8.2 第2课时 函数的实际应用(一)（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

第2课时　函数的实际应用(一) 学业标准 素养目标 1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等并且解决实际问题中的应用． 2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题． 通过函数模型解决实际问题，提升数学建模、数据分析、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　常见的几类函数模型 ◎结论形成 常见函数模型 解析式 条件 一次函数模型 y＝kx＋b k≠0 反比例函数模型 y＝＋b k≠0 二次函数模型 一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a＋ a≠0 指数型函数模型 y＝b·ax＋c b≠0，a>0且a≠1 对数型函数模型 y＝mlogax＋n m≠0，a>0且a≠1 幂函数型模型 y＝axn＋b a≠0，n≠1 分段函数模型 f(x)＝ 导学2　利用函数模型解决实际问题的方法、步骤 ◎结论形成 1．解答应用问题的基本思想 2．解答应用问题的程序概括为“四步八字” (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际应用问题的结论. [基础自测] 1．某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为(　　) A．52　　　　　　 B．52.5 C．53 D．52或53 解析　因为利润＝收入－成本，当产量为x件时(x∈N)，利润f(x)＝25x－(x2－80x)， 所以f(x)＝105x－x2＝－＋， 所以x＝52或x＝53时，f(x)有最大值． 答案　D 2．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为(　　) A．3 m B．4 m C．6 m D．12 m 解析　 如右图所示， 设隔墙长为x m， 则矩形长为 ＝12－2x(m). ∴S矩形＝x(12－2x)＝－2x2＋12x ＝－2(x－3)2＋18. ∴当x＝3 m时，矩形的面积最大． 答案　A 3．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个____________元． 解析　设涨价x元，销售的利润为y元， 则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450， 所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值． 答案　60 4．已知直角梯形ABCD，如图(1)所示，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x).如果函数y＝f(x)的图象如图(2)所示，则△ABC的面积为____________． 解析　由题中图象可知BC＝4，CD＝5，DA＝5，所以AB＝5＋＝5＋3＝8.所以S△ABC＝×8×4＝16. 答案　16 题型一　一次函数模型的应用 　某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？该销售点一个月最多可赚得多少元？ [解析]　设每天从报社买进x份报纸，易知250≤x≤400，设每月赚y元，则 y＝0.5x×20＋0.5×250×10＋(x－250)×0.08×10－0.35x×30＝0.3x＋1 050，x∈[250，400]. 因为y＝0.3x＋1 050是定义域上的增函数， 所以当x＝400时，ymax＝120＋1 050＝1 170(元). 故每天从报社买400份报纸时，所获的利润最大，每月可赚1 170元． [规律方法]　 1．一次函数模型的实际应用 一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则． 2．一次函数的最值求解 一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0).解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． [触类旁通]　 1．某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　　) A.2 000套 　 　　　　　 B．3 000套 C．4 000套 D．5 000套 解析　因利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套． 答案　D 题型二　二次函数模型的应用 　某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ [解析]　(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)， 化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N). (2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润． 所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N). (3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元． [素养聚焦]　通过建立数学模型解决实际问题，把数学建模等核心素养体现在解题过程中． [规律方法]　二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答． [触类旁通]　 2．某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？ 解析　设每桶水在原来的基础上上涨x元，利润为y元，由表格中的数据可以得到，价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x元后，日销售的桶数为 480－40(x－1)＝520－40x＞0，所以0＜x＜13， 则利润y＝(520－40x)x－200 ＝－40x2＋520x－200 ＝－40＋1 490，其中0＜x＜13. 所以当x＝6.5时，利润最大，即当每桶水的价格为11.5元时，利润最大值为1 490元． 题型三　分段函数模型的应用一题多变 　某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－t2(万元). (1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数； (2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？ [解析]　(1)当0＜x≤5时，产品全部售出， 当x＞5时，产品只能售出500件． ∴f(x)＝ 即f(x)＝ (2)当0＜x≤5时， f(x)＝－x2＋4.75x－0.5， ∴当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值， f(x)max＝10.781 25(万元). 当x＞5时，f(x)＜12－0.25×5＝10.75(万元)， ∴当年产量为475件时，利润最大． [母题变式]　 （变条件、变结论）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件． (1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式； (2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂的单价－成本) 解析　(1)当0<x≤100时，P＝60； 当100<x≤500时，P＝60－0.02(x－100)＝62－. 所以P＝f(x)＝(x∈N*). (2)设销售商一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元， 则L＝(P－40)x＝(x∈N*). 当x＝450时，L＝5 850， 因此，当销售商一次订购450件服装时，该厂获得的利润是5 850元． [素养聚焦]　函数模型的应用，就是数学建模的过程进而提升数学建模核心素养． [规律方法]　 1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． 2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． 3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论． [触类旁通] 3．(2024·扬州模拟)黄桃种植户为了提高销售量，打算以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则黄桃的售价需要相应的降低，已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒黄桃的销售价格g(x)(单位：元)与销售量x(单位：万盒)之间满足关系式g(x)＝ (1)写出利润F(x)(单位：万元)关于销售量x(单位：万盒)的关系式；(利润＝销售收入－成本) (2)当销售量为多少万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润？此时最大利润是多少？ 解析　(1)由题意得F(x)＝xg(x)－24x＝ (2)当0<x≤10时，由二次函数性质得F(x)≤F(8)＝128， 当x>10时，由基本不等式得6.4x＋≥2＝192， 则－6.4x－＋328≤136，当且仅当6.4x＝，即x＝15时等号成立， 综上，当销售量为15万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润，此时的最大利润为136万元． [缜密思维提能区]　易错案例 二次函数模型应用 【典例】　A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10 km， 已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量每月为20亿度/月，B城供电量每月为10亿度/月． (1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域； (2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小． [解析]　 (1)由题意设甲城的月供电费用为y1， 则y1＝λ×20x2. 设乙城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2， ∴甲、乙两城月供电总费用 y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2. ∵λ＝0.25， ∴y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90). (2)由y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000 ＝＋， 则当x＝时，y最小． 故当核电站建在距A城 km时，才能使供电总费用最小． [纠错心得]　结合实际意义考虑定义域． 知识落实 技法强化 (1)一次函数模型． (2)指(对)数函数模型． (1)常用方法：转化法． (2)注意：实际应用题的定义域和结论的转化． 学科网（北京）股份有限公司 $$