4.1 第2课时 指数幂的拓展（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

第2课时　指数幂的拓展 学业标准 素养目标 1．通过对有理数、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程． 2．掌握指数幂的运算法则，并能熟练应用． 1．通过指数幂有关概念的学习，主要培养数学抽象等核心素养． 2．通过指数幂有关化简、求值的学习，主要提升数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　分数指数幂 　根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？ ① ＝ ＝a2＝a(a>0)； ②＝ ＝a4＝a(a>0)； ③ ＝ ＝a3＝a(a>0). 提示：当a＞0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数． ◎结论形成 1．正分数指数幂 我们规定，正数的正分数指数幂的意义是a＝(a＞0，m，n∈N*).于是，在条件a＞0，m，n∈N*下，根式都可以写成分数指数幂的形式． 2．负分数指数幂 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，a＝__＝__(a＞0，m，n∈N*). 3．0的分数指数幂 与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，0的正分数指数幂等于__0__，0的负分数指数幂__没有意义__． 　规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？ 提示：由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂． ◎结论形成 (1)asat＝__as＋t__(a>0，s，t∈__Q__)； (2)(as)t＝__ast__(a>0，s，t∈__Q__)； (3)(ab)t＝__atbt__(a>0，b>0，t∈__Q__). 导学2　实数指数幂 　无理数指数幂aα(a＞0，α是一个无理数)有何意义？有怎样的运算性质？有理数指数幂的运算性质是否还适用？ 提示：无理数指数幂的意义，是用有理数指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小．一般来说，无理数指数幂aα(a＞0，α是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算法则同样适用于无理数指数幂．这样指数幂的概念就从有理指数幂推广到实数指数幂． ◎结论形成 指数幂的运算性质 (1)asat＝__as＋t__(a>0，s，t∈__R__)； (2)(as)t＝__ast__(a>0，s，t∈__R__)； (3)(ab)t＝__atbt__(a>0，b>0，t∈__R__). [拓展]　(1)若as＝at(a＞0且a≠1)，则s＝t； (2)若a＞b＞0，n∈N*且n＞1，则a＞b； (3)乘法公式仍适用于分数指数幂，如： (a＋b)(a－b)＝(a)2－(b)2＝a－b(a＞0，b＞0). [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．(　　) (2)0的任何指数幂都等于0.(　　) (3)＝m.(　　) (4)(mn)b＝mbnb.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选)下列各式不正确的是(　　) A．＝n7m　　　 B．＝ C．＝(x＋y) D．＝ 解析　∵＝＝n7m－7，∴A错误； ∵＝＝，∴B错误； ∵＝(x3＋y3)，∴C错误； ∵＝＝9＝3＝，∴D正确． 答案　ABC 3．下列等式一定成立的是(　　) A．a·a＝a B．a－·a＝0 C．(a3)2＝a9 D．a÷a＝a 解析　a÷a＝a＝a. 答案　D 4.－－(2－1)()2的值为____________． 解析　原式＝－－(2－1)×3 ＝－－＝. 答案　 题型一　根式与分数指数幂的互化 　将下列根式化成分数指数幂的形式． [规律方法]　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题. [触类旁通]　 1．将下列根式与分数指数幂进行互化． 题型二　根式与分数指数幂的化简与求值 　化简下列各式． (2)0.064－＋[(2－π)2]＋16－0.75 ＝－1＋(π－2)＋(24)－ ＝＋π－3＋2－3＝＋π－3＋＝π－； (3)÷× ＝÷×a ＝××a ＝＝＝a. [规律方法]　指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． [触类旁通]　 2．(1)化简：a·b·(2ab)÷(a＞0，b＞0)； (2)计算：(－1)0＋＋8. 解析　(1)a·b·(2ab)÷ ＝10a＋－b＋－＝10a. (2)(－1)0＋＋8 ＝1＋＋(23) ＝1＋＋4＝. 题型三　指数幂运算中的条件求值一题多变 　(1)已知am＝4，an＝3，则 的值为(　　) A．　　　　　　　 B．6 C． D．2 (2)已知a＋a＝，求下列各式的值． ①a＋a－1；②a2＋a－2；③a＋a－. (1)[解析]　因为am＝4，an＝3， 所以am－2n＝＝， 所以＝＝. [答案]　A (2)[解析]　①将a＋a＝两边平方，得 a＋a－1＋2＝5， 即a＋a－1＝3. ②将a＋a－1＝3两边平方，有a2＋a－2＋2＝9， 所以a2＋a－2＝7. ③a＋a＝(a)3＋(a)3 ＝(a＋a)(a－1＋a－1)＝×2＝2. [母题变式]　 1．(变结论)本例条件不变，如何求a2－a－2的值． 解析　设y＝a2－a－2，两边平方得 y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45， ∴y＝±3，即a2－a－2＝±3. 2．(变条件)将本例中的条件改为a2＋a－2＝3，求a＋a－1的值． 解析　∵a2＋a－2＝3，∴(a＋a－1)2－2＝3， 即(a＋a－1)2＝5，故a＋a－1＝±. [素养聚焦]　本题通过整体代入，巧妙变形，提高运算求解能力，进而提升数学运算等核心素养． [方法技巧]　条件等式求值的原则和技巧 (1)两个原则 ①把所要求的式子先进行变形，找出与条件等式的联系，然后求值． ②先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值． (2)技巧：乘法公式在分数指数幂中的应用及“整体代换”的技巧、换元思想． [触类旁通] 3．已知a－＝3(a>0)，则a2＋a＋a－2＋a－1的值为(　　) A．13－ B．11－ C．13＋ D．11＋ 解析　由a－＝3(a>0)，得2＝9， 因为a2＋－2＝9，故a2＋a－2＝11. 又2＝a2＋a－2＋2＝11＋2＝13， 且a>0， 所以a＋a－1＝.于是a2＋a＋a－2＋a－1＝11＋.故选D. 答案　D [缜密思维提能区]　规范答题 实数指数幂的运算 【典例】　(13分)化简：(1－a)[(a－1)－2(－a)]. [规范解答]　由(－a)有意义，可知－a≥0， 故a≤0，(5分) 所以(1－a)[(a－1)－2·(－a)]＝(1－a)· [(a－1)－2][(－a)] ＝(1－a)(1－a)－1(－a)(10分) ＝(－a).(13分) [纠错心得]　对式子化简时，要注意条件中有无隐含条件，有无偶次方根，被开方数是否符合要求． 知识落实 技法强化 (1)分数指数幂与根式的相互转化． (2)分数指数幂的运算性质． (1)常用方法：转化法． (2)注意分数指数幂有意义的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$