4.1 第1课时 根式（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

　指数 第1课时　根式 学业标准 素养目标 1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质． 2．能利用根式的性质进行根式的化简和运算． 1．通过根式的概念及性质的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过根式的化简与求值，提升数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学　n次方根、算术根、根式 　我们在初中学习了平方根、立方根，有没有四次方根、五次方根、……、n次方根呢？ 我们知道x2＝3，这样的x有几个？它们叫作3的什么？怎么表示x3＝8呢？ 提示：对于x2＝3，则x＝±；对于x3＝8，则x＝2. ◎结论形成 1．n次方根的定义 如果__xn＝a__，(a>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根． 2．n次方根的表示 (1)0的任意正整数次方根均为__0__，记为__＝0__． (2)正数a的偶数次方根有__两__个，它们互为__相反__数，其中正的方根称为a的n次__算术__根，记为____，负的方根记为__－__；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a＜0且n为偶数时，__没有__意义． (3)任意实数的奇数次方根都有且只有__一__个，记为____．而且正数的奇数次方根是一个__正__数，负数的奇数次方根是一个__负__数． 3．根式的定义和性质 (1)定义：式子叫做根式，其中__n__叫做根指数，__a__叫做被开方数． (2)性质 对于n∈N*，n>1， ①()n＝__a__． ②当n为奇数时，＝__a__；当n为偶数时，＝__|a|__＝ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n∈N*时，()n有意义．(　　) (2)＝±9.(　　) (3)＝a－3.(　　) (4)＝b－3.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析　当m<0时，没有意义，其余各式均有意义．故选C. 答案　C 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．16的4次方根是2 B．的运算结果是±2 C．当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义 D．当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义 解析　A．16的4次方根应是±2；B.＝2，所以正确的应为C，D. 故选C，D. 答案　CD 4．计算 ＋的值为(　　) A．5 B．－1 C．2π－5 D．5－2π 解析　＋＝2－π＋π－3＝－1.故选B. 答案　B 题型一　n次方根的概念问题 　(1)27的立方根是____________；16的4次方根是____________． (2)已知x6＝2 024，则x＝____________． (3)若有意义，则实数x的取值范围为__________． [解析]　(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2. (2)因为x6＝2 024，所以x＝± . (3)要使意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3. 所以实数x的取值范围是[－3，＋∞). [答案]　(1)3　±2　(2)±　(3)[－3，＋∞) [规律方法]　n次方根的个数及符号的确定 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号． [触类旁通]　 1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子： ① ；② ；③ ；④ ，其中无意义的有(　　) A．1个　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．0个 解析　①中(－3)2n>0，所以有意义；②中根指数为5有意义；③中(－5)2n＋1<0，因此无意义；④中根指数为9，有意义．选A. 答案　A 题型二　根式的化简与求值 　化简下列各式： (1)＝____________； (2)()2＋＝____________． [解析]　(1)＝x－π. (2)由题意，首先a－2≥0，即a≥2. 从而()2＝a－2，＝2－a 所以原式＝a－2＋2－a＝0. [答案]　(1)x－π　(2)0 [规律方法]　(1)化简时，首先明确根指数n是奇数还是偶数，然后依据根式的性质进行化简；化简()n时，关键是明确是否有意义，只要有意义，则()n＝a. (2)在对根式进行化简时，若被开方数中含有字母参数，则要注意字母参数的取值范围，即确定中a的正负，再结合n的奇偶性给出正确结果． [触类旁通]　 2．(1)若＝，则实数a的取值范围为____________． (2)若＋＝0，则x2 024＋y2 025＝__________． 解析　(1)由题设得＝＝， ＝1－2a，所以＝1－2a， 所以1－2a≥0，a≤.故答案为. (2)∵≥0，≥0， 且＋＝0， ∴⇒ ∴x2 024＋y2 025＝1－1＝0. 答案　(1)　(2)0 题型三　有限制条件的根式的运算一题多变 　(1)若x<0，则x＋|x|＋＝____________． (2)若－3<x<3，求－的值． (1)[解析]　∵x<0，∴|x|＝－x，＝|x|＝－x， ∴x＋|x|＋＝x－x－1＝－1. [答案]　－1 (2)[解析]　 － ＝－＝|x－1|－|x＋3|， 当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2. 当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4. 因此，原式＝ [母题变式]　 1．(变条件)将本例(2)的条件“－3<x<3”改为“x≤－3”，则结果又是什么？ 解析　 因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4. 2．(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求＋. 解析　＋＝x＋＝x＋1. [素养聚焦]　通过配方，巧妙变形，提高运算求解能力，进而提升数学运算等核心素养． [方法技巧]　带条件根式的化简 (1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负． [触类旁通] 3．已知实数a，b满足(a＋)(b＋)＝1，则a＋b＝(　　) A．－1　　　　　　　 B．1 C．±1 D．0 解析　设m＝a＋，n＝b＋， ∴＝＝－a，＝＝－b， ∴m－＝－＝2a， n－＝－＝2b. ∴a＝，b＝. 又∵m·n＝1，∴n＝，m＝， ∴a＝，b＝，∴a＋b＝＋＝0. 故选D. 答案　D 知识落实 技法强化 (1)n次方根及根式的概念． (2)根式的化简、求值及运算． (1)正确区分与()n的意义． (2)含参数的根式、注意分类讨论思想的应用． 学科网（北京）股份有限公司 $$