3.1 不等式的基本性质（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

　不等式的基本性质 学业标准 素养目标 1．理解实数大小与实数运算的关系，会用作差法比较两个实数的大小． 2．掌握不等式的有关性质及其应用． 3．能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． 4．了解用分析法，综合法证明不等式的方法． 1．通过对不等式性质的学习，培养数学抽象、逻辑推理等核心素养． 2．通过比较大小、不等式的证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　实数大小与不等式 　对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？ 提示：两个实数a，b，其大小关系有三种可能， 即a＞b，a＝b，a＜b. 　(1)如果a－b是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？ 提示：如果a－b是正数，则a＞b，反之也成立，用数学语言可描述为：a－b＞0⇔a＞b. (2)如果a－b是负数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？ 提示：如果a－b是负数，则a＜b，反之也成立， 即a－b＜0⇔a＜b. ◎结论形成 实数大小与不等式 a－b＞0⇔__a＞b__； a－b＝0⇔a＝b； a－b＜0⇔a＜b. 这也是用作差法比较两个数大小的理论依据． 导学2　不等式的性质 　在解不等式x－3＞2时，通过移项得x＞5，其理论依据是什么？ 提示：不等式两边同加上一个数不等号方向不变． 　已知3＞2，若两边同乘以2，不等式成立吗？若两边同乘以c(c为常数)，不等式成立吗？ 提示：同乘以2，不等式成立． 两边同乘以c，不等式不一定成立，当c＝0时，3c＝2c； 当c＞0时，3c＞2c； 当c＜0时，3c＜2c. 　已知3＞2，32＞22，那么3n＞2n(n∈N*)成立吗？ 提示：成立． 　已知3＞2，3＞2，那么3＞2(n∈N*)成立吗？ 提示：成立． ◎结论形成 不等式的性质 名称 式子表达 性质1(对称性) a>b⇒b<a 性质2(传递性) a>b，b>c⇒a>c 性质3(可加性) a>b⇒a＋c>b＋c 推论 a＋b>c⇒a>c－b 性质4(可乘性) a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc 性质5(不等式同向可加性) a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 性质6(不等式同向正数可乘性) a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 推论(乘方性) a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) 导学3　不等式性质的证明 　不等式的6个性质，你会证明吗？ 提示：阅读课本P47～49，熟悉6个性质的证明过程． ◎结论形成 　证明不等式的常见的两种方法 (1)__综合法__，其实质就是不断寻找__必然成立的结论__，其重要的推理形式为__p⇒q__，其中p为已知或者已经得出的结论． (2)__分析法__，其实质是不断寻找结论成立的__充分条件__，其重要的推理形式是__“要证p，只需证明q”__，可以表示为__p⇐q__，其中p是需要证明的结论． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”错误的打“×”) (1)若a＞b，则ac2＞bc2.(　　) (2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　) (3)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3.(　　) (4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是(　　) A．a－b＞d－c　　　　　 B．a＋d＞b＋c C．a－c＞b－c D．a－c＜a－d 解析　由a＞b，c＞d，得a＋c＞b＋d，移项得，a－b＞d－c，A正确；由a＞b得a－c＞b－c，C正确；由c＞d得－c＜－d，所以a－c＜a－d，D正确；而B中，取值检验，当a＝3，b＝1，c＝6，d＝3时，a＋d＜b＋c，则B不一定成立． 答案　B 3．若x－4＜0，则x与4的关系是____________． 解析　由x－4＜0，得x＜4. 答案　x＜4 4．若1≤x≤3，2≤y≤4，则x－y的范围是____________． 解析　因为2≤y≤4，所以－4≤－y≤－2， 又1≤x≤3，所以－3≤x－y≤1. 答案　[－3，1] 题型一　作差法比较大小 　已知－1＜a＜0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝，则A，B，C的大小关系为(　　) A．A＜B＜C　　　　 B．B＜A＜C C．A＜C＜B D．B＜C＜A [解析]　解法一(作差法) 由－1＜a＜0得1＋a＞0， A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2＞0得 A＞B，C－A＝－(1＋a2)＝－ ＝－＞0，得C＞A， 所以B＜A＜C. 解法二(特殊值法) 令a＝－，则A＝，B＝，C＝2，因此得B＜A＜C. [答案]　B [规律方法]　(1)作差法比较大小的步骤：作差→变形→定号→结论． (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④平方差、立方差(和)公式；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论． [触类旁通]　 1．若x∈R，则与的大小关系为____________． 解析　∵－＝＝≤0， ∴≤. 答案　≤ 题型二　不等式性质的运用 　(多选)给出下列命题，其中真命题的选项是(　　) A．若ab＞0，a＞b，则＜ B．若a＞|b|，则a2＞b2 C．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d D．对于正数a，b，m，若a＜b，则＜ [解析]　对于A，若ab＞0，则＞0， 又a＞b，所以＞，所以＜，所以A正确； 对于B，若a＞|b|≥0，则a2＞b2，所以B正确； 对于C若a＞b，c＞d，则－c＜－d， 所以－d＞－c，所以a－d＞b－c， 所以a－c＞b－d不成立，C错误； 对于D，对于正数a，b，m， 若a＜b，则＜成立， 即a(b＋m)＜b(a＋m)， 所以am＜bm， 所以a＜b，D正确． 综上，正确的命题是A，B，D. [答案]　ABD [素养聚焦]　逻辑推理、直观想象等核心素养在解题过程中得以体现． [易错警示]　(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． (3)通过举反例来说明不等式不成立是行之有效的方法． [触类旁通]　 2．(多选)(2024·徐州高一统考期末)已知a，b，c，d都是正数，且a<b，c>d，则(　　) A．a－c<b－d B．a＋c>b＋d C．ad<bc D．> 解析　对于A，a－c－(b－d)＝a－b＋(d－c)，因为a<b，c>d， 所以a－b<0，d－c<0，则a－c－(b－d)＝a－b＋(d－c)<0，所以a－c<b－d，故选项A正确； 对于B，a＋c－(b＋d)＝a－b＋(c－d)，因为a<b，c>d，所以a－b<0，c－d>0， 则无法判断a－b＋(c－d)的符号，故选项B错误； 对于C，因为a，b，c，d都是正数，且a<b，c>d，所以ad<bc，故选项C正确； 对于D，－＝ ＝， 因为a，b，c，d都是正数，且a<b，c>d，所以a－b<0，d－c<0，则(a－b)·(d－c)>0 所以>0，则>，故选项D正确，故选ACD. 答案　ACD 题型三　证明不等式一题多变 　试用分析法证明：若0＜a＜b，m＞0，则＞. [解析]　要证＞， 只需证ab＋bm＞ab＋am， 即证(b－a)m＞0， ∵b＞a＞0，m＞0. ∴(b－a)m＞0显然成立， ∴＞. [母题变式]　 (变条件)若将本例条件中的“分析法”去掉，还有哪些证明方法？ 证明　综合法：－＝＝， 由于0＜a＜b，m＞0，故＞0，所以＞. [规律方法]　(1)逆向思维是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件． 平时解题时，经常会采用分析法寻找解题思路，最后用综合法反映解题过程．如果采用分析法写解题过程，则书写格式一定要注意使用“要证”“只要证”“就是要证”等字眼连接每一个条件； (2)本题得到的不等式，用语言可以叙述为：一个正的真分数，分子分母同时加上同一个正常数，得到的真分数的值比原来大；此不等式亦称为糖水不等式，具体的实际背景见书本P50第11题，同学们课后可以研究一下． [触类旁通] 3．已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2.证明：(a＋b)(a5＋b5)≥4. 证明　(a＋b)(a5＋b5) ＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4) ＝4＋ab(a2－b2)2≥4. ∴不等式成立． [缜密思维提能区]　规范答题 利用不等式的性质求范围 【典例】　(13分)已知－4＜a＜6，2＜b＜4，求a－2b，的取值范围． [规范解答]　因为2＜b＜4， 所以－4＜－b＜－2，(2分) 则－8＜－2b＜－4.(4分) 又因为－4＜a＜6， 所以－12＜a－2b＜2.(6分) 又因为2＜b＜4，所以＜＜， 当0≤a＜6时，0≤＜3；(8分) 当－4＜a＜0时，－2＜＜0(9分) 可知－2＜＜3(10分) 综上可知，所求的范围分别为 －12＜a－2b＜2，－2＜＜3.(13分) 知识落实 技法强化 (1)不等式的性质及应用． (2)不等式的证明． (1)注意同向不等式的同向相加(乘)法则的使用条件． (2)综合法证明不等式是因果关系． (3)分析法证明不等式是执果索因． 学科网（北京）股份有限公司 $$