号， ，即最大值为. 17．(1)8 (2) 【分析】（1）由题意可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值， （2）将问题转化为恒成立，求出的最小值，而，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出的最大值. 【详解】（1）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8， （2）因为（）恒成立， 所以恒成立， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 所以，所以的最大值为. 18．（1），；（2）答案见解析 【分析】（1）利用一元二次不等式的解与相应一元二次方程的根的关系，结合韦达定理求得后再解相应的不等式即可； （2）比较和，分、、三种情况解不等式即可. 【详解】（1）由的解集为，知的两根为，2， 所以，解得 所求不等式为， 变形为， 即， 所以不等式的解集为． （2）原不等式为． ①若时，即时，则原不等式的解集为； ②若时，即时，则原不等式的解集为； ③若时，即时，则原不等式的解集为． 综上可得，当时，原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为． 19．(1)； (2) (3). 【分析】（1）根据韦达定理和根的判别式得到不等式，求出； （2）令，设的两个根为，，故只需，求出答案； （3）根据方程一个根在内，另一个根在内，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）令，设的两个根为. 若方程的一个根大于1，一个根小于1， 由于，开口向上， 故只需，解得. （3）令，设的两个根为. 若方程一个根在内，另一个根在内， 结合开口向上， 则，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$