7.2.3 第1课时 诱导公式(一～四)（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

7.2.3　三角函数的诱导公式 第1课时　诱导公式(一～四) 第7章　三角函数 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 目 录 课前案 01 课堂案 02 课后案 03 CONTENTS 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 相等 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 x轴 －sinα cosα －tanα 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 y轴 sinα －cosα －tanα 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 原点 －sinα －cosα tanα 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用． 2．理解诱导公式(一～四)的推导过程． 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题． 1．通过诱导公式的推导，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过诱导公式的应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　诱导公式一 　若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin α与sin β，cos α与cos β、tan α与tan β之间有什么关系？ 提示：sin α＝sin β，cos α＝cos β，tan α＝tan β. ◎结论形成 终边相同的角的同一三角函数的值________，由此得到一组公式： 公式一 sin (α＋2kπ)＝sin α(k∈Z)， cos (α＋2kπ)＝cos α(k∈Z)， tan (α＋2kπ)＝tan α(k∈Z). 导学2　诱导公式二 　任意角α与－α的终边有怎样的位置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位置关系？试用三角函数的定义验证－α与 α 的三角函数值的关系． 提示：α与－α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点P1与P2关于x轴对称，设P1的坐标为(x，y)，则P2的坐标为(x，－y).sin (－α)＝－y＝－sin α，cos (－α)＝x＝cos α，tan (－α)＝－ eq \f(y,x) ＝－tan α. ◎结论形成 公式二 终边关系 角－α与角α的终边关于________对称 图示 公式 sin (－α)＝________，cos (－α)＝________，tan (－α)＝________ 导学3　诱导公式三 　任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系． 提示：α与π－α的终边关于y轴对称，如图所示，设P1(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为P2(－x，y)，P1，P2关于y轴对称，由三角函数定义知，sin (π－α)＝y＝sin α，cos (π－α)＝－x＝－cos α，tan (π－α)＝ eq \f(y,－x) ＝－tan α. ◎结论形成 公式三 终边关系 角π－α与角α的终边关于________对称 图示 公式 sin (π－α)＝_______，cos (π－α)＝________，tan (π－α)＝_______ 导学4　诱导公式四 　锐角α的终边与π＋α角的终边位置关系如何？它们与单位圆的交点的位置关系如何？任意角α与π＋α呢？交点坐标可以设为什么？ 提示：无论α是锐角还是任意角，π＋α与α的终边互为反向延长线，它们与单位圆的交点关于原点对称．设其中一个为(x，y)，则另外一个的坐标为(－x，－y). ◎结论形成 公式四 终边关系 角π＋α与角α的终边关于________对称 图示 公式 sin (π＋α)＝______，cos (π＋α)＝________，tan (π＋α)＝_______ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由诱导公式三知cos [－(α－β)]＝－cos (α－β).(　　) (2)在△ABC中，sin (A＋B)＝sin C．(　　) (3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(4,3)π)) ＝－sin eq \f(4,3) π (k∈Z).(　　) (4)已知tan α＝4，则tan (π－α)＝－4(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．sin 405°的值为(　　) A．－ eq \f(\r(2),2) 　　　　　　　　 B． eq \f(\r(2),2) C．－ eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(3),2) 解析　sin 405°＝sin (360°＋45°)＝sin 45°＝ eq \f(\r(2),2) . 答案　B 3．已知sin eq \f(5π,7) ＝m，则cos eq \f(2π,7) 等于(　　) A．m B．－m C． eq \r(1－m2) D．－ eq \r(1－m2) 解析　cos eq \f(2π,7) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(5π,7))) ＝－cos eq \f(5π,7) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－ \r(1－sin2\f(5π,7)))) ＝ eq \r(1－m2) . 答案　C 4．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为____________. 解析　tan600°＝tan (360°＋240°)＝tan (180°＋60°) ＝tan 60°＝－ eq \f(3,a) ＝ eq \r(3) ，即a＝－ eq \r(3) . 答案　－ eq \r(3) 题型一　给角求值问题 　求下列各三角函数式的值． (1)cos 210°； (2)sin eq \f(11π,4) ； (3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(43π,6))) ； (4)cos (－1 920°). [解析]　(1)cos 210°＝cos (180°＋30°)＝－cos 30°＝－ eq \f(\r(3),2) . (2)sin eq \f(11π,4) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(3π,4))) ＝sin eq \f(3π,4) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4))) ＝sin eq \f(π,4) ＝ eq \f(\r(2),2) . (3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(43π,6))) ＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π＋\f(7π,6))) ＝－sin eq \f(7π,6) ＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6))) ＝sin eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,2) . (4)cos (－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos (5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos (180°－60°)＝－cos 60°＝－ eq \f(1,2) . [规律方法]　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化． (2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． [触类旁通]　 1．计算：(1)cos eq \f(π,5) ＋cos eq \f(2π,5) ＋cos eq \f(3π,5) ＋cos eq \f(4π,5) ； (2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1866°－sin (－606°). 解析　(1)原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,5)＋cos \f(4π,5))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(2π,5)＋cos \f(3π,5))) ＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \f(π,5)＋cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,5))))) ＋ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \f(2π,5)＋cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,5))))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,5)－cos \f(π,5))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(2π,5)－cos \f(2π,5))) ＝0. (2)原式＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin (5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°] ＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin (180°－66°) ＝sin 66°－sin 66°＝0. 题型二　给值或式求值问题 一题多变 　(1)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称 .若sin α＝ eq \f(1,3) ，则sin β＝____________． (2)已知cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ＝ eq \f(\r(3),3) ，求cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α)) －sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))) 的值． (1)[解析]　α与β的终边关于y轴对称， 则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z， ∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z. ∴sinβ＝sin (π－α＋2kπ)＝sin α＝ eq \f(1,3) . [答案]　 eq \f(1,3) (2)[解析]　因为cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α)) ＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)))) ＝－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ＝－ eq \f(\r(3),3) ， sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))) ＝sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ＝1－cos2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3))) eq \s\up18(2) ＝ eq \f(2,3) ， 所以cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α)) －sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))) ＝－ eq \f(\r(3),3) － eq \f(2,3) ＝－ eq \f(2＋\r(3),3) . [母题变式] 1．(变条件)将例2的(2)题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？ 解析　由题意知cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)) ＝ eq \f(\r(3),3) ， 求cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α)) ＋sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))) 的值． 因为cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α)) ＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)))) ＝－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)) ＝－ eq \f(\r(3),3) ， sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))) ＝1－cos2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)) ＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3))) eq \s\up18(2) ＝ eq \f(2,3) ， 所以cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α)) ＋sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))) ＝－ eq \f(\r(3),3) ＋ eq \f(2,3) ＝ eq \f(2－\r(3),3) . 2．(变结论)例2的(2)题中的条件不变，求cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)－α)) －sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(13π,6))) 的值． 解析　cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)－α)) －sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(13π,6))) ＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)))) －sin2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))－2π)) ＝－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) －sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ＝－ eq \f(\r(3),3) － eq \f(2,3) ＝－ eq \f(\r(3)＋2,3) . [素养聚焦]　通过给值求值或给式求值，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． [规律方法]　解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 题型三　化简求值问题 　化简下列各式． (1) eq \f(tan（2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）,cos （α－π）sin （5π－α）) ； (2) eq \f(\r(1＋2sin 290°cos 430°),sin 250°＋cos 790°) . [解析]　(1)原式＝ eq \f(\f(sin （2π－α）,cos （2π－α）)·sin （－α）cos （－α）,cos （π－α）sin （π－α）) ＝ eq \f(－sin α（－sin α）cos α,cos α（－cos α）sin α) ＝－ eq \f(sin α,cos α) ＝－tan α. (2)原式＝ eq \f(\r(1＋2sin （360°－70°）cos （360°＋70°）),sin （180°＋70°）＋cos （720°＋70°）) ＝ eq \f(\r(1－2sin 70°cos 70°),－sin 70°＋cos 70°) ＝ eq \f(|cos 70°－sin 70°|,cos 70°－sin 70°) ＝ eq \f(sin 70°－cos 70°,cos 70°－sin 70°) ＝－1. [规律方法]　三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan eq \f(π,4) . [触类旁通]　 2．化简下列各式． (1) eq \f(cos （π＋α）·sin （2π＋α）,sin （－α－π）·cos （－π－α）) ； (2) eq \f(cos 190°·sin （－210°）,cos （－350°）·tan （－585°）) . 解析　(1)原式＝ eq \f(－cos α·sin α,－sin （π＋α）·cos （π＋α）) ＝ eq \f(cos α·sin α,sin α·cos α) ＝1. (2)原式＝ eq \f(cos （180°＋10°）·[－sin （180°＋30°）],cos （－360°＋10°）·[－tan （360°＋225°）]) ＝ eq \f(－cos 10°·sin 30°,cos 10°·[－tan （180°＋45°）]) ＝ eq \f(－sin 30°,－tan 45°) ＝ eq \f(1,2) . [缜密思维提能区]　易错案例 给角求值问题 【典例】　已知a＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,6))) ，b＝cos eq \f(23π,4) ，c＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33π,4))) ，则a，b，c的大小关系是____________． [解析]　a＝－tan eq \f(7π,6) ＝－tan eq \f(π,6) ＝－ eq \f(\r(3),3) ， b＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π－\f(π,4))) ＝cos eq \f(π,4) ＝ eq \f(\r(2),2) ， c＝－sin eq \f(33π,4) ＝－sin eq \f(π,4) ＝－ eq \f(\r(2),2) ， ∴b>a>c. [答案]　b>a>c [纠错心得]　将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，做到“见角知值，见值知角”． 知识落实 技法强化 (1)特殊关系角的终边对称性． (2)诱导公式一～四． (1)常用方法：数形结合法、公式法． (2)注意：符号的确定、名称不变． $$