3.3 第1课时 二次函数和一元二次不等式（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 第1课时　二次函数和一元二次不等式 学业标准 素养目标 1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，会解一元二次不等式． 2．理解函数零点的概念． 3．了解含有参数的一元二次不等式的解法． 1．借助一元二次不等式及其解法的学习，提升直观想象等核心素养． 2．通过一元二次方程与一元二次不等式的关系的应用，提升逻辑推理、数学抽象等核心素养． [教材梳理] 导学1　一元二次不等式的有关概念 　不等式x2－5x≤0是一个关于x的一元二次不等式，那么一元二次不等式有什么特点？ 提示：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2. ◎结论形成 只含有__一个__未知数，并且未知数的__最高__次数是__2__的不等式称为一元二次不等式． 一般形式 __ax2＋bx＋c＞0__或__ax2＋bx＋c＜0__，其中a，b，c均为常数，__a≠0__ 解集 使一元二次不等式成立的__所有未知数的值组成的集合__叫这个一元二次不等式的解集 导学2　一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 　画出二次函数y＝x2－5x的图象，如图所示，思考下列问题： ①一元二次函数的图象与一元二次方程的根有什么关系？ ②不等式x2－5x≤0的解集是什么？不等式x2－5x＞0的解集是什么？ 提示：①函数图象与x轴的交点的横坐标就是二次方程的根； ②不等式x2－5x≤0的解集就是二次函数y＝x2－5x的图象位于x轴下方(包括x轴)的部分对应的x的取值范围，故为{x|0≤x≤5}； 不等式x2－5x＞0的解集就是二次函数y＝x2－5x的图象位于x轴上方(包括x轴)的部分对应的x的取值范围，故为{x|x>5或x<0}． 　根据上述问题，你认为怎样确定一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集呢？ 提示：可以由函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集． ◎结论形成 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 __{x|x＜x1，或__ __x＞x2}__ R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 __{x|x1＜x＜x2}__ __∅__ __∅__ 综上，一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系如下： (1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点； (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)位于x轴上方的部分对应的x的取值范围，就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)位于x轴下方的部分对应的x的取值范围，就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集； (3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)的解集的区间端点． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式ax2－x－1＞0表示一个一元二次不等式．(　　) (2)不论实数a取什么值，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集一定与相应方程ax2＋bx＋c＝0的解有关．(　　) (3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，则一元二次不等式f(x)＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}．(　　) (4)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)或ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为空集，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．不等式2x2－x－1＞0的解集是(　　) A． B．{x|x＞1} C．{x|x＜1，或x＞2} D． 解析　∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)， ∴由2x2－x－1＞0得(2x＋1)(x－1)＞0， 解得x＞1或x＜－， ∴不等式的解集为. 答案　D 3．(2024·上海卷)不等式x2－2x－3<0的解集为________． 解析　由x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)<0， 得－1<x<3. 答案　{x|－1＜x＜3} 4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的两个零点分别为－1和3，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是____________． 解析　根据二次函数的图象知所求不等式的解集为{x|x＜－1，或x＞3}． 答案　{x|x＜－1，或x＞3} 题型一　求二次函数的零点个数 　求证：二次函数y＝2x2＋3x－7有两个零点． [证明]　要证明二次函数y＝2x2＋3x－7有两个零点，只需证明一元二次方程2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根即可． 考察一元二次方程2x2＋3x－7＝0，因为Δ＝65＞0， 所以方程2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根， 因此，二次函数y＝2x2＋3x－7有两个零点． [规律方法]　二次函数的零点个数主要通过对应的一元二次方程的根的个数来判断，进而通过判别式来判断，具体是：当判别式大于0时，有两个零点；当判别式等于0时，有一个零点；当判别式小于0时，有0个零点． [触类旁通]　 1．判断二次函数y＝x2－2x－3在区间(－2，0)上是否存在零点． 解析　可以求出一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3，由于－2＜－1＜0，所以在区间(－2，0)上存在一个零点． 题型二　解一元二次不等式 　解下列不等式． (1)x2－8x＋15≥0； (2)－x2－2x＞－3； (3)－2x＞－3＋3x－3x2. [解析]　(1)方程x2－8x＋15＝0的两根分别为x1＝3，x2＝5.函数y＝x2－8x＋15的图象是开口向上的抛物线与x轴有两个交点(3，0)和(5，0)，(如图所示) 观察图象可知，不等式的解集为{x|x≤3或x≥5}． (2)原不等式可化为x2＋2x－3＜0. ∵(x＋3)(x－1)＜0， ∴由图象可得解集为{x|－3＜x＜1}． (3)原不等式移项整理得3x2－5x＋3＞0. ∵Δ＝(－5)2－4×3×3＝－11＜0， ∴方程3x2－5x＋3＝0无实根． 函数y＝3x2－5x＋3的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点． ∴原不等式的解集为R. [规律方法]　解一元二次不等式的一般步骤 (1)化为基本形式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(其中a＞0)； (2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； (3)有根求根； (4)根据图象写出不等式的解集． [触类旁通]　 2．(2023·徐州高一统考期末)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是∪，则不等式bx2＋ax－c≤0的解集是(　　) A．　　 B． C． D． 解析　由条件可知，ax2＋bx＋c＝0的两个实数根是－1和2，且a<0， 则得b＝－a，c＝－2a， 所以bx2＋ax－c≤0⇔－ax2＋ax＋2a≤0， 即x2－x－2≤0， 解得－1≤x≤2，所以不等式的解集为[－1，2].故选A. 答案　A 题型三　三个“二次”之间的关系 　若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集． [解析]　解法一　由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0. 又×2＝＜0，则c＞0. 又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴－＝，∴＝－.又＝－， ∴b＝－a，c＝－a， ∴不等式变为x2＋x＋a＜0， 即2ax2＋5ax－3a＞0. 又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0， 所求不等式的解集为. 解法二　由已知得a＜0且＋2＝－，×2＝知c＞0， 设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1·x2＝， 其中＝＝－， －＝＝ ＝＋＝－. ∴x1＝＝－3，x2＝， ∴不等式cx2＋bx＋a＜0(c＞0)的解集为. [素养聚焦]　利用三个“二次”之间的关系，把数学抽象和逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． [规律方法]　三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： [触类旁通]　 3．已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集． 解析　∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}， ∴1，2是x2＋ax＋b＝0的两根． 由根与系数的关系得得 代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0. 由2x2－3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜或x＞1. ∴bx2＋ax＋1＞0的解集为. 题型四　解含参数的一元二次不等式 　解不等式2x2＋ax＋2>0. [解析]　Δ＝a2－16，下面分情况讨论： ①当Δ<0，即－4<a<4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R； ②当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2>0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2>0，故x≠－1； ③当Δ>0，即a>4或a<－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为 x1＝(－a－)，x2＝(－a＋). 此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)>0， ∴x<x1或x>x2. 综上，当－4<a<4时，原不等式的解集为R； 当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}； 当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}； 当a>4或a<－4时，原不等式的解集为 . [规律方法]　对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论．一般地，对于形如ax2＋bx＋c＞0的不等式分类讨论的划分标准有以下几种类型： (1)按二次项系数a分为：a＞0，a＝0，a＜0； (2)按其对应的一元二次方程的判别式分为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0； (3)若x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，按两根的大小分为：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2. [触类旁通]　 4．(多选)关于x的不等式a<0的解集可能是(　　) A．∪ B．∪ C． D．∅ 解析　当a＝0时，则x∈∅；当a>0时，则a(x－1)(x－a)<0⇔(x－1)(x－a)<0， ①若a>1时，则1<x<a；②若0<a<1时，则a<x<1；③若a＝1时，则x∈∅， 当a<0时，则a(x－1)(x－a)＜0⇔(x－1)(x－a)＞0，故x<a或x>1. 综上，当a＝0，不等式的解集为∅； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a<0时，不等式的解集为∪，故选ACD. 答案　ACD [缜密思维提能区]　规范答题 含参数的一元二次不等式的解法 【典例】　(13分)解关于x的不等式：mx2－(m－2)x－2＞0. [规范解答]　不等式：mx2－(m－2)x－2＞0化为(mx＋2)(x－1)＞0；(1分) (1)当m＝0时， 不等式化为2(x－1)＞0， 解得x＞1， 所以不等式的解集为(1，＋∞)；(3分) (2)当m≠0时，不等式对应方程为(x－1)＝0，解得实数根为－，1；(5分) 再分四种情况讨论： 当m＞0时，不等式化为(x－1)＞0，且－＜1， 所以不等式的解集为∪(1，＋∞)；(8分) 当－2＜m＜0时，不等式化为 (x－1)＜0，且1＜－， 所以不等式的解集为(10分) 当m＝－2时，－＝1，不等式化为(x－1)2＜0，其解集为∅；(11分) 当m＜－2时，不等式化为 (x－1)＜0， 且－＜1， 所以不等式的解集为；(12分) 综上，m＞0时，不等式的解集为 ∪(1，＋∞)； －2＜m＜0时，不等式的解集为. m＝－2时，不等式的解集为∅； m＜－2时，不等式的解集为； m＝0时，不等式的解集为(1，＋∞).(13分) 知识落实 技法强化 (1)一元二次不等式的概念及解法． (2)二次函数的零点． (3)含参数的一元二次不等式的解法． (1)常用方法：数形结合法，分类讨论法． (2)解含参数的一元二次不等式时要选择合理的分类讨论标准． 学科网（北京）股份有限公司 $$