7.4 三角函数应用（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

7.4　三角函数应用 第7章　三角函数 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 目 录 课前案 01 课堂案 02 课后案 03 CONTENTS 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1．了解y＝A sin (ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相． 2．会用三角函数解决一些简单的实际问题． 3．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 1．通过了解三角函数模型是描述周期变化的重要函数模型，培养数学抽象、数学建模等核心素养． 2．通过三角函数模型解决实际问题，提升数学建模、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　描述简谐运动y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)的物理量 　一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中的参数A，ω，φ的意义分别是什么？ 提示：A是振幅，ωx＋φ是相位，φ是为初相． ◎结论形成 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A，ω，φ的物理意义 (1)简谐运动的振幅就是A. (2)简谐运动的周期T＝ eq \f(2π,ω) . (3)简谐运动的频率f＝ eq \f(1,T) ＝ eq \f(ω,2π) . (4)ωx＋φ称为相位． (5)x＝0时的相位φ称为初相． 导学2　利用三角函数模型解释自然现象 　在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化．现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？ 提示：三角函数模型． ◎结论形成 1．利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤 第一步：阅读理解，审清题意． 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题． 第二步：收集、整理数据，建立数学模型． 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化． 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答． 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案． 2．三角函数模型的建立程序 如图所示： [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型．(　　) (2)在研究具体问题时，我们常常利用收集到的数据，作出相应的“散点图”来获得相应的函数模型．(　　) (3)函数y＝|cos x|的图象是以2π为周期的波浪型曲线．(　　) (4)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3))) ，t∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为 4 ℃.(　　) 2.一单摆如图所示，以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足关系式θ＝ eq \f(1,2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,2))) ，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　　) A．2， eq \f(1,π) 　　　　　　　 B． eq \f(1,2) ， eq \f(1,π) C． eq \f(1,2) ，π D．2，π 解析　当t＝0时，θ＝ eq \f(1,2) sin eq \f(π,2) ＝ eq \f(1,2) ， 由函数解析式易知单摆周期为 eq \f(2π,2) ＝π，故单摆频率为 eq \f(1,π) . 答案　B 3．简谐运动y＝ eq \f(1,2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－2)) 的频率f＝____________． 解析　f＝ eq \f(\f(π,8),2π) ＝ eq \f(1,16) . 答案　 eq \f(1,16) 4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)（x－6）)) (x＝1，2，3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为__________℃. 解析　由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋A＝28，,a－A＝18，)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝23，,A＝5，)) ∴y＝23＋5cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)（x－6）)) ， 当x＝10时，y＝23＋5× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝20.5. 答案　20.5 题型一　三角函数解析式与图象对应问题 　(1)函数y＝ln (cos x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<x<\f(π,2))) 的大致图象是(　　) (2)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0( eq \r(2) ，－ eq \r(2) )，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　) [解析]　(1)设f(x)＝ln (cos x)，由f(－x)＝f(x)知y＝ln (cos x)是偶函数，其图象关于y轴对称，可排除B，D，又当－ eq \f(π,2) <x< eq \f(π,2) 时，0<cos x≤1，所以y＝ln (cos x)≤0，排除C，选A. (2)通过分析可知当t＝0时，点P到x轴的距离d为 eq \r(2) ，于是可以排除答案A，D，再根据当t＝ eq \f(π,4) 时，可知点P在x轴上，此时点P到x轴的距离d为0，排除答案B，故选C. [答案]　(1)A　(2)C [规律方法] 解决函数图象与解析式对应问题的策略 (1)一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据． (2)利用图象确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般要求|φ|中最小的φ. [触类旁通]　 1．(2024·江苏省如皋中学期末)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图象来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图象特征．函数y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x)) sin x在[－π，π]上的图象大致是(　　) 解析　由题设f(x)＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x)) sin x，函数的定义域为[－π，π]，关于原点对称． 所以f(－x)＝－ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x)) sin x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数， 所以函数f(x)图象关于原点对称，所以排除选项C，D. 又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2))) ＝ eq \f(π,2) ×1>0，所以排除选项B，选A. 答案　A 题型二　三角函数在物理中的应用 一题多变 　单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))) . (1)作出函数的图象； (2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ [解析]　(1)利用“五点法”可作出其图象，再利用周期性将图象向右平移得t∈[0，＋∞)上的图象． (2)因为当t＝0时，s＝6sin eq \f(π,6) ＝3， 所以此时离开平衡位置3 cm. [母题变式]　 1．(变结论)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ 解析　离开平衡位置6 cm. 2．(变结论)单摆来回摆动一次需多长时间？ 解析　因为T＝ eq \f(2π,2π) ＝1， 所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s. [规律方法]　处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 题型三　三角函数在实际生活中的应用 　心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p(t)的草图； (4)求出此人的血压在血压计上的读数． [解析]　(1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝ eq \f(2π,|ω|) ， 可得T＝ eq \f(2π,160π) ＝ eq \f(1,80) (min)，所以函数p(t)的周期为 eq \f(1,80) min. (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 f＝ eq \f(1,T) ＝80(次). (3)列表： t 0 eq \f(1,320) eq \f(1,160) eq \f(3,320) eq \f(1,80) p(t) 115 140 115 90 115 描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示： (4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg. [素养聚焦]　在利用三角函数模型解决实际问题的过程中，主要体现了数学建模核心素养． [规律方法]　解三角函数应用问题的基本步骤 [触类旁通]　 2.如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 解析　(1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0， 由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值， 所以6ω＝π，即ω＝ eq \f(π,6) ， 所以y＝40.5－40cos eq \f(π,6) t(t≥0). (2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米． 由60.5＝40.5－40cos eq \f(π,6) t0，得cos eq \f(π,6) t0＝－ eq \f(1,2) ， 所以 eq \f(π,6) t0＝ eq \f(2π,3) 或 eq \f(π,6) t0＝ eq \f(4π,3) ， 解得t0＝4或t0＝8， 所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米， 故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟). [缜密思维提能区]　易错案例 函数y＝A sin (ωx＋φ)图象性质的应用 【典例】　如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ)) ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A．5　　　　　　　　　 B．6 C．8 D．10 [解析]　由图象知ymin＝2. 因为ymin＝－3＋k， 所以－3＋k＝2，解得k＝5， 所以这段时间水深的最大值是 ymax＝3＋k＝3＋5＝8， [答案]　C [纠错心得]　此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，注意函数图象平移之后的最值变化． 知识落实 技法强化 (1)简谐运动及三角函数在物理中的应用． (2)三角函数在生活中的应用． (3)三角函数的综合运用． (1)常用方法：数形结合法、数学建模法． (2)注意：变量在实际问题中的含义． $$