1.1 第1课时 集合的概念（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

　集合的概念与表示 第1课时　集合的概念 学业标准 素养目标 1．通过实例了解集合的有关概念． 2．理解集合中元素的特征． 3．体会元素与集合的属于关系． 4．记住常用数集及其表示符号，并会应用． 1．通过集合概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过元素与集合的关系的学习，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． [教材梳理] 导学1　元素与集合的相关概念 　高一(2)班的全体男同学能构成一个集合吗？高一(2)班的全体高个子同学能构成一个集合吗？ 提示：构成集合的元素应是确定的，不能含混不清，全体男同学是确定的，能构成一个集合；而“高个子”标准不明确，故全体高个子同学不能构成一个集合． 　构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？ 提示：2个．集合中的元素不能重复． ◎结论形成 1．集合 一定范围内__某些确定的、不同的对象的全体__组成一个集合．通常用大写英文字母A，B，C，…表示． 2．元素 集合中的每一个__对象__称为这个集合的元素．简称__元__．通常用小写英文字母__a，b，c，…__表示． 3．集合中元素的特征 (1)__确定性__； (2)__互异性__； (3)__无序性__． 导学2　元素与集合的关系 　某中学2023级高一年级20个班构成一个集合．高一(6)班是这个集合中的元素吗？高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？ 提示：高一(6)班是这个集合的元素，高二(3)班不是这个集合的元素． ◎结论形成 1．属于 如果a是集合A的元素，那么就记作a∈A，读作“a属于A”． 2．不属于 如果a不是集合A的元素，那么就记作a∉A或aA，读作“a不属于A”． 导学3　常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不超过20的非负数不能构成集合．(　　) (2)方程x2－9＝0在实数范围内的解集有二个元素．(　　) (3)∈Q且0∉N.(　　) (4)的近似值的全体集合中含有3.14.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．给出下列关系：①∈R；②∉Q；③|－3|∉N*；④|－|∈N.其中正确的个数为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　由元素与集合的关系知①②正确，③④错误． 答案　B 3．已知集合M含有两个元素1，a，则实数a满足的条件是(　　) A．a∈R B．a∈Q C．a＝1 D．a≠1 解析　由元素的互异性可知，a≠1. 答案　D 4．对于由元素2，4，6构成的集合A，若a∈A，则6－a∈A，其中a的值是____________． 解析　当a＝2时，6－a＝4∈A；当a＝4时，6－a＝2∈A；当a＝6时，6－a＝0∉A.因此a的值为2或4. 答案　2或4 题型一　集合的含义 　(多选)下列说法正确的是(　　) A．不超过20的所有自然数构成的集合有21个元素 B．方程x2－9＝0的所有实数解能构成一个含有两个元素的集合 C．由实数－1，0和方程x2＝1的解能构成四个元素组成的集合 D．由2，3，4，5构成的集合和3，2，5，4构成的集合是相等的集合 [解析]　对于A，不超过20的所有自然数有0，1，…，20，所以它们能够构成一个含有21个元素的集合；对于B，方程x2－9＝0的实数解有－3和3，它们能够构成一个集合，且含有两个元素；对于C，由于x2＝1的解有－1和1，它们同－1，0构成集合时－1只能算作一个元素，所以该选项不正确；对于D，由元素的无序性，可以知道这两个集合是相等的，所以D正确． [答案]　ABD [规律方法]　判断元素能否构成集合，关键是看是否有一个明确的标准来衡量这些对象，如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则不能构成集合． [触类旁通]　 1．下列各对象可以组成集合的是(　　) A．与1非常接近的全体实数 B．某校全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．与无理数π相差很小的全体实数 解析　对于A选项中“非常接近”不具体，故不构成集合，同理C选项中的“视力比较好”，D选项中的“相差很小”，均不明确，故C，D均不构成集合；B能构成集合，因为某学生是否是该校的高一学生是确定的． 答案　B 题型二　元素与集合的关系 　下列所给关系正确的个数是(　　) ①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*. A．1　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 [解析]　π是实数，故①正确；是无理数，故②正确；③0是自然数，但0∉N*，③不正确；④|－4|＝4∈N*，故④不正确． [答案]　B [触类旁通]　 2．(1)用符号“∈”或“∉”填空． －____________R；－3____________Q；－1__________N；π____________Z. 答案　∈　∈　∉　∉ (2)已知集合A满足∀x∈A，∈A，若3∈A，则集合A所有元素之和为(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C． D． 解析　集合A满足∀x∈A，∈A，3∈A，故＝－2∈A，＝－∈A， ＝∈A，＝3∈A， 则集合A中有4个元素－2，－，，3. 其和为－2－＋＋3＝.故选C. 答案　C 题型三　元素三个特性的应用一题多变 　已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为____________． [解析]　若1∈A，则a＝1或a2＝1. 当a＝1时，集合A中有重复元素，舍去． 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1， 符合元素的互异性，所以a＝－1.综合得a＝－1. [答案]　－1 [母题变式] 1．(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？ 解析　因为集合A中含有两个元素a和a2， 所以a≠a2， 即a≠0且a≠1. 2．(变条件)若将本例中的“1∈A”改为“2∈A”，则a为何值？ 解析　因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝±. 3．(变条件)若由a和a2构成的集合只有一个元素，则a为何值？ 解析　因为由a和a2构成的集合只有一个元素， 所以a＝a2，即a＝0或a＝1. [触类旁通] 3．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值． 解析　∵－3∈A， ∴－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0， 此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1， 此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，a＝0或a＝－1. [素养聚焦]　利用元素互异性问题引起的计算、讨论，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． [易错警示]　利用集合元素互异性求参数问题 (1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． (2)含有参数的集合问题，涉及的内容多为元素与集合的关系、集合相等，解题时需要根据集合中元素的互异性对参数的取值进行分类讨论． [缜密思维提能区]　易错案例 利用分类讨论求集合中元素的个数 【典例】　已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则M中元素的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　本题需要对x，y，z的正负进行讨论． (1)当x，y，z均为正数时，每一项均为1，代数式的值为4； (2)当x，y，z两正一负时，如x，y>0，z<0，则＝1，＝1，＝－1，＝－1，代数式的值为0； (3)当x，y，z一正两负时， 如x>0，y<0，z<0， 则＝1；＝－1， ＝－1，＝1， 代数式的值为0； (4)当x，y，z均为负数时，则每一项均为－1，代数式的值为－4. ∴M中元素是4，0，－4，个数是3个． [答案]　C 知识落实 技法强化 (1)元素与集合的概念． (2)集合中元素的特征． (3)元素与集合的关系． (4)常用数集的记法． (1)常用方法：直接法、推理法． (2)注意：自然数集中含有0. 学科网（北京）股份有限公司 $$