2.2 充分条件、必要条件、充要条件（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

　充分条件、必要条件、充要条件 学业标准 素养目标 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的概念． 2．了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系． 3．掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断方法． 1．通过充分条件、必要条件和充要条件的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助充分条件、必要条件和充要条件的应用，提升逻辑推理、等核心素养． [教材梳理] 导学1　充分条件和必要条件 　判断下列两个命题的真假，若为真命题，说明条件和结论有什么关系？ ①若x＞a2＋b2，则x＞2ab； ②若ab＝0，则a＝0. 提示：①为真命题，说明：由条件x＞a2＋b2，通过推理可以得出结论x＞2ab. ②为假命题，说明：由条件ab＝0不能推出结论a＝0. ◎结论形成 1．“能推出”和“不能推出” 如果命题“若p则q”为真命题，就说“由p能推出q成立”．记作“p⇒q”，读作“p能推q”． 如果命题“若p则q”为假命题，就说“由p不能推出q成立”，记作“pD/⇒q”读作“p不能推出q”． 2．充分条件和必要条件 如果p⇒q，那么称p是q成立的__充分条件__，也称q是p成立的__必要条件__． 导学2　充要条件 　已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数．请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？ 提示：p⇒q，故p是q的充分条件，又q⇒p，故p是q的必要条件． 　通过判断，你发现了什么？这种关系是否对任意一个“若p，则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立？你能用数学语言概括出来吗？ 提示：可以发现p既是q的充分条件，又是q的必要条件，且这种关系对“若p，则q”的命题只要具备p⇒q，q⇒p都成立，即p⇔q. ◎结论形成 1．充要条件 如果p⇒q且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p，记作__p⇔q__，称为__“p与q等价”或“p等价于q”__． 2．充分不必要条件 一般地，如果p⇒q__且__qD/⇒p，则称p是q的充分不必要条件． 3．必要不充分条件 一般地，如果pD/⇒q且__q⇒p__，则称p是q的必要不充分条件． 导学3　性质定理、判定定理与充分条件、必要条件的关系 　(1)初中学习中，我们经常遇到性质定理和判定定理，你能举出几个例子吗？ (2)对你举出的例子进行分析，分析它们与刚刚学习的充分条件、必要条件的关系． 提示：性质定理是指某类对象具有的具体特征．例如，性质定理“平行四边形的对角线互相平分”表明：“平行四边形”具有“对角线互相平分”的特征，因此，性质定理具有“必要性”； 判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征．例如，判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”表明，只要四边形具有“对角线互相平分”这个特征，就一定具有平行四边形的所有特征．因此，判定定理具有“充分性”． ◎结论形成 定理 关系 判定定理给出了结论成立的__充分条件__ 性质定理给出了结论成立的__必要条件__ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝3”是“x2＝9”的充分条件．(　　) (2)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件．(　　) (3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．(　　) (4)“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．“x＞0”是“x≠0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由“x＞0”⇒“x≠0”，反之不一定成立． 因此“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件． 答案　A 3．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的____________条件． 答案　充分 4．若p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的____________条件． 解析　∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p， ∴p是q的必要条件． 答案　必要 题型一　充分条件与必要条件的概念 　设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4，但是x2＋y2≥4x≥2且y≥2，反例：x＝－2，y＝1.所以“x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分不必要条件”． [答案]　A [规律方法]　充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法 ①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． (2)命题判断法 ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． [触类旁通]　 1．(1)“x>3”是“x>1”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)直线y＝kx＋b过原点的一个充分条件是(　　) A．b＝0 B．b＞0 C．b＜0 D．b∈R 解析　(1)当x>3时，必有x>1；当x>1时，比如取x＝2，推不出x>3， 故“x>3”是“x>1”成立的充分不必要条件，故选A. (2)就是要找一个条件能推出直线y＝kx＋b过原点．当b＝0时，直线y＝kx过原点．所以b＝0是直线y＝kx＋b过原点的充分条件． 答案　(1)A　(2)A 题型二　充分条件与必要条件的应用 　已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围． [解析]　∵P＝{x|－2≤x≤10}． 由x∈P是x∈S的必要条件，知x∈S⇒x∈P，说明S是一个比P小的范围，即S⊆P. 则 所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件， 即所求m的取值范围是[0，3]. [规律方法]　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． [提醒]　把充分条件或必要条件转化为集合间的关系后，集合端点处的等号易错． [触类旁通]　 2．已知a为实数，使“x∈，x－a<0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a>4 B．a>5 C．a>3 D．a≥4 解析　依题意，x∈[3，4]，x－a<0为真命题， 所以，a>x在区间[3，4]上恒成立，所以a>4， 所以使“x∈[3，4]，x－a<0”为真命题的一个充分不必要条件是“a>5”．故选B. 答案　B 题型三　求充要条件 　不等式－x2＋mx－m≤0在R上恒成立的充要条件是____________． [解析]　两边同乘－1，得： x2－mx＋m≥0在R上恒成立⇔Δ≤0⇔m2－4m≤0⇔0≤m≤4. [答案]　0≤m≤4 [规律方法]　求充要条件的方法 (1)求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密． (2)p是q的充要条件意味着“p成立则q成立；p不成立则q不成立．” [触类旁通]　 3．求关于x的一元二次不等式ax2＋1>ax对于一切实数x都成立的充要条件． 解析　题设中已经有“一元二次”，故二次项系数a不等于0.由题可知， 等价于⇔0＜a＜4. [缜密思维提能区]　易错案例 充要条件的应用 【典例】　命题“ax2＋ax＋1＞0的解集为R”是“0＜a＜4”的____________条件． [失分案例]　设p：ax2＋ax＋1＞0的解集为R， q：0＜a＜4. 因为当0＜a＜4时，Δ＜0， 所以当0＜a＜4时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，故q⇒p. 当ax2＋ax＋1＞0的解集为R时，有0＜a＜4，故p⇒q. 所以p是q的充要条件． [纠错心得]　(1)忽略了a＝0时原不等式变为1＞0这一情况． (2)用定义判断时无论是p⇒q，还是q⇒p，均要认真考虑是否有反例，这一点往往是判断充分性和必要性的关键和难点． [解析]　设p：ax2＋ax＋1＞0的解集为R， q：0＜a＜4，因为当0<a<4时，Δ＜0， 所以当0＜a＜4时，ax2＋ax＋1＞0恒成立， 故q⇒p. 而当a＝0时，ax2＋ax＋1＞0恒成立， 所以pD/⇒q. 所以p为q的必要不充分条件． [答案]　必要不充分 知识落实 技法强化 (1)充分条件、必要条件、充要条件的概念． (2)充分条件、必要条件、充要条件的应用． (1)常用方法：等价转化． (2)易错点：充分条件、必要条件不唯一；充要条件是唯一的． 学科网（北京）股份有限公司 $$