7.1 第2课时 弧度制（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

第2课时　弧度制 学业标准 素养目标 1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换． 2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系． 3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 1．通过弧度制概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过弧度制与角度制的互化，扇形弧长公式和面积公式的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． [教材梳理] 导学1　角度制与弧度制 　在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？ 提示：1度． 　长度等于半径长的弧所对的圆心角有多大？是否有其他单位制来度量该角？ 提示：若长度等于半径长的弧所对的圆心角为°，用弧度制度量该角为1弧度． 　半径为2的圆中1弧度的角比半径为1的圆中1弧度的角大，这句话正确吗？ 提示：错误．“1弧度的角”的大小与所在圆的半径大小无关，其大小是一个定值． ◎结论形成 1．角度制与弧度制 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的作为一个单位． (2)弧度制 ①1弧度的角：长度等于__半径长__的弧所对的圆心角． ②弧度制：用__弧度__作为角的单位来度量角的单位制． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算 对于任意一角α，其弧度数的绝对值等于α所对应的__弧长__与__半径__的比即|α|＝. 导学2　角度制与弧度制的换算 　角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ 提示：利用1°＝ rad和1 rad＝°进行弧度与角度的换算． ◎结论形成 1．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝__2π__ rad 2π rad＝__360°__ 180°＝__π__ rad π rad＝__180°__ 1°＝___rad__≈0.017 45 rad 1 rad＝__°__≈57.30° 2．一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° __45°__ 60° __90°__ 120° __135°__ 150° 180° __270°__ 360° 弧 度 __0__ π 2π 导学3　扇形的弧长及面积公式 　从扇形的形状来看，扇形的弧长和面积与哪些量有关系？ 提示：与扇形的半径r和圆心角α有关系． ◎结论形成 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝__|α|r__ 扇形的面积 S＝ S＝lr＝|α|r2 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1 rad的角比1°的角要大．(　　) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．(　　) (3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．(　　) (4)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的. 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．－240°化为弧度是(　　) A．－π　　　　　　 B．－π C．－π D．－π 解析　－240°＝－240×＝－π. 答案　A 3．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　) A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 解析　设扇形半径为r，圆心角弧度数为α， 则由题意得∴或 答案　C 4．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为____________． 解析　设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β， 则解得α＝＋，β＝－. 答案　＋；－ 题型一　角度与弧度的互化 　将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)2；(4)－. [解析]　(1)20°＝＝. (2)－15°＝－＝－. (3)2＝2×°＝°. (4)－＝－×180°＝－396°. [素养聚焦]　通过弧度制与角度制的互化，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． [规律方法]　角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数． [触类旁通]　 1．(1)把112°30′化成弧度； (2)把－化成度． 解析　(1)112°30′＝°＝×＝. (2)－＝－×°＝－75°. 题型二　用弧度制表示角的集合 　用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图). [解析]　(1)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为 . (2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是 . [规律方法]　 根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形． (2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角． [触类旁通]　 2．(1)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) (2) 用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合． (1)解析　π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°， 所以－315°也与45°终边相同．故选C. 答案　C (2)解析　30°＝ rad，150°＝ rad. 终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是. 题型三　扇形的弧长公式及面积公式的应用一题多变 　已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值． [解析]　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S. 由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r. ∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r ＝－＋. ∵r>0，l＝a－2r>0，∴0<r<， ∴当r＝时，Smax＝. 此时，l＝a－2·＝，∴α＝＝2. 故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为. [母题变式]　 (变条件、变结论)在例3中，若扇形的面积为定值S，则扇形的周长是否有最小值，若有，求出这个最小值，若没有，说明理由． 解析　设扇形的周长为C，半径为r， 因为S＝lr，所以l＝， 则C＝2r＋l＝2r＋≥2 ＝4， 当且仅当r＝时等号成立， 所以扇形的周长存在最小值4. [规律方法]　扇形弧长、面积问题的解决方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的关系有两个公式： 一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个． (2)解决此类题目要首先分析已知哪些量，要求哪些量，然后灵活运用公式求解． [易错警示]　当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r的取值范围，特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l<2πr. [触类旁通] 3．(多选)小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘(图1)产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形OAB中，∠AOB＝，OB＝OA＝2，则(　　) A．∠AOB＝30° B．弧长＝ C．扇形OAB的周长为＋4 D．扇形OAB的面积为 解析　∠AOB＝＝60°，所以A错误；弧长＝αr＝×2＝，所以B正确； 扇形OAB的周长为＋4，所以C正确；S＝lr＝××2＝，所以D错误；故选BC. 答案　BC [缜密思维提能区]　易错案例 扇形和弓形面积 【典例】　已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为10，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积. [解析]　设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝，r＝10 所以l＝αr＝， 所以S弓＝S扇－S△＝lr－r2sin α＝50. [答案]　50 [纠错心得]　仔细审题，了解弓形和扇形的区别与联系． 知识落实 技法强化 (1)弧度制的概念． (2)弧度制与角度制的相互转化． (3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系． (4)扇形的弧长与面积的计算． (1)常用方法：由特殊到一般、数学运算． (2)易错点：弧度与角度混用． [必备知识·基础巩固] 1．若α＝－10，则α为(　　) A．第一象限角　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析　∵－4π＜－10＜－2π， ∴－10＝－4π＋(4π－10). 又＜4π－10＜π， ∴4π－10为第二象限角，则－10也是第二象限角． 答案　B 2．(多选)下列转化结果正确的是(　　) A．60°化成弧度是 B．－π化成度是－600° C．－150°化成弧度是－π D．化成度是15° 解析　A项中60°化成弧度是 ，C项中－150°＝－150×＝－π. 答案　BD 3．(多选)下列说法中，错误的是(　　) A．1 rad的角和1°的角大小相等 B．用弧度来表示的角都是正角 C．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关 D．半径为1的圆弧中，60°角所对的圆弧长为60° 解析　A项中1°＝ rad，1 rad的角和1°的角大小不相等， B项中，弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数． C项中“1弧度的角”的大小等于长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．所以C是正确的； D项中，用扇形弧长公式l＝αR时应将角α化为弧度，60°等于，所以60°角所对弧长为. 答案　ABD 4．如果圆心角为的扇形所对的弦长为2，则扇形的弧长为____________，扇形的面积为____________． 解析　如图，作BF⊥AC. 已知AC＝2， ∠ABC＝， 则AF＝，∠ABF＝. ∴AB＝＝2，即R＝2. ∴弧长l＝|α|R＝，∴S＝lR＝. 答案　　 5．已知α＝－800°. (1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式是____________，且α是第____________象限角； (2)γ与α的终边相同，且γ∈，则γ＝____________． 解析　(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π， ∴α＝－800°＝＋(－3)×2π. ∵α与角终边相同， ∴α是第四象限角． (2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同， ∴γ＝2kπ＋，k∈Z. 又γ∈，∴－<2kπ＋<，k∈Z， 解得k＝－1， ∴γ＝－2π＋＝－. 答案　(1)－3·2π＋　四　(2)－ 6．已知扇形AOB的周长为10 cm. (1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长． 解析　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S， (1)依题意有 ①代入②得r2－5r＋4＝0， 解得r1＝1，r2＝4. 当r＝1时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去； 当r＝4时，l＝2 cm，此时，θ＝＝(rad). (2)由l＋2r＝10得l＝10－2r， S＝lr＝(10－2r)·r＝5r－r2 ＝－＋(0<r<5). 当r＝时，S取得最大值， 这时l＝10－2×＝5， ∴θ＝＝＝2(rad). [关键能力·综合提升] 7．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　) A．2 B．sin 2 C． D．2sin 1 解析　∵r＝，∴l＝|α|r＝. 答案　C 8．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　) A．－π B．－2π C．π D．－π 解析　∵－π＝－2π＋ ＝2×(－1)π＋， ∴θ＝－π. 答案　A 9．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________________. 解析　如图所示， ∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]. 答案　[－4，－π]∪[0，π] 10．如图所示 (1)用弧度制分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； (2)用弧度制写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 解析　(1)终边在OA上的角的集合为 . 终边在OB上的角的集合为 . (2). [核心价值·探索创新] 11．已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～－180°范围内找出与它们终边相同的所有角． 解析　(1)α1＝－570°＝－＝－ ＝－2×2π＋， α2＝750°＝＝＝2×2π＋. 故α1＝－，α2＝， α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝＝×180°＝108°， β2＝－＝－×180°＝－60°. 设θ1＝108°＋k1·360°(k1∈Z)， θ2＝－60°＋k2·360°(k2∈Z)， 则由－720°≤θ1<－180°(k∈Z)， －720°≤θ2<－180°(k∈Z)， 即－720°≤108°＋k1·360°<－180°(k1∈Z)， －720°≤－60°＋k2·360°<－180°(k2∈Z)， 得k1＝－2，－1，k2＝－1. 故在－720°～－180°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°，与β2终边相同的角是－420°. 学科网（北京）股份有限公司 $$