1.3 交集、并集（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

　交集、并集 学业标准 素养目标 1．理解两个集合的并集、交集及补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集及补集． 2．能使用Venn图表达集合的关系及运算． 3．会用区间表示某段连续实数构成的集合． 1．通过交集与并集的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过集合的运算，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　交集 　已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，C＝{2，4}，D＝{2}，则集合C中的元素相对于集合A，B有什么特点，集合D呢？ 提示：集合C是由集合A，B所有公共元素组成的，集合D的元素是集合A，B的公共元素，但不是所有的公共元素． ◎结论形成 1．交集定义 由__所有属于集合A且属于集合B的元素__构成的集合，称为A与B的交集．记作__A∩B__(读作“A交B”). 2．符号表示 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 3．图形表示 ，阴影部分为A∩B. 4．交集运算的性质 A∩B＝__B∩A__，A∩∅＝__∅__，A∩A＝__A__，A∩B⊆__A(或B)__，A∩B＝A⇔A⊆B. 导学2　并集 　已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，C＝{1，2，3，4，6，8}，则集合C相对于集合A，B有什么特点？ 提示：集合C是由集合A，B的所有元素构成的． ◎结论形成 1．并集的定义 由__所有属于集合A或属于集合B__的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作__A∪B__(读作“A并B”). 2．符号表示 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． 3．图形表示 ，阴影部分表示A∪B. 4．并集运算性质 A∪B＝__B∪A__，A∪∅＝__A__，A∪A＝__A__，A(或B)⊆A∪B，A∪B＝B⇔A⊆B. ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 导学3　集合的区间表示 　集合A＝{x|1<x<2}有没有简写形式呢？ 提示：集合{x|1<x<2}也可以用符号(1，2)表示． ◎结论形成 为叙述方便，在今后的学习中，常常会用到区间的概念，用区间表示集合如下表(其中a，b∈R，且a<b)： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a<x<b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 __[a，b)__ {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 __(a，b]__ {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 取遍数轴 上所有的值 注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号. ②区间是数集的另一种表示方法，用区间表示范围时，默认左端点小于右端点；但是用不等式形式表示范围时，左端点可以大于右端点，此时集合为空集． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)A∪B的元素个数等于集合A中元素的个数与集合B中元素个数的和．(　　) (2){x|a＜x＜3－a}＝(a，3－a).(　　) (3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．(　　) (4)若A∩B＝A∩C，则必有B＝C.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(　　) A．{x|x≤0}　　　　　　 B．{x|x≥1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1} 解析　A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}， 所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}． 答案　D 3．(2024·天津卷)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{1} 解析　因为A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3，4}，故选B. 答案　B 4．若3∈[2a＋1，2－a)则a的取值范围是__________． 解析　∵3∈[2a＋1，2－a)，∴ 解得a＜－1. 答案　(－∞，－1) 题型一　交集的概念及简单应用 　已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B，(∁UA)∩(∁UB)，A∩∁UB. [解析]　解法一　A∩B＝{4}，∁UA＝{1，2，6，7，8}，∁UB＝{1，2，3，5，6}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1，2，6}，A∩∁UB＝{3，5}． 解法二　A∩B，A∩∁UB求法同解法一． (∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{1，2，6}． 解法三　画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}， (∁UA)∩(∁UB)＝{1，2，6}，A∩∁UB＝{3，5}． [触类旁通]　 1．若集合A＝{(x，y)|3x＋2y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，C＝{(x，y)|2x－2y＝3}．则A∩B＝____________，B∩C＝____________． 解析　联立解得 故A∩B＝{(1，－1)}． 同理B，C联立，无解，故B∩C＝∅. 答案　{(1，－1)}　∅ 题型二　并集概念及简单应用 　 已知集合M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　) A．{0，1}　　　　　　 B．{0} C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，2，3} [解析]　由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，故M∪P＝{－1，0，1，2，3}． [答案]　D [规律方法]　求M∪N时要注意两点 (1)把集合M，N的元素放在一起； (2)使M，N的公共元素在并集中只出现一次． [触类旁通]　 2．设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝，求A∪B. 解析　因为A∩B＝，所以∈A，∈B. 将x＝分别代入方程2x2－px＋q＝0及6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0中， 联立得方程组 解得 所以A＝{x|2x2＋7x－4＝0}＝， B＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝， ∴A∪B＝. 题型三　利用集合的交集、并集求参数一题多变 　已知集合A＝(1，6)，B＝(2，10)，C＝(－∞，a). (1)求(∁RA)∩B； (2)若A∪C＝C，求a的取值范围． [解析]　(1)因为A＝(1，6)，B＝(2，10)， 所以∁RA＝(－∞，1]∪[6，＋∞)， 所以(∁RA)∩B＝[6，10). (2)因为A∪C＝C，所以A⊆C. 又因为A＝(1，6)，C＝(－∞，a)，所以a∈[6，＋∞). [母题变式] (变条件)把例3(2)中条件“A∪C＝C”改为“(∁RA)∩C＝C”，其他条件不变，求a的取值范围． 解析　因为(∁RA)∩C＝C，所以C⊆∁RA. 又因为∁RA＝{x|x≤1或x≥6}，C＝{x|x<a}， 所以a∈(－∞，1]. [素养聚焦]　利用集合的交、并、补运算，把直观想象、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． [规律方法]　 (1)题目中若有条件A∩B＝B和A∪B＝B，一般都等价转化为B⊆A和A⊆B. (2)在包含关系B⊆A中，不要漏掉B＝∅的情况． [触类旁通]　 3．(多选)(2024·连云港高一校考期中)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值可以为(　　) A． B．0 C．3 D． 解析　集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3，5}，由A∩B＝B可得B⊆A， 则分B＝∅和B＝{3}或或{3，5}， 当B＝∅时，满足a＝0即可； 当B＝{3}时，满足3a－1＝0，解得a＝； 当B＝{5}时，满足5a－1＝0，解得a＝； 当B＝{3，5}时，显然不符合条件． 所以a的值可以为0，，，故选ABD. 答案　ABD 题型四　集合的综合应用 　已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0，a为常数}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，求当a为何实数时，A∩B≠∅与A∩C＝∅同时成立． [解析]　解法一　∵B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}， C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4，2}，∴B∩C＝{2}． ∵A∩B≠∅，A∩C＝∅，∴3∈A. 将x＝3代入方程x2－ax＋a2－19＝0得 a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2. 若a＝5，则A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}， 此时A∩C＝{2}≠∅，不符合要求，舍去； 若a＝－2， 则A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{－5，3}，满足要求． 综上知a的值为－2. 解法二　根据题意B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}， C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4，2}，则B∩C＝{2}． 又A∩B≠∅与A∩C＝∅同时成立，根据如下图的Venn图我们可以发现2∉A，且3∈A，也就是说x＝3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解， 但x＝2不是方程x2－ax＋a2－19＝0的解． 因此有解得a＝－2. 经检验a＝－2符合题意． [规律方法]　如果集合间的元素已知，或集合间的关系相对复杂，又涉及集合中的元素问题，解题过程中常借助于Venn图，这样处理相对来说较形象、直观，且解答时不易出错． [触类旁通]　 4．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的a的值． (1)9∈A∩B； (2){9}＝A∩B. 解析　(1)∵9∈A∩B且9∈B，∴9∈A， ∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3. 而当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，故舍去． ∴a＝5或a＝－3. (2)∵A∩B＝{9}，∴2a－1＝9或a2＝9， 解得a＝5或a＝±3. 当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}， A∩B＝{－4，9}，不合题意，舍去． 当a＝3时，A＝{－4，5，9}，B＝{－2，－2，9}， B中元素重复，不合要求，舍去． 当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}， A∩B＝{9}，∴a＝－3. [易错警示]　两集合的交集即同时满足两集合中元素性质的元素组成的集合，9∈A∩B与{9}＝A∩B意义不同，9∈A∩B说明9是A与B的一个公共元素，但A与B允许有其他公共元素，而{9}＝A∩B说明A与B的公共元素有且只有一个9. [缜密思维提能区]　规范答题 利用集合的运算求参数的取值范围 【典例】　(13分)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的取值范围． [失分案例]　因为A∩B＝B， 所以B⊆A，又因为A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}， 所以B＝{1}或{2}或{1，2}(3分) B＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}， 当B＝{1}时， 方程ax2＋2x＋1＝0的解是x＝1，代入得a＝－3. 当B＝{2}时， 方程ax2＋2x＋1＝0的解是x＝2，代入得a＝－. 当B＝{1，2}时， 方程ax2＋2x＋1＝0的解是x1＝1，x2＝2， 代入得此时a值不存在．(5分) [纠错心得]　本题只得5分，在解题过程中忽略了∅的情况． [规范解答]　因为A∩B＝B，所以B⊆A， 又因为A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}， 所以B＝∅或{1}或{2}或{1，2}，(3分) B＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}， a＝0时，B＝，不符合题意， ∴a≠0. 当B＝∅时，Δ＝4－4a<0， 所以a>1.(5分) 当B＝{1}时， 方程ax2＋2x＋1＝0的解是x＝1. a值不存在．(7分) 当B＝{2}时，方程ax2＋2x＋1＝0的解是x＝2. a值不存在．(9分) 当B＝{1，2}时， 方程ax2＋2x＋1＝0的解是x1＝1，x2＝2， 代入得此时a值不存在．(11分) 综上所述，a的取值范围是{a|a>1}．(13分) 知识落实 技法强化 (1)并集的概念及运算． (2)交集的概念及运算． (3)根据集合间的运算求参数范围． (1)常用方法：图示法、数形结合、分类讨论等方法． (2)易错点：在根据运算求参数范围时，容易忽略空集这一重要情况． 学科网（北京）股份有限公司 $$