7.1 第1课时 任意角（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．把－1485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是(　　) A．315°－5×360°　　　 B．45°－4×360° C．－315°－4×360° D．－45°－10×180° 解析　可以估算－1485°介于－5×360°与－4×360°之间．∵0°≤α＜360°，∴k＝－5，则α＝315°. 答案　A 2．2024°角的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　因为2024°＝5×360°＋224°，224°是第三象限角，∴2024°为第三象限角． 答案　C 3．(多选)与45°角终边相同的角是(　　) A．－315° B．405° C．－225° D．－765° 解析　与45°角终边相同的角是k·360°＋45°，k∈Z.当k＝－1时，－360°＋45°＝－315°，k＝1时360°＋45°＝405°. 答案　AB 4．小明从家步行到学校需要15 min，则这段时间内钟表的分针走过的角度是____________. 解析　利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角．又周角为360°，所以×15＝90°，即分针走过的角度是－90°. 答案　－90° 5．与2 014°角的终边相同的最小正角是____________，绝对值最小的角是____________． 解析　与2 014°角的终边相同的角为2 014°＋k·360°(k∈Z).当k＝－5时，214°为最小正角；当k＝－6时，－136°为绝对值最小的角． 答案　224°　－36° 6．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α是多少度． 解析　由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°(k∈Z).又180°<α<360°，所以2<k<4，又k∈Z，所以k＝3，所以α＝270°. [关键能力·综合提升] 7．若α是第四象限角，则180°－α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析　可以给α赋一特殊值－60°， 则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角． 答案　C 8．(多选)终边在直线y＝x(x≥0)上的角的集合可表示为(　　) A．{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°＋420°，k∈Z} C．{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°＋420°，k∈Z} 解析　直线y＝x(x≥0)经过第一象限则终边在该直线上的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}＝{α|α＝k·360°＋420°，k∈Z}． 答案　BC 9．将时钟拨快10分钟，则分针转过的角度是____________． 解析　将分针拨快10分钟，则分针转过的角度为－60°. 答案　－60° 10．已知角β的终边在直线x－y＝0上． (1)写出角β的集合S； (2)写出集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素． 解析　(1)如图，直线x－y＝0过原点，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为： S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}， S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}， 所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}． (2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n·180°<720°，n∈Z.解得－<n<，n∈Z， 所以n＝－2，－1，0，1，2，3. 所以集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素为： 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. [核心价值·探索创新] 11.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限． 解析　根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上， 则45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z, ∴θ＝，k∈Z. 又180°<2θ＋45°<270°，即67.5°<θ<112.5°， ∴67.5°<<112.5°. 又k∈Z，∴k＝3或4， ∴所求的θ的值为或. ∵0°<<90°，90°<<180°， ∴θ在第一象限或第二象限． [必备知识·基础巩固] 1．把－1485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是(　　) A．315°－5×360°　　　 B．45°－4×360° C．－315°－4×360° D．－45°－10×180° 解析　可以估算－1485°介于－5×360°与－4×360°之间．∵0°≤α＜360°，∴k＝－5，则α＝315°. 答案　A 2．2020°角的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　因为2020°＝5×360°＋220°，220°是第三象限角，∴2020°为第三象限角． 答案　C 3．(多选)与45°角终边相同的角是(　　) A．－315° B．405° C．－225° D．－765° 解析　与45°角终边相同的角是k·360°＋45°，k∈Z.当k＝－1时，－360°＋45°＝－315°，k＝1时360°＋45°＝405°. 答案　AB 4．小明从家步行到学校需要15 min，则这段时间内钟表的分针走过的角度是____________. 解析　利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角．又周角为360°，所以×15＝90°，即分针走过的角度是－90°. 答案　－90° 5．与2 013°角的终边相同的最小正角是____________，绝对值最小的角是____________． 解析　与2 013°角的终边相同的角为2 013°＋k·360°(k∈Z).当k＝－5时，213°为最小正角；当k＝－6时，－147°为绝对值最小的角． 答案　213°　－147° 6．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α是多少度． 解析　由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°(k∈Z).又180°<α<360°，所以2<k<4，又k∈Z，所以k＝3，所以α＝270°. [关键能力·综合提升] 7．若α是第四象限角，则180°－α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析　可以给α赋一特殊值－60°， 则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角． 答案　C 8．(多选)终边在直线y＝x(x≥0)上的角的集合可表示为(　　) A．{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°＋420°，k∈Z} C．{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°＋420°，k∈Z} 解析　直线y＝x(x≥0)经过第一象限则终边在该直线上的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}＝{α|α＝k·360°＋420°，k∈Z}． 答案　BC 9．将时钟拨快10分钟，则分针转过的角度是____________． 解析　将分针拨快10分钟，则分针转过的角度为－60°. 答案　－60° 10．已知角β的终边在直线x－y＝0上． (1)写出角β的集合S； (2)写出集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素． 解析　(1)如图，直线x－y＝0过原点，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为： S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}， S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}， 所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}． (2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n·180°<720°，n∈Z.解得－<n<，n∈Z， 所以n＝－2，－1，0，1，2，3. 所以集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素为： 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. [核心价值·探索创新] 11.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限． 解析　根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上， 则45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z, ∴θ＝，k∈Z. 又180°<2θ＋45°<270°，即67.5°<θ<112.5°， ∴67.5°<<112.5°. 又k∈Z，∴k＝3或4， ∴所求的θ的值为或. ∵0°<<90°，90°<<180°， ∴θ在第一象限或第二象限． 学科网（北京）股份有限公司 $$