江西省丰城中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

丰城中学2024-2025学年上学期高三入学考试试卷 数学 一､单选题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数集满足：，，若，则一定有：（ ）. A. B. C. D. 2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 设函数（，），则函数的单调性（ ） A. 与有关，且与有关 B. 与无关，且与有关 C. 与有关，且与无关 D. 与无关，且与无关 4. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 6. 已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 12 B. 24 C. D. 二､多选题：（本大题共3小题，每小题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 存在实数使得 B. 当时，有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 若曲线有两条过点的切线，则 11. 冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则（ ） A. 序列是需要交换3次的序列 B. C. D. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 若，则______． 13. 展开式中的系数为，则的值为______． 14. 三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为______． 四､解答题（本大题共5小题，满分77分．解答须写出文字说明､证明过程和演算步骤．） 15. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点． （1）求中线的长； （2）求的余弦值； 16. 如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为. （1）求点到平面的距离； （2）若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图： （1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望； （2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ 附：若，则，，；． 18. 已知 且，函数． （1），，为数列的前 项和，当时，试比较与2024的大小，并说明理由： （2）当时，证明：； （3）当且时，试讨论的零点个数． 19. 对于求解方程的正整数解（，，）的问题，循环构造是一种常用且有效地构造方法．例如已知是方程的一组正整数解，则，将代入等式右边，得，变形得：，于是构造出方程的另一组解，重复上述过程，可以得到其他正整数解．进一步地，若取初始解时满足最小，则依次重复上述过程可以得到方程的所有正整数解．已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2． （1）求双曲线的标准方程； （2）方程的所有正整数解为，且数列单调递增． ①求证：始终是4的整数倍； ②将看作点，试问的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 丰城中学2024-2025学年上学期高三入学考试试卷 数学 一､单选题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二､多选题：（本大题共3小题，每小题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BCD 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】1 【14题答案】 【答案】## 四､解答题（本大题共5小题，满分77分．解答须写出文字说明､证明过程和演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1），分布列： X 0 1 2 P （2）有资格参加复赛 【18题答案】 【答案】（1），理由： 当时，， 则 ， 所以当时，； （2）证明：当时，，求导得， 令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，即，函数在上单调递增， 又，因此时，，当时，， 所以. （3）1个. 【19题答案】 【答案】（1） （2）①证明： 方法一：由得，其中是方程的一组正整数解，则， 在循环构造中，对任意正整数，由，是正整数，第k组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分， 注意到二项式的展开式中不含的部分与二项式的展开式中不含的部分相同， 二项式的展开式中含的部分与二项式的展开式中含的部分互为相反数，于是由二项式定理有 ，，从而， 于是对任意的正整数， ， 因为是正整数，所以是4的整数倍． 方法二：在循环构造中，对任意正整数， 由，是正整数，第组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分； 第组解中的为二项式的展开式中不含的部分， 为二项式的展开式中含的部分， 故， 于是， ， 即， 由得，， 代入得， 整理得，即． 因为是正整数，所以是4的整数倍； ②是定值，理由如下： ，，设，的夹角为， 则的面积 ， 由得，， 代入得，， 由得，从而， 故，， ． ，，，，即， 代入得， 于是的面积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $丰城中学2024一2025学年上学期高三入学试卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写 清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号 考生禁填： 缺考标记 在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题 以上标志由监考人员用2B铅笔 必须用0.5mn黑色签字笔答题，不得用铅笔 填涂 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超 出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上 选择题填涂样例： 答题无效。 正确填涂■ 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][][/] 选择题(1-8每小题5分，多选题9-11全对6分，部分对3分共58分) 1[AJ[B][C][D] 5[AJ[B][C][D] 9[AJ[B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3 [A][B][c][D] 7 [A][B][c][D] 11[A][B][G][D] 4 [A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题5分，共15分） 12. 14 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) N C … 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 个颜率/组距 0.0150..- 0.0125 0.0100 0.007 0.005( 020406080100学生的预赛成绩（百分制） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) III 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请不要在本框答题，本框答题无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！