7.3.3 第2课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

7.3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ) 第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质 第7章　三角函数 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 目 录 课前案 01 课堂案 02 课后案 03 CONTENTS 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 R [－A，A] 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 kπ 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1．能根据y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式． 2．能根据函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式研究其性质． 1．根据函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式，培养直观想象等核心素养． 2．通过探究y＝A sin (ωx＋φ)的性质及应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． [教材梳理] 导学　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)如何由函数y＝sin x变换得到？ 提示：由正弦函数y＝sin x变换而来的． 　我们应该如何研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质？ 提示：把ωx＋φ看作一个整体，利用函数y＝sin x的性质研究其性质． ◎结论形成 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 性质 函数 y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0) 定义域 _____ 值域 _____________ 周期性 T＝______ eq \f(2π,ω) 性质 对称中心 对称中心 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ－φ,ω)，0)) (k∈Z) 对称轴 x＝ eq \f(kπ,ω) ＋ eq \f(π－2φ,2ω) (k∈Z) 奇偶性 当φ＝________(k∈Z)时是奇函数； [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝A sin (ωx＋φ)的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　) (2)在y＝A sin (ωx＋φ)的图象中，相邻的两条对称轴的距离为1个周期．(　　) (3)函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) 的图象对称轴为x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,12) (k∈Z).(　　) (4)函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) 的图象的对称中心是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－kπ＋\f(π,3)，0)) (k∈Z).(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2))) 的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝2sin eq \f(1,2) x＋ eq \f(π,6) B．f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6))) C．f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) D．f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) 解析　由图象可知，A＝2，T＝4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)－\f(π,6))) ＝π， 所以 eq \f(2π,ω) ＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋φ)，因为图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，2)) ， 所以2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ)) ＝2，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ)) ＝1， 所以 eq \f(π,3) ＋φ＝ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z，所以φ＝ eq \f(π,6) ＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|< eq \f(π,2) ，所以φ＝ eq \f(π,6) ，所以f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) . 答案　D 3．若f(x)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2))) 是奇函数，则φ＝____________． 解析　由题意可知 eq \f(π,3) ＋φ＝ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z，即φ＝ eq \f(π,6) ＋kπ，k∈Z. 又|φ|< eq \f(π,2) ，故当k＝0时，得φ＝ eq \f(π,6) . 答案　 eq \f(π,6) 4．函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))) 的图象的对称轴方程是______________________． 解析　令x－ eq \f(π,4) ＝ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z，解得x＝ eq \f(3π,4) ＋kπ，k∈Z， 即f(x)的图象的对称轴方程是x＝ eq \f(3π,4) ＋kπ，k∈Z. 答案　x＝ eq \f(3π,4) ＋kπ，k∈Z 题型一　由图象确定函数的解析式 　如图是函数y＝A sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2))) 的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式． [解析]　解法一(逐一定参法) 由图象知A＝3， 又T＝ eq \f(5π,6) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))) ＝π，∴ω＝ eq \f(2π,T) ＝2. 由点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0)) 可知，－ eq \f(π,6) ×2＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝ eq \f(π,3) ＋2kπ，k∈Z. 又|φ|< eq \f(π,2) ，得φ＝ eq \f(π,3) ，∴y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) . 解法二(待定系数法) 由图象知A＝3，又图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0)) 和 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0)) ，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)， 有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)·ω＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，,\f(5π,6)·ω＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，,|φ|<\f(π,2)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ω＝2，,φ＝\f(π,3)．)) ∴y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) . 解法三(图象变换法) 由T＝π，点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0)) ，A＝3可知， 图象是由y＝3sin 2x向左平移 eq \f(π,6) 个单位长度而得到的， ∴y＝3sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))))) ，即y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) . [素养聚焦]　已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象确定其解析式，关键是根据图象的特征确定系数A，ω，φ，解题过程中体现了直观想象、逻辑推理等核心素养． [规律方法]　给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数． [触类旁通]　 1．函数f(x)＝A sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ)) (A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示． (1)求f(x)的解析式； (2)将f(x)的图象向右平移 eq \f(2π,3) 个单位长度后 得到函数g(x)的图象，设h(x)＝f(x)－g(x)， 证明：h(x)为偶函数． (1)解析　由最值得A＝2， 由相邻两条对称轴距离得 eq \f(T,2) ＝ eq \f(5π,12) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12))) ＝ eq \f(π,2) ， 则T＝ eq \f(2π,ω) ＝π，即ω＝2， 此时f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ)) ，代入点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，2)) 得：sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋φ)) ＝1， 则－ eq \f(π,6) ＋φ＝ eq \f(π,2) ＋2kπ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z)) ，即φ＝ eq \f(2π,3) ＋2kπ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z)) ， 又因为0<φ<π，所以k＝0，φ＝ eq \f(2π,3) ，故f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))) . (2)证明　由题意得g(x)＝2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2π,3)))＋\f(2π,3))) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3))) ， 则h(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))) －2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3))) ， 因为h(-x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(2π,3))) －2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x－\f(2π,3))) ＝－2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3))) ＋2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))) ＝h(x)， 所以h(x)为偶函数． 题型二　三角函数图象的对称性 　(1)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,12) 个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　) A．x＝ eq \f(kπ,2) － eq \f(π,6) (k∈Z) B．x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,6) (k∈Z) C．x＝ eq \f(kπ,2) － eq \f(π,12) (k∈Z) D．x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,12) (k∈Z) (2)在函数y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))) 的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是____________． [解析]　(1)将函数y＝2sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,12) 个单位长度，所得到的图象对应函数的解析式为y＝2sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12))) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) ，由2x＋ eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z，得x＝ eq \f(π,6) ＋ eq \f(1,2) kπ，k∈Z. (2)由4x＋ eq \f(2π,3) ＝kπ，k∈Z，得x＝－ eq \f(π,6) ＋ eq \f(1,4) kπ，k∈Z，所以当k＝1时，x＝ eq \f(π,4) － eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,12) ，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0)) 离原点最近． [答案]　(1)B　(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0)) [规律方法]　三角函数对称轴、对称中心的求法 对称轴 对称中心 y＝A sin (ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 求对称中心横坐标 y＝A cos (ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z) 求对称中心横坐标 y＝A tan (ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝ eq \f(kπ,2) (k∈Z) 求对称中心横坐标 [触类旁通]　 2．将函数y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) 的图象向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____________． 解析　将函数y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) 的图象向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝3sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,4))) ＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,12))) .令2x－ eq \f(π,12) ＝kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，得对称轴的方程为x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(7π,24) ，k∈Z，分析知当k＝－1时，对称轴为直线x＝－ eq \f(5π,24) ，与y轴最近． 答案　x＝－ eq \f(5π,24) 题型三　函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的应用 　已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R，其中A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2))) 的周期为π，且图象上一个最低点为M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)) . (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12))) 时，求f(x)的最值． [解析]　(1)由函数f(x)图象上的一个最低点为M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)) ，得A＝2. 由周期T＝π，得ω＝ eq \f(2π,T) ＝ eq \f(2π,π) ＝2. 由点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)) 在图象上， 得2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ)) ＝－2，即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ)) ＝－1， 所以 eq \f(4π,3) ＋φ＝2kπ－ eq \f(π,2) (k∈Z)， 故φ＝2kπ－ eq \f(11π,6) (k∈Z). 又因为φ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ，所以k＝1，φ＝ eq \f(π,6) . 所以函数的解析式为f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) . (2)因为x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12))) ，所以2x＋ eq \f(π,6) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) ， 所以当2x＋ eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,6) ，即x＝0时，函数f(x)取得最小值1； 当2x＋ eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,3) ，即x＝ eq \f(π,12) 时，函数f(x)取得最大值 eq \r(3) . [规律方法]　函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的应用 (1)应用的范围：函数的单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等方面都有体现和考查． (2)解决的方法：有关函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质的运用问题，充分利用三角函数的基本性质，要特别注意整体代换思想的运用． [触类旁通]　 3．设函数f(x)＝sin (2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝ eq \f(π,8) . (1)求φ的值； (2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值． 解析　(1)由2x＋φ＝kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z， 得x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,4) － eq \f(φ,2) ，令 eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,4) － eq \f(φ,2) ＝ eq \f(π,8) ， 得φ＝kπ＋ eq \f(π,4) ，k∈Z. ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－ eq \f(3π,4) . (2)由(1)知，f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4))) . 由2kπ－ eq \f(π,2) ≤2x－ eq \f(3π,4) ≤2kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)，得kπ＋ eq \f(π,8) ≤x≤kπ＋ eq \f(5π,8) (k∈Z)，故函数的单调增区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8))) (k∈Z).同理可得函数的单调减区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(5π,8)，kπ＋\f(9π,8))) (k∈Z). 当2x－ eq \f(3π,4) ＝2kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)，即x＝kπ＋ eq \f(5π,8) (k∈Z)时， 函数取得最大值1； 当2x－ eq \f(3π,4) ＝2kπ－ eq \f(π,2) (k∈Z)，即x＝kπ＋ eq \f(π,8) (k∈Z)时， 函数取得最小值－1. [缜密思维提能区]　易错案例 函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的应用 【典例】　把函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移 eq \f(π,6) 个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为(　　) A．1， eq \f(π,3) 　 　 B．2， eq \f(π,3) 　 　 C． eq \f(1,2) ， eq \f(π,6) 　 　 D． eq \f(1,2) ， eq \f(π,3) [解析]　依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为 m(x)＝2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ω,2)x＋φ)) ，则函数g(x)＝2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ωx,2)＋\f(ωπ,12)＋φ)) . 因为函数的最小正周期为2π，所以ω＝2，则g(x)＝2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)＋φ)) . 又因为函数为奇函数，所以φ＋ eq \f(π,6) ＝kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z， 又0<φ<π，则φ＝ eq \f(π,3) . [答案]　B [纠错心得]　弄清奇偶函数满足的条件，把φ＋ eq \f(π,6) 看成一个整体． 知识落实 技法强化 (1)五点法作图． (2)对称性及综合应用． (1)常用方法：特值(点)法、数形结合法． (2)注意“五点法”中第一点要找准． $$