2.1 命题、定理、定义（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

　命题、定理、定义 学业标准 素养目标 1．了解命题、真命题、假命题、定理的含义，会区分命题的题设和结论． 2．通过命题的真假，培养分类思想；通过命题的构成，培养学生分析法． 1．通过对命题、定理、定义的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过对命题真假的判断，提升逻辑推理等核心素养． [教材梳理] 导学1　命题的定义及分类 　阅读下面的语句，它们的表述形式有什么特点？ ①2＋4＝7； ②若x2＝1，则x＝1； ③两个全等三角形的面积相等； ④3能被2整除． 提示：从这些语句可以看到，它们都是陈述句． 　能判断以上语句的真假吗？若能，请指出真假． 提示：可以判断真假，其中语句③判断为真，语句①②④判断为假． ◎结论形成 1．命题：将可判断真假的__陈述句__叫做命题． 2．真命题：判断为__真__的语句称为真命题； 假命题：判断为__假__的语句称为假命题． 导学2　命题的构成形式 　观察以下命题，分析它们具有怎样的表示形式？ ①两直线平行，同位角相等； ②等角的余角相等； ③对顶角相等； ④内错角相等，两直线平行． 提示：这些命题都具有“如果p，那么q”或“若p则q”的形式． ◎结论形成 数学中，许多命题可表示为“如果__p__，那么__q__”或“若__p__则__q__”的形式，其中__p__叫做命题的条件，q叫做命题的结论． 导学3　公理、定理和定义 1．公理：公认的真命题称为公理，它不需要证明，可以作为推理的依据而直接使用． 2．定理：已经被证明为真的命题，可以作为推理的依据而直接使用． 3．定义：定义是对某些对象标明__符号__、指明__称谓__，或者揭示所研究问题中对象的__内涵__，定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画__陌生的对象__，并加以区别． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)证明x2＋2x＋1≥0，是命题．(　　) (2)你是团员吗？不是命题．(　　) (3)一个正数不是素数就是合数，是真命题．(　　) (4)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0恒成立，是假命题．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．用推理的方法判断为正确的命题叫做(　　) A．定义　　　　　 B．定理 C．公理 D．真命题 解析　根据公理、定理、定义、真命题的各自概念进行判断． 答案　B 3．有下列语句：①集合{a，b}有2个子集；②x2－4≤0；③今天天气真好啊；④所有的自然数都大于零；⑤若A∪B＝A∩B，则A＝B.其中真命题的序号为__________． 解析　①是命题，但不是真命题，因为{a，b}应有4个子集；②不是命题；③不是命题；④是假命题；⑤是命题且是真命题． 答案　⑤ 4．下列语句是命题吗？如果是，请将它们改写成“如果……那么……”的形式． (1)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； (2)等式两边都加同一个数，结果仍是等式； (3)互为相反数的两个数相加得0. 解析　(1)可以判断真假，是命题；改写成：如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补； (2)可以判断真假，是命题；改写成：如果在等式两边都加同一个数，那么得到的结果仍是等式； (3)可以判断真假，是命题；改写成：如果两个数互为相反数，那么这两个数相加的结果是0. 题型一　命题及其真假判断 　判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． ①对顶角相等； ②求证：x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根； ③垂直于同一直线的两条直线平行吗？ ④当x＝3时，3x－8＞0. [解析]　①是命题．当两个角互为对顶角时，两个角相等，该命题是真命题． ②该语句为祈使句，不是命题． ③不是命题．它是疑问句，没有做出判断． ④是命题．当x＝3时，3x－8＞0，是真命题． [规律方法]　判断命题真假的两个技巧 (1)真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件：经过严格推理论证得出要证的结论． (2)假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可． [触类旁通]　 1．下面给出的四个命题中，真命题的个数为(　　) (1)等角的余角相等；(2)一个角的补角－定大于这个角；(3)矩形的对角线互相垂直；(4)0是最小的正整数． A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　由等式的性质可知：等角的余角相等，故(1)正确； 当这个角为直角时，显然直角的补角与直角相等，故(2)不正确； 只有当矩形的邻边相等，变成正方形时，对角线才互相垂直，故(3)不正确； 最小的正整数是1，故(4)不正确，因此真命题的个数为1，故选A. 答案　A 题型二　写出命题的条件和结论 　写出下列命题的条件和结论． (1)若ab＝0，则a＝0； (2)若a＜0，则|a|＞0. [解析]　(1)p：ab＝0，q：a＝0； (2)p：a＜0，q：|a|＞0. [规律方法]　写出命题的条件和结论的方法 (1)首先分清已知和结论即可得到． (2)对于隐形的条件要结合学过的定理、定义等加以补充． [触类旁通]　 2．写出下列命题的条件和结论． (1)同旁内角互补； (2)对顶角相等． 解析　(1)p：两个角是同旁内角，q：这两个角互补； (2)p：两个角是对顶角，q：这两个角相等． 题型三　将命题改写成“若p则q”的形式 　将下列命题改写成“若p则q”的形式 (1)绝对值相等的数也相等； (2)角平分线上的点到角两边的距离相等． [解析]　(1)若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等； (2)若一个点在角的平分线上，则这个点到这个角的两边的距离相等． [素养聚焦]　通过改写命题的形式，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． [规律方法]　命题的改写方法 (1)写出命题的条件和结论，即可得到． (2)改写过程中既不要扩大条件的内涵也不要缩小其内涵． [触类旁通]　 3．将下列命题改写成“若p则q”的形式并判断真假． (1)两个偶数的和是偶数； (2)和是偶数的两个数一定都是偶数． 解析　(1)若两个数都是偶数，则这两个数的和也是偶数，这是真命题； (2)若两个数的和是偶数，则这两个数都是偶数，这是假命题． [缜密思维提能区]　易错案例 命题真假的判断 【典例】　判断下面命题的真假． x＝1是方程(x－1)(x－2)＝0的一个根． [失分案例]　假命题． [纠错心得]　因为方程的根为x＝1或x＝2，解题时误认为x＝1不全面，而没有分析清逻辑关系. [答案]　真命题 知识落实 技法强化 (1)命题、定理、定义的含义． (2)区分命题的条件和结论，判断命题的真假． (1)常用方法：分类法、特例法． (2)易错点：扩大条件的内涵，由于位置关系，颠倒了条件和结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$