7.2.3 第2课时 诱导公式(五、六)（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

7.2.3　三角函数的诱导公式 第2课时　诱导公式(五、六) 第7章　三角函数 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 目 录 课前案 01 课堂案 02 课后案 03 CONTENTS 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 cosα sinα cosα －sinα 余弦(正弦) 锐角 原 函数值 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 －cosα －sinα －cosα sinα 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1.掌握诱导公式五、六的推导的过程，并能应用公式五、六解决简单的求值、化简与证明问题． 2．对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力． 3．继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力． 1.通过诱导公式五、六的推导，培养逻辑推理等核心素养． 2．利用诱导公式求三角函数值，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学　角 eq \f(π,2) －α与α它们的正弦、余弦值有何关系 　如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2. (1)P2点的坐标是什么？ 提示： P2(y，x). (2) eq \f(π,2) －α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？ 提示：对称．sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)) ＝cos α，cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)) ＝sin α. ◎结论形成 1．诱导公式五和公式六 2．诱导公式的推广与规律 sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)) ＝_______________，cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)) ＝_______________， sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋α)) ＝_______________，cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋α)) ＝_____________． 3．诱导公式的巧记 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k· eq \f(π,2) ±α(k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号． 例如，将cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)) 写成cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1·\f(π,2)＋α)) ，因为1是奇数，则“cos ”变为正弦函数符号“sin ”，又将α看成第一象限角时， eq \f(π,2) ＋α是第二象限角，cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)) 符号为“－”，故有cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)) ＝－sin α. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．(　　) (2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))) ＝cos α.(　　) (3)若α为第二象限角，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)) ＝cos α.(　　) (4)sin 165°＝cos 75°.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．若cos (2π－α)＝ eq \f(\r(5),3) ，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)) ＝____________． 解析　∵cos (2π－α)＝cos (－α)＝cos α＝ eq \f(\r(5),3) ， ∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)) ＝－cos α＝－ eq \f(\r(5),3) . 答案　－ eq \f(\r(5),3) 3．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))) ＝ eq \f(1,3) ，则cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))) 的值为__________． 解析　cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))) ＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))))) ＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))) ＝－ eq \f(1,3) . 答案　－ eq \f(1,3) 4．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是__________． 解析　原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A) ＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1. 答案　1 题型一　利用诱导公式化简、求值 　(1)已知cos(π＋α)＝－ eq \f(1,2) ，α为第一象限角，求cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)) 的值； (2)已知cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ＝ eq \f(1,3) ，求cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α)) ·sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)) 的值． [解析]　(1)∵cos (π＋α)＝－cos α＝－ eq \f(1,2) ， ∴cos α＝ eq \f(1,2) ，又α为第一象限角， 则cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)) ＝－sin α＝－ eq \r(1－cos2α) ＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up18(2)) ＝－ eq \f(\r(3),2) . (2)cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α)) ·sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)) ＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)))) ·sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α)))) ＝－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ·sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α)) ＝－ eq \f(1,3) sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)))) ＝－ eq \f(1,3) cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ＝－ eq \f(1,9) . [规律方法]　求值问题中角的转化方法 [触类旁通] 1．已知3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24π,7)＋α)) ＝－5cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,7)＋α)) ，则tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,14)－α)) ＝(　　) A．－ eq \f(5,3) 　　　　　　　　 B．－ eq \f(3,5) C． eq \f(3,5) D． eq \f(5,3) 解析　由诱导公式可知3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24π,7)＋α)) ＝ 3sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,7)＋α)))) ＝－3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,7)＋α)) ， 又3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24π,7)＋α)) ＝－5cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,7)＋α)) 得， －3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,7)＋α)) ＝－5cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,7)＋α)) ， 所以tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,7)＋α)) ＝ eq \f(5,3) ， tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,14)－α)) ＝tan eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,7)＋α)))) ＝ eq \f(sin \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,7)＋α)))),cos \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,7)＋α))))) ＝ eq \f(1,tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,7)＋α))) ＝ eq \f(3,5) .故选C. 答案　C 题型二　利用诱导公式证明恒等式 　求证： eq \f(tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))) ＝－tan α. [证明]　∵左边＝ eq \f(tan （－α） ·sin （－α）·cos （－α）,sin \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))·cos \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))) ＝ eq \f(（－tan α）·（－sin α）·cos α,sin \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))cos \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))) ＝ eq \f(sin2α,－sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))) ＝ eq \f(sin2α,－cos αsin α) ＝－ eq \f(sin α,cos α) ＝－tan α＝右边． ∴原等式成立． [素养聚焦]　在利用诱导公式和同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的过程中，主要体现了逻辑推理核心素养． [规律方法]　三角恒等式的证明策略 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． [触类旁通]　 2．求证： eq \f(cos （2π－θ）,cos （π＋θ）sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))) ＋ eq \f(cos （π－θ）,cos θ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－θ))－1))) ＝ eq \f(2,sin2θ) . 证明　左边＝ eq \f(cosθ,－cos θcos θ＋cos θ) ＋ eq \f(－cos θ,cos θ（－cos θ－1）) ＝ eq \f(1,1－cos θ) ＋ eq \f(1,1＋cos θ) ＝ eq \f(1＋cos θ＋1－cos θ,（1－cos θ）（1＋cos θ）) ＝ eq \f(2,1－cos2θ) ＝ eq \f(2,sin2θ) ＝右边， ∴原式成立． 题型三　诱导公式的综合应用 一题多变 　已知cosα＝－ eq \f(4,5) ，且α为第三象限角． (1)求sin α的值； (2)求f(α)＝ eq \f(tan （π－α）·sin （π－α）·sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cos （π＋α）) 的值． [解析]　(1)因为α为第三象限角， 所以sin α＝－ eq \r(1－cos2α) ＝－ eq \f(3,5) . (2)f(α)＝ eq \f(（－tan α）·sin α·cos α,－cos α) ＝tan α·sin α ＝ eq \f(sin α,cos α) ·sin α＝ eq \f(sin2α,cos α) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) eq \s\up18(2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4))) ＝－ eq \f(9,20) . [母题变式]　 1．(变结论)本例(2)条件不变，求 f(α)＝ eq \f(sin （5π－α）cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α))tan （－π＋α）,－tan （－19π－α）sin （－α）) 的值． 解析　f(α)＝ eq \f(sin α·（－sin α）·tan α,tan α·（－sin α）) ＝sin α＝－ eq \f(3,5) . 2．(变条件、变结论)本例条件中“cos α＝－ eq \f(4,5) ”改为“α的终边与单位圆交于点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(\r(15),4))) ”，“第三象限”改为“第二象限”，试求 eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin （π＋α）－sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋1) 的值． 解析　由题意知m2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),4))) eq \s\up18(2) ＝1，解得m2＝ eq \f(1,16) ， 因为α为第二象限角，故m<0，所以m＝－ eq \f(1,4) ， 所以sin α＝ eq \f(\r(15),4) ，cos α＝－ eq \f(1,4) . 原式＝ eq \f(－cos α,（－sin α）－（－cos α）＋1) ＝ eq \f(\f(1,4),－\f(\r(15),4)－\f(1,4)＋1) ＝－ eq \f(3＋\r(15),6) . [规律方法]　用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少. (2)对于π±α和 eq \f(π,2) ±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名． [触类旁通] 3．(1)化简： eq \f(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α))sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－α)),cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α))cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－α))) ； (2)已知关于x的方程x2－ eq \f(\r(5),2) x＋a＝0的两个根为sin θ和cos θ，求sin θ－cos θ的值． 解析　(1)原式＝ eq \f(cos α（－cos α）（－tan α）,－sin α（－cos α）) ＝ eq \f(cos αsin α,sin αcos α) ＝1. (2)由题意可知sin θ＋cos θ＝ eq \f(\r(5),2) ，sin θcos θ＝a.又sin2θ＋cos2θ＝1，则sinθcos θ＝ eq \f(1,8) . (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝ eq \f(3,4) ，即sin θ－cos θ＝± eq \f(\r(3),2) . [缜密思维提能区]　易错案例 三角函数式 【典例】　求证： eq \f(2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2（π＋θ）) ＝ eq \f(tan（9π＋θ）＋1,tan （π＋θ）－1) . [证明]　因为左边＝ eq \f(－2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))·（－sin θ）－1,1－2sin2θ) ＝ eq \f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))))sin θ－1,1－2sin2θ) ＝ eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))sin θ－1,1－2sin2θ) ＝ eq \f(－2cosθsin θ－1,cos2θ＋sin2θ－2sin2θ) ＝ eq \f(（sinθ＋cos θ）2,sin2θ－cos2θ) ＝ eq \f(sinθ＋cos θ,sin θ－cos θ) . 右边＝ eq \f(tan θ＋1,tan θ－1) ＝ eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ) . 所以左边＝右边，故原等式成立． [纠错心得]　对于kπ±α和k eq \f(π,2) ±α这两套诱导公式，切记运用“奇变偶不变，符号看象限”． 知识落实 技法强化 利用诱导公式进行化简、求值与证明． (1)常用方法：构造法、代换法． (2)注意：函数名称及名称前符号的变化．公式中的角α均为任意角． $$