7.2.3 第1课时 诱导公式(一～四)（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

7．2.3　三角函数的诱导公式 第1课时　诱导公式(一～四) 学业标准 素养目标 1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用． 2．理解诱导公式(一～四)的推导过程． 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题． 1．通过诱导公式的推导，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过诱导公式的应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　诱导公式一 　若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin α与sin β，cos α与cos β、tan α与tan β之间有什么关系？ 提示：sin α＝sin β，cos α＝cos β，tan α＝tan β. ◎结论形成 终边相同的角的同一三角函数的值__相等__，由此得到一组公式： 公式一 sin (α＋2kπ)＝sin α(k∈Z)， cos (α＋2kπ)＝cos α(k∈Z)， tan (α＋2kπ)＝tan α(k∈Z). 导学2　诱导公式二 　任意角α与－α的终边有怎样的位置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位置关系？试用三角函数的定义验证－α与 α 的三角函数值的关系． 提示：α与－α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点P1与P2关于x轴对称，设P1的坐标为(x，y)，则P2的坐标为(x，－y).sin (－α)＝－y＝－sin α，cos (－α)＝x＝cos α，tan (－α)＝－＝－tan α. ◎结论形成 公式二 终边关系 角－α与角α的终边关于__x轴__对称 图示 公式 sin (－α)＝__－sin_α__， cos (－α)＝__cos_α__ ， tan (－α)＝__－tan_α__ 导学3　诱导公式三 　任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系． 提示：α与π－α的终边关于y轴对称，如图所示，设P1(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为P2(－x，y)，P1，P2关于y轴对称，由三角函数定义知，sin (π－α)＝y＝sin α，cos (π－α)＝－x＝－cos α，tan (π－α)＝＝－tan α. ◎结论形成 公式三 终边关系 角π－α与角α的终边关于__y轴__对称 图示 公式 sin (π－α)＝__sin_α__， cos (π－α)＝__－cos_α__， tan (π－α)＝__－tan_α__ 导学4　诱导公式四 　锐角α的终边与π＋α角的终边位置关系如何？它们与单位圆的交点的位置关系如何？任意角α与π＋α呢？交点坐标可以设为什么？ 提示：无论α是锐角还是任意角，π＋α与α的终边互为反向延长线，它们与单位圆的交点关于原点对称．设其中一个为(x，y)，则另外一个的坐标为(－x，－y). ◎结论形成 公式四 终边关系 角π＋α与角α的终边关于__原点__对称 图示 公式 sin (π＋α)＝__－sin_α__， cos (π＋α)＝__－cos_α__， tan (π＋α)＝__tan_α__ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由诱导公式三知cos [－(α－β)]＝－cos (α－β).(　　) (2)在△ABC中，sin (A＋B)＝sin C．(　　) (3)sin ＝－sin π (k∈Z).(　　) (4)已知tan α＝4，则tan (π－α)＝－4(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．sin 405°的值为(　　) A．－　　　　　　　　 B． C．－ D． 解析　sin 405°＝sin (360°＋45°) ＝sin 45°＝. 答案　B 3．已知sin ＝m，则cos 等于(　　) A．m B．－m C． D．－ 解析　cos ＝cos ＝－cos ＝－＝. 答案　C 4．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为____________. 解析　tan600°＝tan (360°＋240°) ＝tan (180°＋60°) ＝tan 60°＝－＝，即a＝－. 答案　－ 题型一　给角求值问题 　求下列各三角函数式的值． (1)cos 210°； (2)sin ； (3)sin ； (4)cos (－1 920°). [解析]　(1)cos 210°＝cos (180°＋30°) ＝－cos 30°＝－. (2)sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝. (3)sin ＝－sin ＝－sin ＝－sin ＝sin ＝. (4)cos (－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos (5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos (180°－60°)＝－cos 60°＝－. [规律方法]　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化． (2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． [触类旁通]　 1．计算：(1)cos ＋cos ＋cos ＋cos ； (2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1866°－sin (－606°). 解析　(1)原式＝＋＝＋ ＝＋ ＝0. (2)原式＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin (5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°] ＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin (180°－66°) ＝sin 66°－sin 66°＝0. 题型二　给值或式求值问题一题多变 　(1)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称 .若sin α＝，则sin β＝____________． (2)已知cos ＝， 求cos －sin2的值． (1)[解析]　α与β的终边关于y轴对称， 则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z， ∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z. ∴sinβ＝sin (π－α＋2kπ)＝sin α＝. [答案]　 (2)[解析]　因为cos ＝cos ＝－cos ＝－， sin2＝sin2＝1－cos2 ＝1－＝， 所以cos－sin2 ＝－－＝－. [母题变式] 1．(变条件)将例2的(2)题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？ 解析　由题意知cos＝， 求cos ＋sin2的值． 因为cos＝cos ＝－cos ＝－， sin2＝1－cos2 ＝1－＝， 所以cos＋sin2 ＝－＋＝. 2．(变结论)例2的(2)题中的条件不变，求cos－sin2的值． 解析　cos－sin2 ＝cos－sin2 ＝－cos－sin2 ＝－－ ＝－. [素养聚焦]　通过给值求值或给式求值，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． [规律方法]　解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 题型三　化简求值问题 　化简下列各式． (1)； (2). [解析]　 (1)原式＝ ＝＝－＝－tan α. (2)原式＝ ＝＝ ＝＝－1. [规律方法]　三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan . [触类旁通]　 2．化简下列各式． (1)； (2). 解析　(1)原式＝ ＝＝1. (2)原式＝ ＝＝＝. [缜密思维提能区]　易错案例 给角求值问题 【典例】　已知a＝tan ，b＝cos ，c＝sin ，则a，b，c的大小关系是____________． [解析]　a＝－tan ＝－tan ＝－， b＝cos ＝cos ＝， c＝－sin ＝－sin ＝－， ∴b>a>c. [答案]　b>a>c [纠错心得]　将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，做到“见角知值，见值知角”． 知识落实 技法强化 (1)特殊关系角的终边对称性． (2)诱导公式一～四． (1)常用方法：数形结合法、公式法． (2)注意：符号的确定、名称不变． 学科网（北京）股份有限公司 $$