7.3.1 三角函数的周期性（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

7.3　三角函数的图象和性质 7.3.1　三角函数的周期性 第7章　三角函数 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 目 录 课前案 01 课堂案 02 课后案 03 CONTENTS 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 非零的常数 x＋T∈A 最小的正数 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 2π π 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．理解函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x都是周期函数，都存在最小正周期． 3．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的周期． 1．通过了解周期函数及其有关概念，培养数学抽象等核心素养． 2．通过三个函数是周期函数的理解及周期的求法，提升逻辑推理、直观想象等核心素养． [教材梳理] 导学1　周期函数 　借助于单位圆中的正弦线、余弦线、观察正弦、余弦函数值的变化有什么规律？ 提示：“周而复始”呈现周期现象． 　设f(x)＝sin x，g(x)＝cos x，试求f(x＋2π)，f(x＋4π)，g(x＋2π)，g(x＋4π). 提示：f(x＋2π)＝sin (x＋2π)＝sin x. f(x＋4π)＝sin (x＋4π)＝sin x. g(x＋2π)＝cos (x＋2π)＝cos x. g(x＋4π)＝cos (x＋4π)＝cos x. ◎结论形成 1．周期函数的定义 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个______________T，使得对于任意的x∈A，都有___________，并且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个______________，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期． 导学2　正弦函数、余弦函数、正切函数的周期 　2kπ(k∈Z且k≠0)是正弦、余弦函数的周期吗？ 提示：是．因为sin (x＋2kπ)＝sin x，cos (x＋2kπ)＝cos x，k∈Z. 　借助单位圆中的正切线，观察正切函数是周期函数吗？如果是，它的最小正周期是什么？ 提示：是　π ◎结论形成 1．正弦函数、余弦函数的周期 正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是________． 2．正切函数的周期 正切函数是周期函数，最小正周期是______． 导学3　函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的周期，(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0) 函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期__________． T＝ eq \f(2π,ω) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为sin (π－x)＝sin x，所以π是函数y＝sin x的一个周期．(　　) (2)因为tan (2π＋x)＝tan x，所以2π是函数y＝tan x的最小正周期．(　　) (3)因为当x＝ eq \f(π,4) 时，等式sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x)) ＝sin x成立，所以 eq \f(π,2) 是函数y＝sin x的一个周期．(　　) (4)若y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mx＋\f(π,3))) ，则T＝ eq \f(2π,m) .(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数y＝ eq \r(2) cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x)) 的最小正周期为__________． 解析　T＝ eq \f(2π,|ω|) ＝π. 答案　π 3．函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4))) (ω>0)的周期为 eq \f(π,4) ，则ω＝____________． 解析　由 eq \f(2π,ω) ＝ eq \f(π,4) ，得ω＝8. 答案　8 4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)＝__________． 解析　据题意f(7)＝f(－1＋8)＝f(－1)＝－f(1)， 所以f(1)＋f(7)＝0，又f(4)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(4)＋f(7)＝0. 答案　0 题型一　求三角函数的周期 　求下列函数的周期： (1)y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,6))) ；(2)y＝2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,2)＋\f(π,4))) . [解析]　(1)T＝ eq \f(2π,ω) ＝ eq \f(2π,\f(π,2)) ＝4. (2)y＝2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,2)＋\f(π,4))) ＝2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4))) ， ∴T＝ eq \f(2π,\f(1,2)) ＝4π. [规律方法]　求三角函数的周期，通常有三种方法 (1)定义法． (2)公式法：对y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，有T＝ eq \f(2π,|ω|) . (3)观察法(图象法). [触类旁通]　 1．(1)(2024·连云港高一统考)写出一个同时满足下列条件的函数f(x)，如f(x)＝____________． ①函数f(x)是奇函数；②函数f(x)的最小正周期是 eq \f(1,2) . (2)y＝2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6))) 的最小正周期为π，则ω＝__________． 解析　(1)不妨令f(x)＝sin ωx，ω>0，故 eq \f(2π,ω) ＝ eq \f(1,2) ， 解得ω＝4π，故f(x)＝sin 4πx； 或令f(x)＝tan ωx，ω>0，故 eq \f(π,ω) ＝ eq \f(1,2) ，解得ω＝2π，故f(x)＝tan 2πx； 故答案为sin 4πx或tan 2πx. (2)∵T＝ eq \f(2π,|ω|) ＝π，∴ω＝±2. 答案　(1)sin 4πx或tan 2πx(答案不唯一) (2)±2 题型二　利用周期求函数值 　若f(x)是以 eq \f(π,2) 为周期的奇函数，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＝1，求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6))) 的值． [解析]　∵f(x)是以 eq \f(π,2) 为周期的奇函数， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6))) ＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6))) ＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6))) ＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3))) ＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ， 又∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＝1，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6))) ＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＝－1. [素养聚焦]　利用函数的奇偶性和周期性把数学运算等核心素养体现在解题过程中． [方法技巧]　(1)利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值． (2)利用函数性质，将所求转化为可求的x的函数值，从而可解决求值问题． [触类旁通]　 2．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 时，f(x)＝sin x，求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3))) 的值． 解析　∵f(x)是周期函数，且最小正周期为π， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋2π)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) . ∵f(x)是偶函数，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) . 当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 时，f(x)＝sin x， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＝sin eq \f(π,3) ＝ eq \f(\r(3),2) ，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＝ eq \f(\r(3),2) . 题型三　函数周期性的综合应用 　设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7)的值． [解析]　∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)的周期为4.又f(x)是奇函数，∴f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝－f(1). 又当0≤x≤1时，f(x)＝x，∴f(7)＝－f(1)＝－1. [方法技巧]　(1)解答此类题目的关键是利用化归思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可． (2)如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质． [触类旁通]　 3．设函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝(x－1)2. (1)求f(3)； (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式． 解析　(1)∵函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数， 且当x∈[0，2]时，f(x)＝(x－1)2， ∴f(3)＝f(3－2)＝f(1)＝(1－1)2＝0. (2)∵f(x)的周期为2， ∴当x∈[2，4]时有f(x)＝f(x－2)，又∵x－2∈[0，2]， ∴f(x－2)＝(x－2－1)2＝(x－3)2，∴f(x)＝(x－3)2. 即当x∈[2，4]时，f(x)＝(x－3)2. [缜密思维提能区]　易错案例 利用周期求值问题 【典例】　设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 时，f(x)＝sin x；当x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) 时，f(x)＝cos x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)π)) ＝____________． [解析]　∵T＝π，x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) 时，f(x)＝cos x. ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(2π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3))) ＝cos eq \f(2π,3) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3))) ＝－cos eq \f(π,3) ＝－ eq \f(1,2) . [答案]　－ eq \f(1,2) [纠错心得]　周期变化和诱导公式相结合，一定要化到x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 或x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) 才能代值． 知识落实 技法强化 (1)周期函数、周期、最小正周期． (2)y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋y)(A≠0，ω＞0)，则T＝ eq \f(2π,ω) . (1)常用方法：数形结合法、公式法． (2)注意T＝ eq \f(2π,ω) 适用条件：正(余)弦型函数且ω＞0. $$