7.3.3 第2课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．将函数f(x)＝sin 的图象向左平移φ个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ的值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析　将函数f(x)＝sin 的图象向左平移φ个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝sin ＝sin ，由题知，该函数是偶函数，则2φ＋＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，又0＜φ≤，所以φ＝. 答案　A 2．(多选)关于函数f(x)＝2sin ，以下四个说法中正确的是(　　) A．其最小正周期为 B．图象关于点对称 C．直线x＝－是其一条对称轴 D．函数的最大值为2 解析　T＝＝；当x＝时，f(x)＝2＝2sin ＝0，所以图象关于点对称，x＝－时，f(x)＝2sin ＝2sin ＝2，所以直线x＝－是其一条对称轴． 答案　ABCD 3．(多选)设函数f(x)＝cos ，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)与x轴的一个交点为 D．f(x)在上单调递减 解析　函数f(x)＝cos 的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误． 答案　ABC 4．已知函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则ω＝____________，φ＝____________． 解析　由图象知函数y＝sin (ωx＋φ)的周期为 2＝，∴＝，∴ω＝. ∵当x＝时，y有最小值－1， ∴×＋φ＝2kπ－(k∈Z). ∵－π≤φ<π，∴φ＝. 答案　　 5．把函数y＝2sin 的图象向左平移m个单位，所得图象关于y轴对称，则m的最小正值是____________． 解析　把y＝2sin 的图象向左平移m个单位，则y＝2sin ，其图象关于y轴对称， ∴m＋＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ－，k∈Z. ∴取k＝1，m的最小正值为. 答案　 6．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)一个周期的图象如图所示． (1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值； (2)求函数f(x)的解析式及单调递增区间． 解析　(1)由题图知T＝－＝， ∴T＝π，最大值为1，最小值为－1. (2)由(1)知ω＝＝2.又2×＋φ＝2kπ， k∈Z，解得φ＝2kπ＋，k∈Z， 又－＜φ＜，φ＝， A＝1.则f(x)＝sin ，由图知f(x)的单调递增区间是(k∈Z). [关键能力·综合提升] 7．如果函数y＝sin 2x＋a cos 2x的图象关于直线x＝－对称，那么a等于(　　) A．　　　　　　　　 B．－ C．1 D．－1 解析　解法一　∵函数y＝sin 2x＋a cos 2x的图象关于x＝－对称， 设f(x)＝sin 2x＋a cos 2x，则f＝f(0)， ∴sin ＋a cos ＝sin 0＋a cos 0. ∴a＝－1. 解法二　由题意得f＝f， 令x＝，有f＝f(0)，即a＝－1. 答案　D 8．设函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－ C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝ 解析　由题意 其中k1，k2∈Z， 所以ω＝(k2－2k1)－，又T＝>2π， 所以0<ω<1，所以ω＝，φ＝2k1π＋π， 由|φ|<π得φ＝，故选A. 答案　A 9．设函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝____________． 解析　由图象可得A＝1，＝＝－＝，解得ω＝2， ∴f(x)＝sin (2x＋φ). 点相当于y＝sin x中的(0，0)， 令2×＋φ＝0，解得φ＝， 满足|φ|<，符合题意，∴f(x)＝sin . ∵sin ＝1， ∴图中点B的坐标为. 又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)， ∴x1＋x2＝×2＝， ∴f(x1＋x2)＝sin ＝. 答案　 10．已知曲线y＝A sin (ωx＋φ)上最高点为(2，)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6，0). (1)求函数的解析式； (2)求函数在x∈[－6，0]上的值域． 解析　(1)由题意可知A＝，＝6－2＝4， ∴T＝16.即＝16，∴ω＝， ∴y＝sin . 又图象过最高点(2，)，∴sin ＝1， 故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z， 由|φ|≤，得φ＝，∴y＝sin . (2)∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤， ∴－≤sin ≤1. 即函数在x∈[－6，0]上的值域为[－，1]. [核心价值·探索创新] 11．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求方程f(x)－lg x＝0的解的个数． 解析　(1)由题图，知A＝2， 由函数图象过点(0，1)，得f(0)＝1，即sin φ＝， 又|φ|<，所以φ＝. 易知点是五点作图法中的第五点， 所以ω＋＝2π，所以ω＝2. 因此所求函数的解析式为 f(x)＝2sin . (2)在同一平面直角坐标系中作函数y＝f(x)和函数y＝lg x的图象如图所示． 因为f(x)的最大值为2，令lg x＝2，得x＝100， 令＋kπ＜100(k∈Z)， 得k≤30(k∈Z). 而＋31π>100，且＋30π＋<100， 所以在区间(0，100]内有31个形如 (k∈Z，0≤k≤30)的区间． 在每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都有两个交点，故这两个函数的图象在上有2×31＝62(个)交点． 另外，两函数的图象在上还有一个交点， 所以方程f(x)－lg x＝0共有63个实数解． 学科网（北京）股份有限公司 $$