3.2 第1课时 二次函数和一元二次不等式（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

　基本不等式 ≤(a，b≥0) 第1课时　基本不等式 学业标准 素养目标 1．了解基本不等式的证明过程． 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 3．能利用基本不等式求简单函数的最值． 1．借助基本不等式的证明过程，培养直观想象、逻辑推理等核心素养． 2．通过求最值，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　基本不等式 　当a，b是实数时，代数式a2＋b2与2ab有大小关系吗？是不是恒成立的关系？ 提示：根据完全平方公式：(a－b)2≥0展开即可得到：a2＋b2≥2ab，而且对一切实数a，b都成立． 　如果a＞0，b＞0，用，分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ 提示：a＋b≥2. 　不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？ 提示：不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；≤成立的条件是a，b均为正实数． 　≥与≥ab的等价的吗？ 提示：不等价，前者条件是a＞0，b＞0，后者a，b∈R. ◎结论形成 1．概念：如果a＞0，b＞0，那么__≤__，当且仅当__a＝b__时，等号成立．这个不等式称为基本不等式，其中，____叫作正数a，b的算术平均数，____叫作正数a，b的几何平均数． 2．文字叙述 两个正数的算术平均数__不小于__它们的几何平均数，且当两个正数相等时，两者相等． 3．几何背景 AB是圆O的直径，设AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交半圆于点D，连接AD，BD，易知△ACD∽△DCB，故＝，得CD＝，而OD＝，且CD≤OD， 所以≤. 导学2　基本不等式的证明 　除了导学1中的几何背景，你会用其他方法证明基本不等式≤(a，b≥0)吗？ 提示：阅读课本P52，掌握用分析法、综合法证明基本不等式的方法．  结论形成 ≤(a，b≥0)，ab≤(a，b∈R)，ab≤()2(a，b∈R)(三个不等式都是当且仅当a＝b时，等号成立)，这三个不等式都可以直接使用． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞0，b＞0且a≠b，则a＋b＞2.(　　) (2)若a＞0，b＞0，则ab≤.(　　) (3)a，b同号时，＋≥2.(　　) (4)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3　　　　　　 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 解析　由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去). 答案　C 3．已知y＝x＋－2(x＜0)，则y有(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 解析　∵x＜0， ∴y＝－－2≤－2－2＝－4. 当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号． 答案　C 4．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为____________． 解析　xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”． 答案　2 题型一　对基本不等式的理解 　给出下面四个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0， ∴＋＝－ ≤－2＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①②　 　　　　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ [解析]　①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， ∴＋a≥2＝4是错误的． ③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体，提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确． [答案]　B [规律方法]　(1)基本不等式≥(a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． (2)对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 ①定理成立的条件是a，b都是正数． ②“当且仅当”的含义：当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. [触类旁通]　 1．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　) A．a＞b＞＞　 B．a＞＞＞b C．a＞＞b＞ D．a＞＞＞b 解析　a＝＞＞＞＝b， 因此只有B项正确． 答案　B 题型二　利用基本不等式比较大小 　已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2 B．＋≥2 C．≥2 D．≥ [解析]　由≥得a＋b≥2， ∴A成立； ∵＋≥2＝2，∴B成立； ∵≥＝2，∴C成立； ∵≤＝，∴D不一定成立． [答案]　D [规律方法]　(1)在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件． (2)运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a＞0，b＞0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. [触类旁通]　 2．(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．ab≥ C．＋≥4 D．＋≤ 解析　由已知a>0，b>0，且a＋b＝1， 则a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，当且仅当a＝b时取等号， 即a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时取等号，A正确； 由于a>0，b>0，且a＋b＝1，则a＋b≥2， ∴ab≤＝， 当且仅当a＝b＝时取等号，B错误； 由以上分析可得＋＝≥＝≥＝4， 当且仅当a＝b＝时取等号，故＋≥4成立，C正确； 由A的分析可得(＋)2≤2(a＋b)＝2， ∴＋≤， 当且仅当a＝b＝时取等号，D正确．故选ACD. 答案　ACD 题型三　利用基本不等式证明不等式 　设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6. [解析]　因为a＞0，b＞0，c＞0，所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，所以＋＋≥6，当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c时，等号成立．所以＋＋≥6. [规律方法]　 利用均值不等式证明不等式时应注意的问题 (1)多次使用a＋b≥2时，要注意等号能否成立，累加是不等式性质的应用，也是证明不等式常使用的方法． (2)对不能直接使用基本不等式的证明，要重新组合，构造运用基本不等式的条件，若条件中有一个多选式的和为“1”，要注意“1”的代换． [触类旁通]　 3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 证明　由基本不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2， 同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2， ∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2， 从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. [缜密思维提能区]　易错案例 利用基本不等式求简单函数的最值 【典例】　求函数y＝x＋，x∈(－2，＋∞)的最小值． [失分案例]　y＝x＋≥2 ， 令x＝，得x＝－1， (另一解x＝－－1舍去)代回，y的最小值是－1＋＝2－2. [纠错心得]　产生错误的原因，是对基本不等式满足条件的不理解．应该首先保证参与基本不等式的两个代数式全是正实数，然后求和的最小值时，应该是先有乘积为定值，然后令两个代数式相等，求出对应的自变量x.同样的，求乘积的最大值时，应该先有和为定值，然后运用基本不等式的变形式ab≤求出最大值，最后令两个代数式相等，求出对应的自变量x. [解析]　因为x∈(－2，＋∞)，所以x＋2＞0， 由基本不等式，得： x＋＝x＋2＋－2≥ 2 －2＝2， 当且仅当x＋2＝，即 x＝0时，等号成立．因此，当x＝0时，函数有最小值2. 知识落实 技法强化 (1)基本不等式的推导与证明． (2)基本不等式的简单应用． (1)基本不等式解题时，应验证“一正二定三相等”． (2)两次运用基本不等式时，等号成立的两个方程应该有解． 学科网（北京）股份有限公司 $$