7.2.1 第2课时 三角函数线（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

第2课时　三角函数线 学业标准 素养目标 1．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域、值域． 2．了解三角函数线的意义，能用三角函数线探究正、余弦函数在区间[0，2π]上，正切函数在区间上的单调性． 3．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． 1．通过学习三角函数的定义域、值域、培养数学抽象等核心素养． 2．通过对三角函数线的了解及应用，提升直观想象、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　有向线段 　 角α的终边与圆心在原点半径为1的圆交于点P(x，y)，过点P作PM垂直于x轴，过点A(1，0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，线段MP，OM，AT有方向吗？ 提示：OM的长度是|x|，若去掉绝对值，就引入了有向线段的概念． ◎结论形成 1．有向线段：规定了__方向__(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段． 2．有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线． 3．有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上__正号__或__负号__，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB. 4．单位圆：圆心在__原点__，半径等于__单位长度__的圆． 导学2　三角函数线 　角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 提示：即选取α终边与单位圆的交点P(x，y)， 因为r＝1，所以sin α＝＝y＝MP，cos α＝＝x＝OM，因为OA＝1，所以tan α＝ ＝AT. ◎结论形成 1．正弦线、余弦线、正切线 设角α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y). 图示 正弦线 角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线 余弦线 有向线段OM即为余弦线 正切线 过点A(1，0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段__AT__即为正切线 2．有向线段MP，OM，AT都称为__三角函数线__． 导学3　正弦、余弦、正切函数的定义域 　对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？ 提示：由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时无意义，故tan α无意义． ◎结论形成 三角函数的定义域 函数名 定义域 正弦函数 __R__ 余弦函数 __R__ 正切函数 导学4　余切、余割、正割函数的定义 　角α的余切、余割、正割分别等于什么？ 提示：如果我们分别把表示正切、正弦、余弦的三个比，，取倒数又得到三个比． ◎结论形成 比值叫做角α的余切，记作cot α， 比值叫做角α的余割，记作csc α， 比值叫做角α的正割，记作sec α， 余切、余割、正割也是以实数为自变量的函数，cot α，csc α，sec α分别叫做余切函数、余割函数、正割函数、它们都称为三角函数． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝tan 的定义域为.(　　) (2)函数y＝sin 的定义域是R.(　　) (3)由sin x≥得x∈.(　　) (4)与的正弦线相同．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．角α＝和角β＝有相同的(　　) A．正弦线　　　　　　 B．余弦线 C．正切线 D．不能确定 解析　在单位圆里画三角函数线就可知正切线相同． 答案　C 3．如果MP，OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是(　　) A．MP<OM<0 B．MP<0<OM C．MP>OM>0 D．OM>MP>0 解析　0<<，作三角函数线可知OM>MP>0. 答案　D 4．不等式cos x>在区间[－π，π]上的解集为__________． 解析　利用三角函数线解不等式． 答案　 题型一　三角函数线 　作出－的正弦线、余弦线和正切线． [解析]　如图所示， sin ＝MP，cos ＝OM，tan ＝AT. [规律方法]　(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线与角的终边或终边的反向延长线相交于点T，即可得到正切线AT. [触类旁通]　 1．在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α的取值集合． 解析　已知角α的正弦值，可知MP＝，则P点纵坐标为.所以在y轴上取点，过该点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为 . 题型二　利用三角函数线比较大小 　利用三角函数线比较sin 和sin ，cos 和cos ，tan 和tan 的大小． [解析]　 如图，sin ＝MP，cos ＝OM，tan ＝AT，sin ＝M′P′，cos ＝OM′，tan ＝AT′. 显然MP>M′P′，∴sin >sin ； OM>OM′，∴cos >cos ； AT<AT′，∴tan <tan . [规律方法]　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”．(2)比较三角函数线的长度．(3)确定有向线段的正负． [触类旁通]　 2．利用三角函数线比较sin 75°和sin 146°，cos 75°和cos 146°，tan 75°和tan 146°的大小． 解析　 如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的正弦线M1P1，M2P2，余弦线OM1，OM2，正切线AT1，AT2. ∵M1P1>M2P2，OM1>OM2，AT1>AT2， ∴sin 75°>sin 146°， cos 75°>cos 146°， tan 75°>tan 146°. 题型三　三角函数线的应用 一题多变 　(1)已知sin α≥，在单位圆中画出适合条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合； (2)求函数y＝的定义域． [解析]　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围． 故满足要求的角α的集合为 . (2)为使y＝有意义， 则3tan x－≥0， 所以tan x≥， 所以角x终边所在区域如图所示(阴影部分除去y轴)， 所以kπ＋≤x<kπ＋，k∈Z， 所以原函数的定义域是 . [母题变式]　 (变条件、变结论)把本例(1)条件改为“已知sin α< ”，求出角α的集合． 解析　作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如例1图所示)，即为角α的终边的范围． 故满足要求的角α的集合为 . [素养聚焦]　通过运用数形结的思想，巧妙找角，提高求解能力，进而提升直观想象等核心思想． [方法技巧]　用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式时，常用的技巧有： (1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上2π的整数倍． (2)注意区间是开区间还是闭区间． [触类旁通] 3．(2024·江苏高一校联考期末)若0<θ<π，且点P与点Q关于x轴对称，则cos θ＝____________． 解析　因为P(cos θ，sin θ)与Q，均在单位圆上， 所以P在第二象限，Q在第三象限，如下图所示： 则∠POQ＝， 因为P，Q关于x轴对称，所以2θ＋＝2π， 解得θ＝， 而cos ＝2cos 2－1＝， 解得cos ＝. 故cos θ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－. 答案　－ [缜密思维提能区]　易错案例 三角函数线解三角不等式 【典例】　求函数y＝lg ＋的定义域． [解析]　由题意知，自变量x应满足不等式组 即 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴. [纠错心得]　先找到“正值”区间，然后再加上2π的整数倍，分清开闭． 知识落实 技法强化 (1)三角函数线． (2)用三角函数线比较大小，解不等式． (1)常用方法：化归与转化，数形结合． (2)作三角函数线要充分利用单位圆． 学科网（北京）股份有限公司 $$