1.1 第2课时 集合的表示（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

第2课时　集合的表示 学业标准 素养目标 1．会用列举法表示有限集． 2．掌握描述法的格式及其适用情形． 3．学会在集合不同的表示法中作出选择和转换． 4．理解集合相等，了解空集集合的分类． 1．通过集合表示法的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．根据集合相等以及集合表示的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． [教材梳理] 导学1　集合的表示法 　“高铁、支付宝、共享单车和网购”被誉为中国新四大发明，你能用集合表示吗？你能用列举的方式表示不等式x－2≥3的解集吗？ 提示：能，可以一一列举出，表示为{高铁，支付宝，共享单车，网购}；不能，只能用描述法表示为{x|x≥5}． ◎结论形成 1．列举法 将集合的元素__一一列举__出来，并置于花括号“{　}”内，这样表示集合的方法称为列举法． 2．描述法 将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成__{x|p(x)}__的形式，这样表示集合的方法称为描述法． 3．Venn图 为了直观地表示集合，我们常用一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图，例如： 导学2　空集与集合相等的概念 　方程x2＋1＝0的根构成集合A，方程x2－2x＝0的根构成集合B，由元素0，2构成集合C，集合A中的元素有多少个？集合B与集合C中的元素有什么关系？ 提示：集合A中有0个元素，集合B与C中元素完全相同． ◎结论形成 1．空集 一般地，把不含__任何元素__的集合称为空集，记作∅. 2．集合相等 给定两个集合A和B，如果两个集合所含的元素__完全相同__(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A中的元素)，就称这两个集合相等，记作A＝B. 导学3　集合的分类 按照集合元素的多少，集合可以分为有限集和无限集． (1)含有__有限个__元素的集合叫做有限集； (2)含有__无限个__元素的集合叫做无限集． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个集合可以表示为{s，k，t，k}．(　　) (2)集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．(　　) (3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(　　) (4)集合{x|x＞3，且x∈N}与集合{x∈N|x＞3}表示同一个集合．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．所有大于等于2且小于6的实数可用描述法表示为____________． 答案　{x|2≤x<6} 3．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A，B相等，则实数x的值为____________，y的值为____________． 解析　因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0. ①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去； ②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，故x＝1. 综上可知，x＝1，y＝0. 答案　1　0 4．用描述法表示下列集合． (1)比1大又比10小的实数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合； (3)被3除余数等于1的正整数组成的集合． 解析　(1){x∈R|1<x<10}． (2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}． (3){x|x＝3n＋1，n∈N}． 题型一　用列举法表示集合 　用列举法表示下列集合． (1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (2)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}． [解析]　 (1)满足条件的数有3，5，7， 所以所求集合为{3，5，7}． (2)因为x∈N，y∈N，x＋y＝3， 所以或或或 故A＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)}． [规律方法]　用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来． [提醒]　二元方程组的解集，函数的图象交点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2，3)，(5，－1)}． [触类旁通]　 1．(2024·徐州模拟)集合A＝{a2＋a－2，1－a，2}，若4∈A，则a＝____________． 解析　因为4∈A，所以，若a2＋a－2＝4，则可得a＝－3或a＝2， 当a＝－3时，1－a＝4，不满足互异性，舍去； 当a＝2时，1－a＝－1，满足题意； 若1－a＝4，则a＝－3，此时a2＋a－2＝4，不满足互异性，舍去； 综上a＝2. 答案　2 题型二　用描述法表示集合 　用描述法表示下列集合． (1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合； (2)不等式2x－3<5的解组成的集合； (3)如图所示阴影部分的点(含边界)组成的集合； (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合． [解析]　(1)函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x，x∈R}． (2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}． (3)题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为 (4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}． [规律方法]　描述法表示集合的步骤 先明确元素是数还是点，如果是数，就用一个小写字母如x作为代表元素，如果是点，就用(x，y)作为代表元素，然后在竖线的右侧写出集合中元素所具有的公共特征． [触类旁通]　 2．选择适当的方法表示下列集合． (1)大于1且小于8的有理数； (2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； (3)方程(x2－9)x＝0的实数解组成的集合； (4)100以内被3除余1的正整数． 解析　(1)大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为{x∈Q|1<x<8}． (2)集合的元素是点，点有无数个，用描述法表示为{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}． (3)方程(x2－9)x＝0的实数解有三个－3，0，3，集合用列举法表示为{－3，0，3}，也可以用描述法表示为{x|(x2－9)x＝0}． (4)100以内被3除余1的正整数用列举法表示为{1，4，7，10，13，…，100}，用描述法表示为{x|x＝3k＋1，k∈N，x≤100}． 题型三　集合相等 　给出以下结论： ①{2，4，6，8}与{4，8，2，6}是相等集合； ②{y|y＝x2，x∈R}与{(x，y)|y＝x2，x∈R}是相等集合； ③{0，1}与{(0，1)}是不同集合． 其中正确的结论个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　①正确；②中的两个集合不是相等集合，元素不一样；③中的两个集合也不是相等集合，也是元素不一样． [答案]　C [规律方法]　集合用列举法表示时，主要看元素是否相等，但是与顺序无关；集合如果用描述法表示，首先看集合表示点集还是数集，如果是点集，就看对应函数的图象是否相同，如果是数集，那么与代表元素的选取没有关系，只跟元素的取值范围有关． [触类旁通]　 3．(1)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝____________． (2)(2023·扬州高一期末)若集合A＝x是2n与3n的公倍数，，B＝，且，判断A与B是否相等． (1)解析　(1)由题意可知a≠0， 则a＋b＝0，＝－1， ∴a＝－1，b＝1，∴b－a＝2. 答案　2 (2)解析　对于集合A，当n∈N*时，x是2n与3n的公倍数，因此x是6n的正整数倍，即A＝x是2n与3n的公倍数，＝，k∈N*且，∴集合A中的元素有6，12，18，24，30，… 对于集合B，当n∈N＋时，x＝6n是6的正整数倍，∴集合B中元素有6，12，18，24，30，…， ∴A＝B. [缜密思维提能区]　易错案例 利用集合相等求参数的值 【典例】　已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2 024＋b2 024＝(　　) A．1　　 B．0　　　 C．－1　　 D．±1 [解析]　由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0， 于是a2＝1，即a＝1或a＝－1， 又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去， 因此a＝－1， 故a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋02 024＝1. [答案]　C 知识落实 技法强化 (1)集合的两种表示法． (2)集合相等． (1)常用方法：分类讨论法． (2)易错点：表示法的混用，忽略对参数的讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $$