3.3 第2课时 一元二次不等式的综合应用（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

第2课时　一元二次不等式的综合应用 学业标准 素养目标 1．掌握简单的分式不等式的解法． 2．理解不等式恒成立问题． 3．会用一元二次不等式解决一些简单的实际问题． 1．通过一元二次不等式应用的学习，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 2．借助一元二次不等式的实际应用，培养数学建模等核心素养． 题型一　解简单的分式不等式 　求下列不等式的解集． (1)≥0； (2)＞1. [解析]　(1)原不等式可化为 解得 所以－3＜x≤， 所以原不等式的解集为. (2)解法一　原不等式可化为： (2－x)(x＋3)＞(x＋3)2， 即(2x＋1)(x＋3)＜0， 所以原不等式的解集为. 解法二　原不等式可化为＞0， 化简得＞0， 即＜0，所以(2x＋1)(x＋3)＜0， 解得－3＜x＜－， 所以原不等式的解集为. [规律方法]　一般的分式不等式的同解变形法则 类型 同解不等式 >0(<0)(其中a，b，c，d为常数) 法一：或 法二：(ax＋b)(cx＋d)>0(<0) ≥0(≤0) 法一：或 法二： >k (其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式 [触类旁通]　 1．(1)不等式>2的解集是____________． (2)已知关于x的不等式＞0的解集为(－∞，－1)∪，则a＝____________． 解析　(1)不等式>2，即>1⇒－1>0⇒<0，即x<0，求得－1<x<0，所以不等式的解集为. (2)＞0等价于(ax－1)(x＋1)＞0， ∴－1，是方程(ax－1)(x＋1)＝0的两根，∴a＝2. 答案　(1)(－1，0)　(2)2 题型二　不等式中的恒成立问题 　设函数y＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，y＜0恒成立，求m的取值范围； (2)对于x∈[1，3]，y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围； (3)对于m∈[1，3]，y＜－m＋2恒成立，求x的取值范围． [解析]　(1)(利用二次函数的判别式) 要使mx2－mx－1＜0恒成立． 若m＝0，显然－1＜0. 若m≠0，⇒－4＜m＜0. ∴－4＜m≤0， 即m的取值范围是－4＜m≤0. (2)解法一(利用二次函数的图象) 要使y＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，就要使m＋m－6＜0在1≤x≤3上恒成立． 令y2＝m＋m－6，1≤x≤3. ①当m＝0时，y2＝－6＜0恒成立； ②当m＞0时，y2是增函数，∴y2在x＝3时有最大值7m－6＜0，∴0＜m＜； ③当m＜0时，y2是减函数， ∴y2在x＝1时有最大值m－6＜0，得m＜6. ∴m＜0. 综上所述，m的取值范围是m＜. 解法二(利用变量分离法) 当x∈[1，3]时，f(x)＜－m＋5恒成立， 即当1≤x≤3时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立． ∵x2－x＋1＝＋＞0， 又m(x2－x＋1)－6＜0，∴m＜. ∵函数y＝＝ 在1≤x≤3上的最小值为， ∴只需m＜即可． ∴m的取值范围是m<. (3)(利用一次函数的保号性) 将m看作变量，则：mx2－mx－1＜－m＋2⇒m(x2－x＋1)－3＜0当m∈[1，3]时恒成立． 这是一个关于m的一次函数，只要使得两个端点处满足题意即可， ⇒⇒0＜x＜1. [规律方法]　 1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时， 2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时， 3．y≤a恒成立⇔a≥y的最大值，y≥a恒成立⇔a≤y的最小值． 4．看清楚条件，确定主元是哪个字母，以便解题． [触类旁通]　 2．关于x的不等式x2－x＋16≤0的解集为单元素集，且a>0，b>0，若不等式＋≥t2－2t－2恒成立，则实数t的取值范围为(　　) A．－1≤t≤3　　　　　B．－3≤t≤1 C．t≤－1或t≥3 D．t≤－3或t≥1 解析　由已知Δ＝(a＋b＋4)2－64＝0，又a>0，b>0，∴a＋b＋4＝8，a＋b＝4， ＋＝(a＋b)＝≥×＝1，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以＋的最小值是1，不等式＋≥t2－2t－2恒成立，则t2－2t－2≤1，t2－2t－3≤0，解得－1≤t≤3.故选A. 答案　A 题型三　一元二次不等式的实际应用 　某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划如图中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB的长度为x米． (1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式； (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，则AB的长度应在什么范围内？ [解析]　(1)根据题意，得△NDC与△NAM相似， ∴＝，即＝， 解得AD＝20－x， ∴矩形ABCD的面积S关于x的函数为 S＝x(0＜x＜30)， 即S＝20x－x2(0＜x＜30). (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，即20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0. 解得12≤x≤18. ∴AB的长度取值范围为12≤x≤18. [素养聚焦]　本例通过一元二次不等式的实际应用，把数学建模等核心素养体现在解题过程中． [规律方法]　解不等式应用题的一般步骤 (1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题． [触类旁通]　 3．国家为了加强对烟酒生产的管理，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元征收R元(叫税率R%)，则每年产销量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R应怎样确定？ 解析　设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收税金为70x·R%万元，并且x＝100－10R. 由题意可知70(100－10R)·R%≥112， 即R2－10R＋16≤0. ∴2≤R≤8，∴税率定在2%～8%之间，年收附加税不少于112万元． 知识落实 技法强化 (1)简单的分式不等式． (2)不等式恒成立及实际应用． (1)常用方法：等价转化、数形结合． (2)解决实际问题时，注意找准不等式回扣实际问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$