8.2 第3课时 函数的实际应用(二)（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

第3课时　函数的实际应用(二) 学业标准 素养目标 1．会利用已知函数模型解决实际问题． 2．能建立函数模型解决实际问题． 1．通过已知函数模型和自建函数模型的应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 2．通过拟合数据构建函数模型，培养数据分析、逻辑推理等核心素养． [基础自测] 1．(1)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的②.(　　) (2)根据所给条件求出拟合函数，只能用于预测和提供管理依据．(　　) (3)某弹簧振子函数模型为h＝3sin ，其运动周期为π.(　　) (4)物理学中y＝A sin (ω＞0)的振幅是A.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是(　　) A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1 解析　分裂一次后由2个变成2×2＝22(个)，分裂两次后4×2＝23(个)，…，分裂x次后y＝2x＋1(个). 答案　D 3．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林(　　) A．14 400亩 B．172 800亩 C．17 280亩 D．20 736亩 解析　设第x年造林y亩，则y＝10 000(1＋20%)x－1，所以x＝4时，y＝10 000×1.23＝17 280(亩). 答案　C 4．某商店出售A，B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是(　　) A．多赚约6元 B．少赚约6元 C．多赚约2元 D．盈利相同 解析　设A，B两种商品的原价为a，b， 则a(1＋20%)2＝b(1－20%)2＝23⇒a＝，b＝，a＋b－46≈6(元). 答案　B 题型一　用已知函数模型求解实际问题题点多探 多维探究 角度1　指数函数模型的应用 　某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题： (1)写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年). [解析]　(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)， 2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2， 3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)3， …… x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N*). (2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人). (3)设x年后人口将达到120万人， 即可得到100×(1＋1.2%)x＝120， x＝log1.012＝log1.0121.2＝≈15.28. 所以大约16年后该城市人口总数达到120万人． [规律方法]　指数函数模型的应用 在实际问题中，有关人口增长、银行利润、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 角度2　对数函数模型的应用 　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？ (2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍． [解析]　(1)由v＝log3可知， 当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s). 所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s. (2)由v2－v1＝1，即log3－log3＝1， 得＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍． [规律方法]　对数函数模型的应用 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． [触类旁通]　 1．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新樟脑丸体积变为a，则需经过的天数为(　　) A．125　　　　　　　 B．100 C．75 D．50 解析　由已知得a＝a·e－50k，∴e－k＝. 设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则 a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝， ∴＝，t1＝75. 答案　C 题型二　自建函数模型解决实际问题 　某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线AB是以点E为圆心的圆的四分之一部分，其中E，AF⊥x轴，垂足为F；曲线BC是抛物线y＝－ax2＋50的一部分；CD⊥OD，垂足为D，且CD恰好等于E的半径，假定拟建体育馆的高OB＝50(单位：米，下同). (1)试将DF用a和t表示； (2)若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围． [解析]　(1)由抛物线方程得B，∴BE＝50－t，∵BE，CD均为圆的半径， ∴CD＝50－t，圆E的半径为50－t， ∴C，代入抛物线方程可得50－t＝－ax＋50，解得xC＝， ∵曲线AB是以点E为圆心的圆的四分之一部分，其中E，AF⊥x轴，垂足为F， ∴OF＝AE＝50－t， ∴DF＝OF＋OD＝50－t＋. (2)∵要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米， ∴DF＝50－t＋≤75， 整理可得a≥＝， ∵t∈， ∴t＋≥2＝50(当且仅当t＝25时取等号)， ∴≤ ，∴a≥. ∴a的取值范围为. [素养聚焦]　通过数学模型的实际应用，培养数学应用能力，提升数学建模等核心素养． [规律方法]　自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”． (1)求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务． (2)设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量． (3)列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等． (4)限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等． [触类旁通]　 2．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得) (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ 解析　(1)当3≤x≤6时，y＝50x－115， 令50x－115＞0， 解得x＞2.3. 又因为x∈N，所以3≤x≤6，且x∈N. 当6＜x≤20，且x∈N时， y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115， 综上可知 y＝f(x)＝ (2)当3≤x≤6，且x∈N时，因为y＝50x－115是增函数，所以当x＝6时，ymax＝185(元). 当6＜x≤20，且x∈N时， y＝－3x2＋68x－115＝－3＋， 所以当x＝11时，ymax＝270(元). 综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元． 题型三　拟合数据构建函数模型解决实际问题 　某企业常年生产一种出口产品，自2018年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2018年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示： x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 (1)画出2018—2021年该企业年产量的散点图； (2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式； (3)2022年(即x＝5)因受到某种疫情的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2022年的年产量为多少？ [解析]　 (1)画出散点图，如图所示． (2)由散点图知，可选用一次函数模型． 设f(x)＝ax＋b(a≠0). 由已知得 解得 ∴f(x)＝1.5x＋2.5. 检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1. f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1. ∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化． (3)根据所建的函数模型，预计2022年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10(万件)，又年产量减少30%，即10×70%＝7(万件)，即2022年的年产量为7万件． [规律方法]　函数拟合与预测的一般步骤 (1)根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线． (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． [触类旁通]　 3．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如表： t 50 110 250 Q 150 108 150 (1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt，并说明理由； (2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解析　(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得： 解得a＝，b＝－，c＝. 所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数Q＝t2－t＋. (2)当t＝－＝150(天)时，芦荟种植成本最低为Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg). [缜密思维提能区]　易错案例 变化率问题 【典例】　某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02－，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝____________毫克/升． [解析]　因为当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2， 所以－10ln 2＝， 所以p0＝600ln 2， 因为p(t)＝p02－， 所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升). [答案]　150ln 2 [纠错心得]　注意审清题意，理解平均变化率的含义． 知识落实 技法强化 (1)已知自建函数模型的实际应用． (2)拟合数据构建函数模型． (1)常用方法：转化法、数据分析法． (2)注意：拟合构建问题，了解检验和调整的必要性． 学科网（北京）股份有限公司 $$