第6章 幂函数、指数函数和对数函数 章末整合提升6（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

一、指数与对数的运算 指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，它们既是学习和研究指数函数、对数函数的基础，也是高考的必考内容之一，应给予足够的重视． 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数，再运用指数幂的运算性质进行运算．其次若出现分式，则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的，对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧． 　计算：(1)－＋(0.008) ×； [解析]　 (1)原式＝－＋×＝－＋25×＝－＋2＝. (2)原式＝log3 3＋lg (25×4)＋2＋1＝＋lg 102＋3＝＋2＋3＝. 二、指数函数、对数函数、幂函数的图象问题 1．题型为选择题或填空题，主要考查识别指数函数、对数函数、幂函数的图象，利用图象解决一些数学问题． 2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)的图象恒过定点(1，0). 3．识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的变化趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特殊点对应的函数值． 　(1)函数y＝|lg (x－1)|的图象是(　　) (2)已知对于任意实数a(a>0，且a≠1)，函数f(x)＝7＋ax－1的图象恒过点P，则点P的坐标是(　　) A．(1，8)　　　　　　 B．(1，7) C．(0，8) D．(8，0) (3)(多选)已知a>0且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象不可能是(　　) [解析]　(1)把y1＝lg x的图象向右平移一个单位得y2＝lg (x－1)的图象，再把y2＝lg (x－1)在x轴下方的图象沿x轴翻折上去即得y＝|lg (x－1)|的图象．结合各选项知选C. (2)在函数f(x)＝7＋ax－1(a>0，且a≠1)中，当x＝1时，f(1)＝7＋a0＝8.所以函数f(x)＝7＋ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P(1，8).故选A. (3)∵函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称，再由函数y＝ax的图象过(0，1)，y＝logax的图象过(1，0)，观察图象知，只有C正确，故选A，B，D. [答案]　(1)C　(2)A　(3)ABD 三、题点多探 多维探究 角度1　数的大小比较问题 指数式与对数式的大小比较是基本初等函数中的一类重要题目类型，其主要方法有以下三种： (1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解； (2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0，1，－1等； (3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决． 　(1)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜c＜b　　　　　　 B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b (2)比较下列各组数的大小． ①40.9，80.48，； ②log32，log34，log6. (1)[解析]　因为y＝log5x是增函数， 所以a＝log52<log5＝0.5. 因为y＝log0.5x是减函数， 所以b＝log0.50.2>log0.50.5＝1. 因为y＝0.5x是减函数， 所以0.5＝0.51<c＝0.50.2<0.50＝1， 即0.5<c<1.所以a<c<b.故选A. [答案]　A (2)[解析]　①40.9＝21.8，80.48＝21.44，＝21.5. 因为y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以40.9>>80.48. ②因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数， 所以log34>log32>log31＝0， 而log6＝－log36<0， 所以log6<log32<log34. 角度2　指数函数、对数函数、幂函数的综合应用 指数函数、对数函数、幂函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以基本函数的单调性为主，结合复合函数单调性判断法则，在函数定义域内进行讨论. 　已知函数f(x)＝log9(9x＋1)＋kx是偶函数． (1)求k的值； (2)若方程f(x)＝x＋b有实数根，求b的取值范围． [解析]　(1)因为f(x)为偶函数，所以∀x∈R，有f(－x)＝f(x)，所以log9(9－x＋1)－kx＝log9(9x＋1)＋kx对x∈R恒成立． 所以2kx＝log9(9－x＋1)－log9(9x＋1)＝log9－log9(9x＋1)＝－x对x∈R恒成立，所以(2k＋1)x＝0对x∈R恒成立，所以k＝－. (2)由题意知，log9(9x＋1)－x＝x＋b有实数根，即log9(9x＋1)－x＝b有解． 令g(x)＝log9(9x＋1)－x，则函数y＝g(x)的图象与直线y＝b有交点． g(x)＝log9(9x＋1)－x＝log9＝log9，因为1＋>1，所以g(x)＝log9>0，所以b的取值范围是(0，＋∞). 四、函数模型的实际应用 1．对函数模型的实际应用问题的考查，更多地以实际生活为背景，设问新颖、灵活；难度中等偏上；主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力． 2．函数模型实际应用的示意图 　某渔业公司最近开发的一种新型淡水养殖技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明：用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为g(x)(单位：千克/年)，养殖密度为x(单位：尾/立方分米)，x>0，当x不超过4时，g(x)的值恒为2；当4＜x≤20，g(x)是x的一次函数，且当x达到20时，因养殖空间受限等原因，g(x)的值为0. (1)当0<x≤20时，求函数g(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，求函数f(x)＝x·g(x)的最大值． [解析]　(1)当4＜x≤20时， 设g(x)＝kx＋b(k≠0)， 由条件可知 解得 所以g(x)＝ (2)f(x)＝ 所以f(x)在(0，10]上单调递增，在(10，20]上单调递减，所以f(x)的最大值为f(10)＝. 函数性质与对数函数的综合应用 [典例]　设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系是(　　) A．f(a＋1)≥f(b＋2) B．f(a＋1)<f(b＋2) C．f(a＋1)≤f(b＋2) D．f(a＋1)>f(b＋2) [解析]　由于此函数是偶函数，所以函数f(x)＝loga|x－b|中b＝0. 又函数在(－∞，0)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故0<a<1.所以有1<a＋1<2.因为f(a＋1)＝loga|a＋1|，f(b＋2)＝loga2，且1<a＋1<2，所以f(a＋1)>f(b＋2). [答案]　D [纠错心得]　不能在关注到比较大小及单调性时就急于应用单调性求解，从而使问题变得复杂；一定要先借助函数是偶函数这一特性求出参数b的值再求解． 指数函数与对数函数的综合问题 [典例]　(13分)已知函数f(x)＝lg (ax－bx)(常数a>1>b>0). (1)求y＝f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的单调性； (3)当a，b满足什么关系时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值？ [审题指导]　(1)由真数大于零，求其定义域． (2)利用指数、对数函数的性质判断单调性． (3)利用(2)的结论，求a，b满足的关系式． [规范解答]　(1)由ax－bx>0， 得>1，(1分) 由a>1>b>0，得>1. 故x>0①. 即函数f(x)的定义域为(0，＋∞).(3分) (2)由(1)知f(x)的定义域为(0，＋∞). ∵a>1>b>0，∴函数y＝ax－bx. 在(0，＋∞)是增函数， 即任意x1>x2>0. 都有y1>y2>0.(5分) 所以lg y1>lg y2， 即f(x1)>f(x2)， 即f(x)在(0，＋∞)上是增函数②.(7分) (3)由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴f(x)在(1，＋∞)上也是增函数． ∴当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1).(10分) ∴只需f(1)≥0， 即lg (a－b)≥0， 即a－b≥1.③ 故当a≥b＋1时， f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．(13分) 学科网（北京）股份有限公司 $$