3.2 第2课时 一元二次不等式的综合应用（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

第2课时　基本不等式的综合应用 学业标准 素养目标 1．会用基本不等式求简单的最大(小)值问题． 2．会用基本不等式解决实际问题． 1．借助基本不等式求最值，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 2．通过基本不等式的实际应用，培养数学建模、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　基本不等式求最值 　(1)已知x＞0，求函数y＝的最小值； (2)已知0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值． 提示：(1)∵x＞0，∴y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x＝即x＝2时等号成立． 故y＝(x＞0)的最小值为9. (2)∵0＜x＜，∴1－3x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x) ≤＝. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，函数取得最大值. ◎结论形成 　已知a，b都是正数，则有： 和定积最大 若a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有__最大值S2__ 积定和最小 若ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b__有最小值2__ 导学2　几个重要不等式 　当a，b＞0时，试比较，，，的大小关系． 提示：采用作差法可以比较这些代数式的大小． ◎结论形成 当a，b＞0时，有≤≤≤ ，当且仅当a＝b时等号成立．其中，，， 分别叫做正数a，b的调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥均成立．(　　) (2)若x＞1，则x＋≥1.(　　) (3)a，b异号时，＋≤－2.(　　) (4)当x≥2时，x＋的最小值为2.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取最大值时x的值为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析　∵0＜x＜1，∴1－x＞0， 则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号． 答案　A 3．已知x，y∈(0，＋∞)，且xy＝100，则x＋y的最小值为____________． 解析　x＋y≥2＝20，当且仅当x＝y＝10时取“＝”． 答案　20 4．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为__________． 解析　1＝x＋4y≥2＝4， ∴xy≤，当且仅当x＝4y＝时等号成立． 答案　 题型一　利用基本不等式求最值 　(1)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16　　　　　　 B．25 C．9 D．36 (2)已知函数y＝2x＋(x＞0，a＞0)在x＝2时取得最小值，求a的值． (1)[解析]　解法一　因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8， 所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy ＝9＋xy≤9＋＝9＋42＝25， 因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取最大值25. 解法二　因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8， (1＋x)(1＋y)≤ ＝＝＝25， 因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时， (1＋x)·(1＋y)取最大值25. [答案]　B (2)[解析]　因为x＞0，a＞0， 所以y＝2x＋≥2＝2， 当且仅当2x＝，即2x2＝a时，y取得最小值． 又因为x＝2，所以a＝2×22＝8. [规律方法]　(1)应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答本题易漏掉等号成立的条件． (2)当多次使用均值不等式，或限定了某些量的取值范围时，会导致等号成立的条件不具备，不能直接使用基本不等式，这时应进一步转化，使其能利用基本不等式或其他方法求解． (3)此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”“添项”“凑系数”“常值代换”等． [触类旁通]　 1．已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值． 解析　∵x＜，∴5－4x＞0， ∴y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3 ＝－＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝即x＝1时等号成立． ∴当x＝1时，y最大＝1. 题型二　求有约束条件的最值 　(2024·扬州高一期末)已知m>0，n>0，且2m＋n＝1，则的最小值为(　　) A．13 B．14 C．5＋2 D．6＋4 [解析]　∵m>0，n>0，2m＋n＝1， ∴＝＝＝＋， ∴ ＝＋＝· ＝＋3＋2＋ ≥5＋2＝5＋2， 当且仅当＝时，即n2＝6m2，而2m＋n＝1，所以 此时不等式可取等号．所以的最小值为5＋2.故选C. [答案]　C [素养聚焦]　通过解决含有条件的基本不等式的最值问题，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． [规律方法]　(1)本题在解答中要注意使＋取最小值所对应a，b的值也要一并解出来． (2)解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”“凑”的方法，构造成基本不等式的形式，从而得出最值． [触类旁通]　 2．已知x>0，y>0，x＋2y＝2. (1)求xy的最大值； (2)求＋的最小值． 解析　(1)因为x>0，y>0，所以2＝x＋2y≥2⇒2xy≤1⇒xy≤(当且仅当x＝1，y＝时取等号)，所以xy的最大值为. (2)因为x>0，y>0，所以×2＝(x＋2y)＝≥＝4(当且仅当x＝1，y＝时取等号)，所以＋的最小值为4. 题型三　基本不等式在实际问题中的应用 　如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围36 m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ [解析]　(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m， 则由条件得4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18， 设每间虎笼面积为S，则S＝xy. 由于2x＋3y≥2＝2， ∴2≤18，得xy≤， 即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立， 由解得 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大． (2)解法一　由条件知S＝xy＝24，设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y. ∵2x＋3y≥2＝2＝24， ∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由解得 故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小． 解法二　由xy＝24，得x＝. ∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48， 当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6. 故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小． [规律方法]　基本不等式解决实际问题的思路方法 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数． (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)回到实际问题中，结合实际意义写出正确的答案． [触类旁通]　 3．某市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y＝(v＞0). (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时) (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 解析　(1)由题意y＝ ＝≤＝， 当且仅当v＝，即v＝40时取等号． ∴ymax＝≈11.1(千辆/小时)， ∴当车速v＝40千米/小时时， 车流量最大为11.1千辆/小时． (2)由题意：＞10， 整理得v2－89v＋1 600＜0， 即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64. ∴当车辆平均速度大于25千米/小时且小于64千米/小时时，车流量超过10千辆/小时． [缜密思维提能区]　规范答题 均值不等式的实际应用 【典例】　(13分)某市近郊有一块大约500米×500米的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如下图所示的一个总面积为3 000平方米矩形场地，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米． (1)分别用x表示y和S的函数关系式，并给出x的取值范围； (2)怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值． [规范解答]　(1)由已知xy＝3 000， 所以y＝， 其中x∈(6，500).(2分) S＝(x－4)a＋(x－6)a ＝(2x－10)a， 因为2a＋6＝y， 所以a＝－3＝－3，(4分) 所以S＝(2x－10)· ＝3 030－， 其定义域是(6，500).(6分) (2)S＝3 030－ ≤3 030－2 ＝3 030－2×300＝2 430，(10分) 当且仅当＝6x， 即x＝50∈(6，500)时， 上述不等式等号成立， 此时，x＝50，y＝60， 最大值为2 430.(12分) 当设计x＝50米，y＝60米时，运动场地面积最大，最大值为2 430平方米．(13分) 知识落实 技法强化 (1)基本不等式的简单应用． (2)基本不等式的实际应用． (1)常用方法：配凑法，整体代换法，构造法． (2)实际应用中应注意变量的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$