第7章 三角函数 章末整合提升7（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

一、任意角三角函数的定义 利用定义求三角函数值的两种方法 1．先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值． 2．取角α的终边上任意一点P(a，b)(原点除外)，则对应的角α的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 　(1)已知α的终边在直线y＝2x上，那么＋tan α＝____________． (2)已知角α的终边经过点P(3m－9，m＋2)，若m＝2，求5sin α＋3tan α的值； (1)[解析]　设α终边上任一点P(x，y)(x≠0)，则y＝2x， 所以＋tan α＝＋＝＋2＝5. [答案]　5 (2)[解析]　若m＝2，则P(－3，4)， 所以x＝－3，y＝4，r＝5， 所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－， 故5sin α＋3tan α＝5×＋3×＝4－4＝0. 二、三角函数的图象题点多探 多维探究 1．用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表，由ωx＋φ＝0，，π，，2π先求出x，再由ωx＋φ的值求出y的值． x － － － － － ωx＋φ 0 π π 2π y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，进而成图象． 2．由图象或部分图象确定解析式y＝A sin (ωx＋φ)中的参数 (1)A：由最大值、最小值来确定A. (2)ω：通过求周期T来确定ω. (3)φ：利用已知点列方程求出． 角度1　利用“五点法”作三角函数的图象 已知f(x)＝1＋sin ，画出f(x)在x∈上的图象． [解析]　(1)∵x∈， ∴2x－∈. 列表： x － － － 2x－ － －π － 0 f(x) 2 1 1－ 1 1＋ 2 (2)描点，连线，如图所示． 角度2　由三角函数的图象确定其解析式 　函数f(x)＝3sin 的部分图象如图所示． (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． [解析]　(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3. (2)因为x∈，所以2x＋∈，于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0； 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3. [反思感悟]　研究y＝A sin (ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决． 三、三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的两种方法为先平移后伸缩和先伸缩后平移． 　如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 [解析]　由题图象知A＝1，T＝－＝π，所以ω＝＝2.所以f(x)＝sin (2x＋φ)，又图象过点，由五点法知＋φ＝π，所以φ＝，所以y＝sin .故将函数y＝sin x的图象先向左平移个单位后，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，可得函数y＝sin 的图象． [答案]　A 四、数形结合思想在三角函数中的应用 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想． 　如果关于x的方程sin2x－(2＋a)sinx＋2a＝0在x∈上有两个实数根，求实数a的取值范围． [解析]　sin2x－(2＋a)sinx＋2a＝0， 即(sin x－2)(sin x－a)＝0. ∵sin x－2≠0，∴sin x＝a， ∴此题转化为求在x∈上，sin x＝a有两个实数根时a的取值范围．由y＝sin x，x∈与y＝a的图象(图略)知≤a<1.故实数a的取值范围是. 平移变换中的误区 [典例]　把函数y＝sin 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得函数的解析式为(　　) A．y＝sin 　　 B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin [解析]　把函数y＝sin 的图象向左平移个单位长度， 可得y＝sin 的图象， 即函数解析式为 y＝sin ， 再把所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍， 可得y＝sin 的图象． [答案]　D [纠错心得]　(1)在解答过程中，若对伸缩变换理解不到位，对横坐标扩大或缩小为原来的倍数把握不准，则易出现对x的系数缩小或扩大的倍数造成失误，会出现y＝sin 等类似的错误答案． (2)图象的左右平移是针对x而言的．图象的伸缩变换即周期变换，在变换中纵坐标不变，横坐标变为原来的倍． 三角函数性质的综合问题 [典例]　(13分)设函数f(x)＝sin . (1)求函数f(x)的最小正周期T，并求出函数f(x)的单调递增区间； (2)求在[0，3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和． [规范解答]　(1)f(x)＝sin ， 故T＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－π≤x≤kπ＋，所以单调递增区间为(k∈Z).(6分) (2)令f(x)＝1，即sin ＝1， 则2x＋＝2kπ＋(k∈Z). 于是x＝kπ＋(k∈Z)，∵0≤x<3π，且k∈Z, (8分) ∴k＝0，1，2，则＋＋＝. (11分) ∴在[0，3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和为π. (13分) 学科网（北京）股份有限公司 $$