第7章 三角函数 章末达标检测7（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

(考试用时：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．－1120°角所在的象限是(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　－1120°＝－360°×4＋320°，－1120°角所在象限与320°角所在象限相同．又320°角为第四象限角，故选D. 答案　D 2．已知sin ＝，则cos 等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　cos ＝sin ＝sin ＝－sin ＝－. 答案　D 3．已知cos ＝，且|φ|<，则tan φ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　cos ＝sin φ＝， 又|φ|<，则cos φ＝，所以tan φ＝. 答案　D 4．函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如下图所示，则ω，φ的值分别是(　　) A.2，－ B．4， C．4，－ D．2，－ 解析　由题图可知＝－， ∴T＝π，ω＝＝2， 又2×＋φ＝，所以φ＝－. 答案　A 5．已知函数f(x)＝2sin x，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为(　　) A． B． C．π D．2π 解析　∵f(x)＝2sin x的周期为2π， ∴|x1－x2|的最小值为π. 答案　C 6．如果函数y＝3cos (2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意得3cos ＝3cos ＝3cos ＝0， ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z， ∴φ＝kπ－，k∈Z.取k＝0， 得|φ|的最小值为. 答案　A 7．(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析　通解　对于A，f(－x)＝＝≠f(x)，故f(x)不是偶函数；对于B，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数．故选B. 优解一(特殊值法)　对于A，f(1)＝＝，f(－1)＝＝，f(1)≠f(－1)，故f(x)不是偶函数；对于B，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D，f(π)＝＝，f(－π)＝＝，f(π)≠f(－π)，故f(x)不是偶函数，故选B. 优解二(性质法)　易知y＝x2＋1与y＝e|x|均为偶函数，且恒为正． 对于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f(x)也是非奇非偶函数；对于B，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f(x)是偶函数；对于C，易知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；对于D，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f(x)是奇函数，故选B. 答案　B 8．设函数f(x)＝cos 在[－π，π]的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为(　　) A． B． C． D． 解析　由图象知π＜T＜2π， 即π＜＜2π，所以1＜|ω|＜2. 因为图象过点，所以cos ＝0， 所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z， 所以ω＝－k－，k∈Z. 因为1＜|ω|＜2，故k＝－1，得ω＝. 故f(x)的最小正周期为T＝＝.故选C. 答案　C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的可能的值为(　　) A．－ B．0 C． D． 解析　平移后的图象对应的函数为y＝sin ＝sin ，此函数为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z. ∴φ的可能值为，. 答案　CD 10．已知函数f(x)＝－2a sin ＋2a＋b(a<0)的定义域是，值域为[－5，1]，则a，b的值分别为(　　) A．a＝2 B．b＝2 C．a＝－2 D．b＝1 解析　f(x)＝－2a sin ＋2a＋b. 又∵x∈，∴2x＋∈ ∴－≤sin ≤1. ∵－5≤f(x)≤1，a<0， ∴ ∴ 答案　CD 11．(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析　(直接法)　对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误．故选BC. 答案　BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则y的表达式为________． 解析　由图象可知A＝2， ＝－＝ 所以T＝π，所以ω＝2， 所以y＝2sin (2x＋φ). 又因为图象过点， 即sin＝1， 所以解得φ＝2kπ＋，k∈Z， 因为|φ|<， 所以当k＝0时，φ＝， y的表达式为y＝2sin . 答案　y＝2sin 13．函数y＝的定义域为________． 解析　由2cos －1≥0，得 cos ≥，进而－＋2kπ≤πx－≤＋2kπ(k∈Z)，解得2k≤x≤＋2k(k∈Z). 答案　(k∈Z) 14．化简：sin2＋sin2＋2sin2α的结果是________． 解析　原式＝＋cos2α＋2sin2α ＝cos2α＋cos2α＋2sin2α ＝2. 答案　2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数f(x)＝2sin . (1)求f(x)的最小正周期； (2)讨论f(x)在区间上的单调性． 解析　(1)f(x)＝2sin . 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 设A＝， B＝， 易知A∩B＝， 所以当x∈时， f(x)在区间上单调递增， 在区间上单调递减． 16．(15分)(2024·扬州高一期末)已知函数f(x)＝2sin 的图象关于点 对称． (1)当x∈时，求函数f的值域； (2)若将y＝f图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍(其中ω>0)，所得图象的解析式为y＝g.若函数g在上有两个零点，求ω的取值范围． 解析　(1)因为函数f＝2sin (2x＋φ)的图象关于点对称， 则2×＋φ＝kπ，可得φ＝kπ－，∵<，故φ＝－， 所以f＝2sin ， 当x∈时，－≤2x－≤，则－≤sin ≤1，则f∈. 因此，当x∈时，函数f的值域为. (2)由题意可得，g＝f＝2sin ， 当x∈时，因为ω>0，则－≤ωx－≤－， 因为函数g在上有两个零点，则π≤－<2π，解得≤ω<. 因此，ω的取值范围是. 17．(15分)已知函数f＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图． (1)求函数f的解析式； (2)将函数f的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数g的图象，当x∈时，求g的值域． 解析　(1)由图象可知，f的最大值为2，最小值为－2，A>0，故A＝2， 周期T＝＝π， ∴＝π，ω>0，则ω＝2， 从而f(x)＝2sin (2x＋φ)，代入点，得sin ＝1， 则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，则φ＝－. ∴f(x)＝2sin . (2)将函数f的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得y＝2sin ；再将所得图象向左平移个单位，得到函数g的图象， 故可得g(x)＝2sin . ∵x∈∴x－∈， sin ∈， 2sin ∈， ∴g(x)的值域为[－，2]. 18．(17分)(2024·盐城高一校考期末)已知函数f(x)＝a sin ＋b(ω>0)，f(x)图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为. (1)若a＝2，b＝0.①求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标； ②求函数f(x)在上的单调增区间． (2)若f(x)在R上的最大值为6，最小值为0，求实数a，b的值． 解析　(1)若a＝2，b＝0，函数f(x)＝a sin ＋b＝2sin ， ∵f(x)图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为×＝， ∴ω＝2，函数f(x)＝2sin . ①令2x＋＝kπ＋，k∈Z，求得x＝＋，k∈Z， 可得函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z， 令2x＋＝kπ，k∈Z，求得x＝－，k∈Z， 可得函数f(x)图象的对称中心的坐标为，k∈Z； ②令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 可得函数的增区间为，k∈Z， 结合x∈，可得增区间为，，； (2)f(x)＝a sin ＋b，x∈R时，－1≤sin ≤1， 若f(x)在R上的最大值为6，最小值为0，所以a≠0， 当a>0时，－a＋b≤f(x)≤a＋b，此时解得a＝3，b＝3； 当a<0时，a＋b≤f(x)≤－a＋b，此时解得a＝－3，b＝3， 综上，a＝3，b＝3或a＝－3，b＝3. 19．(17分)已知函数y＝5cos (其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值． 解析　由5cos ＝， 得cos ＝. ∵函数y＝cos x在每个周期内出现函数值有两次，而区间[a，a＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度． 即2×≤3，且4×≥3. ∴≤k≤.又k∈N，故k＝2，3. 学科网（北京）股份有限公司 $$