第8章 函数应用 章末整合提升8（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

一、函数的零点与方程的根 根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，思考时要多加注意． 　(1)设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　) A．(0，1)　　　　　　　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) (2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　(1)构造f(x)＝x3－，f(x)的零点就是x0.又f(0)＝－4，f(1)＝－1，f(2)＝7，f(3)＝，f(4)＝，从而有f(1)·f(2)＜0，所以x0∈(1，2). (2) 因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点，当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示：有一个交点，所以x＞0时，函数f(x)有一个零点，又根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3个． [答案]　(1)B　(2)C 二、二分法思想的实际应用 　在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．如何迅速查出故障所在呢？ [解析]　如图所示，首先从AB线路的中点C开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC； 再到BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障出在CD段；再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半． 要把故障可能发生的范围缩小到100 m左右，查7次就可以了． 三、函数模型的应用 1．对函数模型的实际应用问题的考查，更多地以实际生活为背景，设问新颖、灵活；难度中等偏上；主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力． 2．函数模型实际应用的示意图 　国际视力表值(又叫小数视力值，用V表示，范围是[0.1，1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天容创立，用L表示，范围是[4.0，5.2])的换算关系式为L＝5.0＋lg V. (1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整． V 1.5 ② 0.4 ④ L ① 5.0 ③ 4.0 (2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值． (所求值均精确到小数点后面一位数字，参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771) [解析]　(1)因为5.0＋lg 1.5＝5.0＋lg ＝5.0＋lg ＝5.0＋lg 3－lg 2 ＝5.0＋0.4771－0.3010≈5.2， 所以①应填5.2； 因为5.0＝5.0＋lg V， 所以V＝1，②处应填1.0； 因为5.0＋lg 0.4＝5.0＋lg ＝5.0＋lg 4－1 ＝5.0＋2lg 2－1＝5.0＋2×0.3010－1≈4.6， 所以③处应填4.6； 因为4.0＝5.0＋lg V， 所以lg V＝－1，所以V＝0.1， 所以④处应填0.1. 对照表补充完整如下： V 1.5 1.0 0.4 0.1 L 5.2 5.0 4.6 4.0 (2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值，则有4.5＝5.0＋lg V甲，所以V甲＝10－0.5，则V乙＝2×10－0.5. 所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg (2×10－0.5)＝5.0＋lg 2－0.5＝5.0＋0.3010－0.5≈4.8. 二分法求解的精度 [典例]　用二分法求函数f(x)＝ln (x＋1)＋x－1在区间[0，1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为( 　　) A．5 B．6 C．7 D．8 [解析]　开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，∵精确度为0.01，∴<0.01，又n∈N*，∴n≥7，故所需二分区间的次数最少为7. [答案]　C [纠错心得]　 利用二分法求函数零点必须满足的条件 (1)图象：函数图象在零点附近是连续不断的． (2)函数值：函数在该点两侧的函数值符号相反． (3)注意求解精度． 已知零点所在区间求参数范围 [典例]　(13分)若函数f(x)＝2ax2＋x－在(0，1)内有零点，求实数a的取值范围． [审题指导]　因为二次项系数不确定，所以要讨论a＝0与a≠0两种情况．又零点个数不确定，需讨论零点个数． [规范解答]　当a＝0时，f(x)＝x－，零点∈(0，1)，符合题意．(2分) 当a≠0时，①若方程2ax2＋x－＝0在(0，1)内有两个相等实数根，则此时无解；(4分) ②若方程2ax2＋x－＝0在(0，1)内只有一个实数根，当f(1)＝2a＋≠0，即a≠－时，有f(0)f(1)＝－＜0，解得a＞－， 即此时a＞－，且a≠0；(6分) 当f(1)＝0，即a＝－时， 方程为－x2＋x－＝0， 解得x1＝x2＝1∉(0，1)舍去．(8分) ③若方程2ax2＋x－＝0在(0，1)内有两个不等实数根， 即f(x)在(0，1)内有两个零点，因为f(0)＝－， 所以此时函数f(x)的图象开口向下， 则有 此不等式组无解．(12分) 综上可知，实数a的取值范围是.(13分) 学科网（北京）股份有限公司 $$