7.4 三角函数应用（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选)已知简谐运动f(x)＝2sin 的图象经过点(0，1)，该简谐运动的最小正周期和初相、频率，下列说法正确的是(　　) A．周期T＝6，初相φ＝ B．频率f＝6，初相φ＝ C．周期T＝6π，φ＝ D．频率f＝ ，初相φ＝ 解析　由题意知f(0)＝2sin φ＝1，又|φ|<， 所以φ＝，T＝＝6.f＝＝. 答案　AD 2．(多选)如图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　) A.该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零 解析　由图象及简谐运动的有关知识知T＝0.8 s，A＝5 cm，当t＝0.1 s及t＝0.5 s时，v＝0，故排除选项A，C. 答案　BD 3.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　) 解析　设所对的圆心角为α，则α＝l， 弦AP的长d＝2·|OA|·sin ， 即有d＝f(l)＝2sin . 答案　C 4．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为__________________． t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0 解析　设y＝A sin (ωx＋φ)，则从表中可以得到A＝4，T＝0.8，ω＝＝，又由4sin φ＝－4.0， 可得sin φ＝－1，即φ＝－， 故y＝4sin ， 即y＝－4cos t. 答案　y＝－4cos t 5．已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin ，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动____________次． 解析　据I＝5sin 知ω＝100π rad/s， 该电流的周期为T＝＝＝0.02(s)， 则这种交流电电流在0.5 s内往复运行次数为 n＝2·＝2×＝50(次). 答案　50 6．如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b. (1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式． 解析　(1)最大用电量为50万kW·h， 最小用电量为30万kW·h. (2)观察图象可知从8～14时的图象是 y＝A sin (ωx＋φ)＋b的半个周期的图象， ∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40. ∵×＝14－8， ∴ω＝.∴y＝10sin ＋40. 将x＝8，y＝30代入上式， 又∵0<φ<，∴解得φ＝. ∴所求解析式为y＝10sin ＋40，x∈[8，14]. [关键能力·综合提升] 7．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　) A．[0，1]　　　　　　 B．[1，7] C．[7，12] D．[0，1]和[7，12] 解析　设动点A与x轴正方向夹角为α，则t＝0时，α＝，每秒钟旋转，在t∈[0，1]上，α∈，在[7，12]上α∈，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的，故选D. 答案　D 8．如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝A sin (ωx＋φ)＋2，则有(　　) A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5 解析　由题意可知最大值为5， 所以5＝A×1＋2⇒A＝3. T＝15 s，则ω＝.故选A. 答案　A 9．设偶函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，|KL|＝1，则f＝______________，f(1)＝____________． 解析　取K，L中点N，则MN＝， 因此A＝.由T＝2得ω＝π. ∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝， ∴f(x)＝cos πx，∴f＝cos ＝. f(1)＝－. 答案　　－ 10．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同； ②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？ 解析　(1)设该函数为f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500. 根据上述分析可得，＝12， 故ω＝，且 解得 根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小， 当x＝8时，f(x)最大， 故sin ＝－1，且sin ＝1. 又因为0<|φ|<π，故φ＝－. 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f(x)＝200sin ＋300. (2)由条件可知，200sin ＋300≥400，化简得sin ≥⇒2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z. 因为x∈N*，且1≤x≤12，所以x＝6，7，8，9，10. 即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物． [核心价值·探索创新] 11．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝A sin (ωt＋φ)＋h. (1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系． (2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m) (3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3 m? 解析　(1)依题意知T＝＝12， 故ω＝，h＝＝12.2， A＝16－12.2＝3.8， 所以d＝3.8sin ＋12.2. 又因为t＝4时，d＝16，所以sin ＝1， 所以φ＝－，所以d＝3.8sin ＋12.2. (2)t＝17时，d＝3.8sin ＋12.2 ＝3.8sin ＋12.2≈15.5(m). (3)令3.8sin ＋12.2＜10.3， 有sin ＜－， 因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)， 所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z， 所以12k＋8＜t＜12k＋12. 令k＝0，得t∈(8，12)； 令k＝1，得t∈(20，24). 学科网（北京）股份有限公司 $$