1.2 子集、全集、补集（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

1.2　子集、全集、补集 学业标准 素养目标 1．理解子集、真子集、全集、补集的概念． 2．能使用Venn图表达集合之间的关系，尤其要注意空集这一特殊集合的意义． 3．理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能写出有限集的子集、真子集、非空真子集，会求补集． 1．通过集合的关系学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助Venn图表示集合的关系，培养直观想象等核心素养． [教材梳理] 导学1　子集 　已知集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}．集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素吗？ 提示：是． 　如果B＝{2，3，4}呢？ 提示：不是． ◎结论形成 1．子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的__子集__，记作__A⊆B__或__B⊇A__，读作__“A包含于B”(或“B包含A”)__． 2．性质 (1)任何一个集合是它自身的子集，即__A⊆A__； (2)若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； (3)__∅⊆A__，即空集是任意一个集合的子集． 导学2　真子集 　已知集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}．集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合B中是否有元素不在集合A中呢？ 提示：B中有元素3，3∉A. ◎结论形成 1．真子集 如果__A⊆B__，并且__A≠B__，那么集合A称为集合B的真子集，记作__AB__或__BA__，读作__“A真包含于B”__或__“B真包含A”__． 2．性质 (1)若A≠∅，则∅A，即空集是任何非空集合的真子集； (2)若AB且BC，则__AC__． 导学3　集合的相等与子集的关系 　已知集合A＝{x|x<3且x∈N}，B＝{0，1，2}，则A是B的子集吗？B也是A的子集吗？ 提示：A⊆B，同时B⊆A. ◎结论形成 若A⊆B且B⊆A，则__A＝B__；反之，若A＝B，则__A⊆B且B⊆A__． 导学4　全集、补集 　已知集合A＝{1，2，3，4，5}；B＝{1，2}，C＝{3，4，5}．则相对于集合A，集合B和C有什么特点？ 提示：相对于集合A，C是由A中所有不属于集合B的元素组成的集合． ◎结论形成 1．全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的__所有元素__，那么就称这个集合为全集，全集通常用符号U表示． 2．补集的定义 设A⊆S，由S中__不属于A的所有元素__组成的集合称为S的子集A的补集，记作__∁SA__． 3．符号表示：∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}． 4．图形表示 5．性质 ∁U(∁UA)＝__A__，∁UU＝__∅__，∁U∅＝__U__． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合{0}是空集．(　　) (2)空集是任何集合的真子集．(　　) (3)若集合A是集合B的真子集，则集合B中必定存在元素不在集合A中．(　　) (4)一个集合的补集中一定含有元素．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　因为集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}， 所以当A⊆C⊆B时， 集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，故满足条件的集合C有4个． 答案　D 3．集合{0，1，2}共有____________个子集． 答案　8 4．若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A⊆B，则实数a的取值范围是____________． 答案　{a|a≥6} 题型一　集合关系的判断 　已知集合M＝{x|－<x<，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为(　　) A．P＝{－3，0，1} B．Q＝{－1，0，1，2} C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z} D．S＝{x||x|≤，x∈Z} [解析]　集合M＝{－2，－1，0，1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{－1，0，1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{－1，0，1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选D. [答案]　D [规律方法]　判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． [触类旁通]　 1．(2024·泰州高一期末)已知集合A＝，B＝，则A与B之间的关系是(　　) A．A＝B　　　　　　 B．B⊆A C．A∈B D．A⊆B 解析　A＝{x|y＝，x∈N}＝，B＝{0，1，2，3，4，5}， 故A＝B错误；B⊆A错误，A∈B错误；A⊆B正确．故选D. 答案　D 题型二　子集、真子集问题 　写出集合{a，b，c，d}的所有子集． [解析]　∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．共16个． [规律方法]　与子集、真子集个数有关的四个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． [触类旁通]　 2．(1)集合M＝{x∈N|－2<x≤3}的真子集个数为(　　) A．7 B．8 C．15 D．16 (2)已知非空集合P满足：①P⊆{1，2，3，4，5}；②若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为____________． 解析　(1)集合M中共有0，1，2，3四个元素，真子集的个数是24－1＝15. (2)由a∈P，6－a∈P，且P⊆{1，2，3，4，5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1，5同时选，2，4同时选，3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，5，2，4}，{1，2，3，4，5}共7个． 答案　(1)C　(2)7 题型三　补集的求法 　(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁UA＝____________． (2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求∁UA，∁UB. (1)[解析]　∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴∁UA＝{x|0<x≤2}． [答案]　{x|0<x≤2} (2)[解析]　根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{4，5，6，7，8}，∁UB＝{1，2，7，8}． [规律方法]　求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图(有限集)、数轴(数集)、坐标系(点集)来求解． [触类旁通]　 3．设全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a＋3}, 且B⊆∁RA，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D．{a|a≥3} 解析　因为A＝{x|x<－1}，所以∁RA＝{x|x≥－1}，又因为B⊆∁RA， (1)当B＝∅时，即2a≥a＋3时，a≥3，符合B⊆∁RA； (2)当B≠∅时，即2a<a＋3时，a<3， 令2a≥－1，所以－≤a<3. 综上：a≥－. 答案　B 题型四　由集合间关系求参数 　已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，B⊆A，求a的取值范围． [解析]　A＝{－2，4}，∵B⊆A，∴B＝{－2，4}或{－2}或{4}或∅. (1)若B＝{－2，4}，则，∴a＝－2. (2)若B＝∅，则a2－4(a2－12)<0， ∴a>4或a<－4. (3)若B＝{－2}或{4}， 由Δ＝a2－4(a2－12)＝0得a＝4或a＝－4， 检验得当a＝4时，B＝{－2}，∴a＝4符合题意． 综上可得，所求实数a的集合为{a|a<－4或a＝－2或a≥4}． [素养聚焦]　通过对集合是否为空集的讨论，培养学生的逻辑推理等核心素养． [规律方法]　利用集合的关系求参数问题 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． [触类旁通]　 4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，求a的取值范围； (2)若B⊆A，求a的取值范围． 解析　(1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2.(2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2. 因为a≥1，所以1≤a≤2. [缜密思维提能区]　易错案例 空集性质在集合关系中的应用 【典例】　设集合A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若BA，求实数a的值组成的集合． [解析]　A＝{－3，5}，由于BA， (1)当B＝∅时，a＝0； (2)当B≠∅时， a≠0，且B＝， 令＝－3或＝5， 则a＝－或a＝. 综上，实数a的值组成的集合为. 知识落实 技法强化 (1)子集、真子集的概念及性质． (2)全集、补集的概念及性质． (3)利用集合间关系求参数． (1)常用方法：数形结合、分类讨论等方法． (2)易错点：忽略空集的讨论，遗漏端点的取值． 学科网（北京）股份有限公司 $$