第7章 教考衔接5（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

一、真题展示 1．(2024·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx(ω>0).已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) A．1　　　　　　 B．2 C．3 D．4 2．(2022·全国统考高考真题)记函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为T，若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为____________． 二、真题溯源 [教科书P196] 3．设k为正数，若函数f(x)＝sin 的最小正周期为，求k的值． 三、类法探究 三角函数是高中数学的重要组成部分，而ω是三角函数内容中的主要要素，求ω的值主要通过三角函数的性质来求解，数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式．运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成． 类型一　三角函数的最值与ω的关系 　已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是____________． [解析]　由题意显然ω≠0，若ω＞0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.若ω＜0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪. [答案]　(－∞，－2]∪ [反思感悟]　利用三角函数的最值与周期的关系，列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围． 类型二　三角函数的单调性与ω的关系 　已知函数f(x)＝sin (ω＞0)在区间上单调递减，则实数ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． [解析]　依题意≥π－＝，即T≥π，又T＝，所以解得0＜ω≤2，又x∈，所以ωx＋∈， 所以＜ω＋≤. 要使函数在上单调递减，所以解得≤ω≤，故选B. [答案]　B [反思感悟]　根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin (ω＞0)在区间上单调递减建立不等式，即可求ω的取值范围． 类型三　三角函数的对称性与ω的关系 　记函数f＝cos (ω>0)的最小正周期为T，且y＝f的图象关于x＝对称，当ω取最小值时，f＝____________． [解析]　由y＝f的图象关于x＝对称，则ω×＋＝kπ，k∈Z， ∴ω＝6k－2(k∈Z)，又∵ω>0， ∴当k＝1，ω的最小值为4， 此时f＝cos ，T＝＝， ∴f＝f＝cos cos ＝－.故答案为－. [答案]　－ [反思感悟]　根据余弦函数的对称轴确定f(x)的对称轴，结合函数的最值列出方程求得ω的表达式，进一步求出最小值． 类型四　三角函数的图象变换与ω的关系 　已知函数f(x)＝sin (ω＞0)，将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图象，若g(－x)＝g(x)，则ω的最小值为(　　) A．2 B． C．3 D． [解析]　由题可得y＝g(x)＝sin ＝sin ， 又g(－x)＝g(x)， ∴函数y＝g(x)为偶函数，∴－ω＋＝kπ＋，k∈Z，即ω＝－3k－，k∈Z，ω＞0，∴k＝－1时，ω有最小值为.故选B. [答案]　B [反思感悟]　借助于三角函数图象变换，由已知函数得到变换后的函数解析式，利用函数的性质列出方程加以求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$