第8章 函数应用 章末达标检测8（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

(考试用时：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．方程lg x＋x－2＝0一定有解的区间是(　　) A．(0，1)　　　　　　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析　令f(x)＝lg x＋x－2，因为f(1)＝－1<0，f(2)＝lg 2>0，所以f(x)在(1，2)内必有零点，即方程lg x＋x－2＝0有解的区间是(1，2). 答案　B 2．若函数f(x)＝x2lg a－2x＋1有两个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．0<a<10 B．1<a<10 C．0<a<1 D．0<a<1或1<a<10 解析　lg a≠0且Δ＝4－4lg a>0，解得0<a<1或1<a<10，故选D. 答案　D 3．已知函数f(x)＝ln (x＋1)＋2x－m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如表： x 0 0.5 0.531 25 0.562 5 0.625 0.75 1 F(x) －1.307 －0.084 －0.009 －0.066 0.215 0.512 1.099 由二分法求得方程ln (x＋1)＋2x－m＝0的近似解是(精确到0.1)(　　) A．0.625 B．－0.009 C．0.6 D．0.066 解析　设近似解为x0， 因为f(0.562 5)＜0，f(0.625)＞0， 所以x0∈(0.562 5，0.625). 因为0.562 5与0.625精确到0.1的近似值都为0.6， 所以方程的近似解为0.6. 答案　C 4．已知函数f(x)＝－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)的值为(　　) A．恒为正值 B．等于0 C．恒为负值 D．不大于0 解析　∵函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时，均有f(x)>0，而0<x1<x0，∴f(x1)>0. 答案　A 5．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是(　　) A．(－1，1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1，2] C．(－∞，－2)∪(1，2] D．[－2，－1] 解析　由题意知：f(x)＝ 画出函数y＝f(x)的图象，由图象知当c∈(－2，－1]∪(1，2]时，y＝c与y＝f(x)有两个不同的交点， 即y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，故选B. 答案　B 6．在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　) A．[1，4] B．[－2，1] C．[－2，2.5] D．[－0.5，1] 解析　第二次取区间的中点x1＝＝1，故零点所在区间为[－2，1]或[1，4]；第三次取中点x1＝＝－0.5，或x2＝＝2.5.所以零点所在区间为[－2，－0.5]或[－0.5，1]或[1，2.5]或[2.5，4]，故选D. 答案　D 7．已知函数f(x)＝ (a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(　　) A． B． C．∪ D．∪ 解析　由f(x)在R上递减可知 ⇒≤a≤，由方程|f(x)|＝2－x恰好有两个不相等的实数解，可知3a≤2，－1≤2，≤a≤，又∵a＝时，抛物线y＝x2＋(4a－3)x＋3a与直线y＝2－x相切，也符合题意，∴实数a的取值范围是∪，故选C. 答案　C 8．据统计一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数).已知某工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(　　) A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16 解析　由题意可知4<A，则 解得故选D. 答案　D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．有以下叙述，其中正确的是(　　) A．第4个月时，剩留量就会低于 B．每月减少的有害物质量都相等 C．若剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 D．第4个月时，剩留量就会高于 解析　根据题意，函数的图象经过点，故函数为y＝，令t＝4时，y＝<，故A正确；D错误．当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，每月减少有害物质质量不相等，故B错误；分别令y＝，，，解得t1＝log，t2＝log，t3＝log，t1＋t2＝t3，故C正确． 答案　AC 10．设函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2＋bf(x)＋c有三个零点x1，x2，x3，则下列说法正确的是(　　) A．b的值为－2 B．c的值为1 C．a的值无法确定 D．x1x2＋x2x3＋x1x3＝10 解析　作出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可得关于x的方程f(x)＝t的根有两个或三个(t＝1时有三个，t≠1时有两个)，所以关于t的方程t2＋bt＋c＝0只能有一个根t＝1(若有两个根，则关于x的方程[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0有四个或五个根)，由根与系数的关系得－b＝1＋1，c＝1×1＝1，得b＝－2，所以A、B正确；不妨设x1<x2<x3，令f(x)＝1，可得x1，x2，x3得值分别为1，2，3，则x1x2＋x2x3＋x1x3＝1×2＋2×3＋1×3＝11，由1oga|1－2|＋1＝1，得a0＝1(a>1)，故a的值无法确定，所以C正确，D错误，故选A，B，C. 答案　ABC 11．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x).例如，f(2)＝3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g(2)＝3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元．下图给出的四个图象中，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中一定不正确的是(　　) 解析　开始时平均价格与即时价格一致，故A，D错；即时价格减少时平均价格不能增大，故B错． 答案　ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数f(x)＝其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________． 解析　由题意方程f(x)－b＝0有三个不同的根， 即直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点， 作出函数f(x)＝的图象， 如图所示．若存在实数b，使方程f(x)－b＝0有三个不同的根， 则m>－m2＋4m，即m2－3m>0， 又因为m>0，所以m>3， 即m的取值范围为(3，＋∞). 答案　(3，＋∞) 13．有浓度为90%的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为________．(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) 解析　操作次数为n时的浓度为， 由<10%，得n＋1>＝≈21.8， ∴n≥21. 答案　21 14．我们把形如y＝(a>0，b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg |x|的交点个数为n，则n＝________． 解析　由题意知，当a＝1，b＝1时， y＝＝. 在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg |x|的图象如图所示，易知它们有4个交点． 答案　4 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知月总收入满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量，设月利润为f(x)元． (1)写出月利润f(x)与月产量x之间的函数关系式； (2)当月产量为何值时，公司所获月利润最大？最大月利润为多少元？ 解析　(1)由题意知，每月的总成本为(20 000＋x)元， 从而f(x)＝ (2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，所以当x＝300时f(x)有最大值25 000；当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，所以f(x)<60 000－100×400＝20 000<25 000. 综上可知，当x＝300时，f(x)取最大值，最大值为25 000. 故每月生产300台仪器时，月利润最大，最大月利润为25 000元． 16．(15分)(2024·沛县湖西中学校考期末)某太空设施计划使用30年，为了降低能源损耗，需要在其外表涂装特殊材料制作的保护层．另因技术原因，该保护层的厚度不能超过10 mm，且其成本以厚度计为6万元/mm.已知此太空设施每年的能源消耗费用Q(单位：万元)与保护层厚度x(单位：mm)满足关系Q＝(p为常数)，若不涂装保护层，每年能源消耗费用为10万元．设f为保护层涂装成本与30年的能源消耗费用之和． (1)求p的值及f的表达式； (2)当涂装保护层多厚时，总费用f达到最小？并求出最小值． 解析　(1)当x＝0时，Q＝10，∴p＝40， ∴Q＝. ∴f＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10) . (2)f＝6x＋＝6＋－12，设t＝x＋2，t∈， ∴y＝6t＋－12≥2－12＝108，当且仅当6t＝，即t＝10时，y有最小值108. 即涂装保护层厚度为8 mm时，总费用f达到最小，最小值是108万元． 17．(15分)(2024·南京市第二十九中校考)设函数y＝f(x)，其中f(x)＝x2|x－a|. (1)若函数y＝f(x)是偶函数，求实数a的值； (2)若a∈(2，3)，记g(x)＝f(x)－10，求证：函数y＝g(x)在[2，4]上有零点． (1)解析　若函数y＝f(x)是偶函数，则f(1)＝f(－1)，即|1－a|＝|－1－a|， 所以1－a＝－1－a或1－a＝1＋a，所以a＝0， 此时f(x)＝x2|x|，f(－x)＝(－x)2|－x|＝x2|x|＝f(x)，满足f(x)为偶函数，所以a＝0. (2)证明　因为g(x)＝f(x)－10＝x2|x－a|－10， 所以g(2)＝4|2－a|－10＝4|a－2|－10， g(4)＝16|4－a|－10＝16|a－4|－10， 因为a∈(2，3)， 所以a－2∈(0，1)，a－4∈(－2，－1)， 所以g(2)＝4|a－2|－10∈(－10，－6)，g(4)＝16|a－4|－10∈(6，22)， 所以当a∈(2，3)时，g(2)g(4)<0恒成立，故函数y＝g(x)在[2，4]上有零点． 18．(17分)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时， 曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0，且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳． (1)试求p＝f(t)的函数关系式； (2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 解析　(1)当t∈(0，14]时，设p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，将点(14，81)代入得c＝－，∴当t∈(0，14]时，p＝f(t)＝－(t－12)2＋82； 当t∈(0，14]时，将点(14，81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝. 所以p＝f(t)＝ (2)当t∈(0，14]时，－(t－12)2＋82≥80， 解得12－2≤t≤12＋2， 所以t∈[12－2，14]； 当t∈(14，40]时，log(t－5)＋83≥80， 解得5<t≤32，所以t∈(14，32]， 综上t∈[12－2，32]时学生听课效果最佳， 此时Δt＝32－(12－2)＝20＋2>22， 所以，教师能够合理安排时间讲完题目． 19．(17分)(2024·苏州高一统考期末)某公司为了提升销售利润，公司规定奖励方案中的总奖金额y(单位：万元)是销售利润x(单位：万元)的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择： A．y＝kx＋b(k>0)； B．y＝k·1.5x＋b(k>0)； C．y＝klog2＋n(k>0). (1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； (2)根据你在(1)中选择的函数模型，解决如下问题： ①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ ②总奖金能否超过销售利润的五分之一？ 解析　(1)模型A.y＝kx＋b(k>0)，因为k>0，所以匀速增长， 模型B.y＝k·1.5x＋b(k>0)，因为k>0，先慢后快增长， 模型C.y＝klog2＋n(k>0)，因为k>0，先快后慢增长，所以模型C最符合题意． (2)因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元， 所以klog22＋n＝0，即k＋n＝0， 又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元，所以klog24＋n＝3，即2k＋n＝3， 由解得 所以y＝3log2－3， ①如果总奖金不少于9万元， 即y＝3log2－3≥9， 即log2≥4，即＋2≥16，解得x≥210， 所以至少应完成销售利润210万元． ②设3log2－3≥，即log2≥＋1，因为y＝log2与y＝＋1有交点，且y＝log2增长速度比y＝＋1慢， 所以当x>0时，y＝log2恒在y＝＋1的下方， 所以log2≥＋1无解， 所以总奖金不会超过销售利润的五分之一． 学科网（北京）股份有限公司 $$