8.1 第1课时 函数的零点（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

8.1　二分法与求方程近似解 第1课时　函数的零点 第8章　函数应用 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 目 录 课前案 01 课堂案 02 课后案 03 CONTENTS 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 f(x)＝0的实数x 横坐标 零点 公共点 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 ＜ 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第8章　函数应用 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1．理解函数零点的定义，理解函数的零点与方程实数解的关系，会求零点． 2．掌握函数零点存在定理，会判断函数零点的个数． 1．通过求函数的零点，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 2．通过判断函数零点的个数，培养直观想象、逻辑推理等核心素养． [教材梳理] 导学1　函数的零点 　已知函数f(x)＝2x＋6. (1)求方程f(x)＝0的解； (2)求函数f(x)的图象与x轴的交点坐标； (3)方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关系？ 提示：(1)由2x＋6＝0，解得x＝－3. (2)交点坐标A(－3，0). (3)相等． ◎结论形成 1．函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使_____________________称为函数y＝f(x)的零点． (2)几何意义：函数y＝f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的__________． 2．函数零点与方程解的等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有________⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有__________． 导学2　函数零点存在定理 　观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象，发现这个二次函数在区间[－2，1]上有零点x＝－1，而f(－2)＞0，f(1)＜0，即f(－2)f(1)＜0.二次函数在区间[2，4]上有零点x＝3，而f(2)＜0，f(4)＞0，即f(2)f(4)＜0.由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ 提示：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点． 　反过来，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)f(b)＜0是否一定成立？ 提示：不一定成立，由二次函数f(x)＝x2－2x＋1的图象可知． ◎结论形成 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)______0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点是一个点．(　　) (2)任何函数都有零点．(　　) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(　　) (4)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上满足f(a)f(b)>0，则函数无零点．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数f(x)＝x3－3x－3有零点的区间是(　　) A．(－1，0)　　　　　　　 B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) 解析　因为f(2)＝8－6－3＝－1＜0，f(3)＝27－9－3＝15＞0，所以f(2)·f(3)＜0，所以D正确． 答案　D 3．已知函数f(x)＝－2x＋m的零点为4，则实数m的值为____________． 解析　f(x)＝－2x＋m的零点为4，所以－2×4＋m＝0，m＝8. 答案　8 4．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的取值范围是____________． 解析　由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1. 答案　(－∞，1) 题型一　求函数的零点 　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点． (1)f(x)＝－8x2＋7x＋1； (2)f(x)＝1＋log3x； (3)f(x)＝4x－16； (4)f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋3x－4，x≤0，,－1＋ln x，x＞0.)) [解析]　(1)令－8x2＋7x＋1＝0， 解得x＝－ eq \f(1,8) 或x＝1. 所以函数的零点为－ eq \f(1,8) ，1. (2)令1＋log3x＝0，即log3x＝－1， 解得x＝ eq \f(1,3) . 所以函数的零点为 eq \f(1,3) . (3)令4x－16＝0，即4x＝42，解得x＝2. 所以函数的零点为2. (4)当x≤0时，由f(x)＝0，即x2＋3x－4＝0，也就是(x－1)(x＋4)＝0，解得x＝1或x＝－4.因为x≤0，所以x＝－4. 当x＞0时，由f(x)＝0，即－1＋ln x＝0， 解得x＝e，满足x＞0. 所以函数的零点为－4和e. [规律方法]　函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：画出函数y＝f(x)的图象，则图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． [触类旁通]　 1．(1)(2024·德州月考)若函数f(x)＝ eq \f(x－1,x) ，则函数g(x)＝f(4x)－x的零点是__________． 解析　由题意可得g(x)＝f(4x)－x＝ eq \f(4x－1,4x) －x. 令g(x)＝0，即 eq \f(4x－1,4x) －x＝0，解得x＝ eq \f(1,2) ，则函数g(x)的零点是 eq \f(1,2) . 答案　 eq \f(1,2) (2)(2024·日照月考)若函数f(x)＝2x2－ax＋3的一个零点为 eq \f(3,2) ，则f(1)＝__________． 解析　因为函数f(x)＝2x2－ax＋3的一个零点为 eq \f(3,2) ， 所以x＝ eq \f(3,2) 是方程2x2－ax＋3＝0的一个根， 则2× eq \f(9,4) － eq \f(3,2) a＋3＝0，解得a＝5， ∴f(x)＝2x2－5x＋3，∴f(1)＝0. 答案　0 题型二　确定函数零点的个数 一题多变 　判断函数f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2的零点个数． [解析]　解法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3＞0，∴f(x)在区间(0，2)内必定存在实根． 又f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2在区间(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点． 解法二　令h(x)＝2－2x，g(x)＝lg (x＋1)， 在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示． 由图象知g(x)＝lg (x＋1)和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点． 解法二　令f(x)＝x＋ln x－3，因为f(3)＝ln 3＞0，f(2)＝－1＋ln 2＝ln eq \f(2,e) ＜0，所以f(3)·f(2)＜0，说明函数f(x)＝x－3＋ln x在区间(2，3)内有零点．又f(x)＝x－3＋ln x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以原方程只有一个解． 答案　1 [素养聚焦]　图象法是判断函数零点的个数最直观最有效的方法，通过图象法判断函数零点的个数，把直观想象核心素养体现在解题中． [规律方法]　判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根，转化为解方程，方程有几个不同的实数根，函数就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． [触类旁通] 2．(2024·苏州高一统考期末)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≥a，,log\s\do14(\f(1,2))（x＋1），－1<x<a，)) 若函数g(x)＝f(x)－2有两个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.－1<a≤log23　　 B．－1≤a<log23 C．－ eq \f(3,4) ≤a<log23 D．－ eq \f(3,4) <a≤log23 解析　函数g(x)＝f(x)－2有两个零点，即f(x)＝2有两个不相等的实数根， 即y＝f(x)与y＝2的图象有两个交点． 画出y＝2x－1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>－1)) 、y＝log eq \s\do14(\f(1,2)) (x＋1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>－1)) 和y＝2的图象如下图所示， 由2x－1＝2解得x＝log23，设B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log23，2)) . 由log eq \s\do14(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)) ＝2解得x＝－ eq \f(3,4) ，设A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，2)) . 对于函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≥a，,log\s\do14(\f(1,2))（x＋1），－1<x<a，)) 要使y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 与y＝2的图象有两个交点，结合图象可知，－ eq \f(3,4) <a≤log23.故选D. 答案　D 题型三　判断函数零点所在的区间 　函数f(x)＝3x－x2的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(－1，0) [解析]　若函数f(x)的一个零点在区间(a，b)内，则f(a)f(b)<0.因为f(2)＝9－4＝5>0，f(1)＝3－1＝2>0，f(0)＝1－0＝1>0，f(－1)＝ eq \f(1,3) －1＝－ eq \f(2,3) <0，f(－2)＝ eq \f(1,9) －4<0，通过计算f(0)f(－1)<0，而f(1)f(2)>0，f(0)f(1)>0，f(－2)f(－1)>0，故函数f(x)＝3x－x2的零点所在的区间是(－1，0).故本题正确答案为D. [答案]　D [规律方法]　判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代：将区间端点代入函数求出函数的值． (2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断． (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． [触类旁通]　 3．设f(x)＝x2－3x＋a，若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为__________． 解析　显然函数f(x)图象的对称轴是直线x＝ eq \f(3,2) ， 根据二次函数的性质可知f(1)<f(3). 因为函数f(x)在区间(1，3)内有零点， 所以f(3)·f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) <0或f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) ＝0，解得0<a≤ eq \f(9,4) . 答案　 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(9,4))) [缜密思维提能区]　易错案例 函数零点个数问题 【典例】　 若函数f(x)＝ax2－x－1的负零点有且仅有一个，求实数a的取值范围． [解析]　(1)当a＝0时，由f(x)＝－x－1＝0得x＝－1， 符合题意； (2)当a>0时， 函数f(x)＝ax2－x－1为开口向上的抛物线， 且f(0)＝－1<0，对称轴x＝ eq \f(1,2a) >0， 所以f(x)必有一个负实根，符合题意； (3)当a<0时，x＝ eq \f(1,2a) <0，f(0)＝－1<0， 所以Δ＝1＋4a＝0， 即a＝－ eq \f(1,4) ， 此时f(x)＝－ eq \f(1,4) x2－x－1＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋1)) eq \s\up18(2) ＝0， 所以x＝－2，符合题意． 综上所述a的取值范围是a≥0或a＝－ eq \f(1,4) . [纠错心得]　讨论一元二次方程的根在区间的分布情况一般需从四个方面考虑：①判别式；②开口方向；③区间端点的函数值的符号；④对称轴与区间的相对位置. 知识落实 技法强化 (1)函数零点及存在定理． (2)零点所在区间及个数的判断． (3)据零点满足的条件求参数． (1)常用方法：判定定理、方程思想、数形结合． (2)注意：零点不是点而是方程的解，函数的零点与方程的解，函数的图象相交相互转化． $$