第3章 不等式 章末整合提升3（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

一、不等式的性质 不等式真假命题的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证． 　(多选)若<<0，则下列不等式中，正确的不等式有(　　) A．a＋b<ab　　　　　　 B．|a|>|b| C．a<b D．a>b [解析]　a＝－1，b＝－2，排除B，C. [答案]　AD 二、基本不等式题点多探 多维探究 利用基本不等式证明不等式和求最值的区别． (1)利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件． (2)利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等． 基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能．解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立． 角度1　通过配凑法求最值 　已知0＜x＜，则x(1－2x)取得最大值时x的值为(　　) A．　 　 B．　 　 　 C．　 　 D． [解析]　∵0＜x＜，∴x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤×＝.当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，“＝”成立． [答案]　B 角度2　通过常值代换法求最值 　已知2a＋3b－1＝0且a＞0，b＞0，则代数式＋的最小值为(　　) A．24 B．25 C．26 D．27 [解析]　因为2a＋3b－1＝0，a＞0，b＞0， 即2a＋3b＝1， 所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2 ＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25.故选B. [答案]　B 角度3　通过消元法求最值 　已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则s＝的最小值为____________． [解析]　由条件得x2＋y2＝1－z2＝(1－z)(1＋z)，则1＋z＝，于是s＝＝≥＝≥＝4，当且仅当x＝y，且z＝1－z，即z＝，x＝y＝时取等号． [答案]　4 三、三个二次之间的关系题点多探 多维探究 解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图象、一元二次方程的解的关系．如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论． 角度1　解含参不等式 　解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0. [解析]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a. 函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以 (1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}； (2)当a＝－1时，原不等式解集为∅； (3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}． 角度2　已知二次函数的零点确定参数的值 　设m为实数，已知二次函数y＝x2－5x＋m的两个零点都在区间(1，＋∞)内，求m的取值范围． [解析]　二次函数的零点就是对应方程的根． ∴方程x2－5x＋m＝0的两个根均在(1，＋∞)内， 设x1>1，x2>1，⇒4<m≤. [答案]　 恒成立问题中忽略二次项系数为零致误 [典例]　若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围． [解析]　因为a＝2时，原不等式为－4＜0， 所以a＝2时恒成立． 当a≠2时， 由题意得 即 解得－2＜a＜2. 综上两种情况可知－2＜a≤2. 基本不等式使用中的失分点 [典例]　(13分)设x，y为正数，求(x＋y) 的最小值． [规范解答]　(x＋y) ＝1＋4·＋＋4(3分) ＝5＋＋(5分) ≥5＋2 ＝9，(9分)　　　　　　　　　 当且仅当4·＝②，(11分) 即y＝2x时等号成立． (13分) 学科网（北京）股份有限公司 $$