7.2.1 第1课时 任意角的三角函数（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

7.2　三角函数概念 7.2.1　任意角的三角函数 第1课时　任意角的三角函数 第7章　三角函数 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 目 录 课前案 01 课堂案 02 课后案 03 CONTENTS 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 三角函数 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 全正 正弦正 正切正 余弦正 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1．理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数． 2．理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号． 3．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等． 1．通过三角函数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过三角函数定义和符号的关系的应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　任意角的正弦、余弦、正切值 　使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r. (1)角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 提示：sin α＝ eq \f(y,r) ，cos α＝ eq \f(x,r) ，tan α＝ eq \f(y,x) . (2)对于确定的角α，sin α，cos α，tan α是否随P点在终边上的位置的改变而改变？ 提示：否． ◎结论形成 1．对于任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则r＝ eq \r(x2＋y2) ，此时点P是角α的终边与半径为r的圆的交点．(如图) 规定： (1)比值______叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ eq \f(y,r) . (2)比值______叫做α的余弦，记作cos α，即sin α＝ eq \f(x,r) . (3)比值______(x≠0)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ eq \f(y,x) . 2．sin α，cos α，tan α与α终边上的点的位置无关，可以选择α上的特殊点来计算sin α，cos α，tan α的值． eq \f(y,r) eq \f(x,r) eq \f(y,x) 导学2　三角函数的定义 　对应表中角α与sin α的值，观察sin α与α的对应关系． α 0 eq \f(π,6) eq \f(π,3) eq \f(π,2) eq \f(2π,3) eq \f(5π,6) π eq \f(7π,6) eq \f(4π,3) eq \f(3π,2) eq \f(5π,3) eq \f(11π,6) 2π sin α 0 eq \f(1,2) eq \f(\r(3),2) 1 eq \f(\r(3),2) eq \f(1,2) 0 － eq \f(1,2) － eq \f(\r(3),2) －1 － eq \f(\r(3),2) － eq \f(1,2) 0 提示：画出草图，发现sin α与α的对应关系．坐标系中点(α，sin α)，每一个定数，都有唯一定数sin α与之对应，所以sin α是α的函数． ◎结论形成 sin α，cos α，tan α分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，都统称为____________． 导学3　三角函数值的符号 若角α是第二象限角，则它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？ 提示：若角α为第二象限角，则x＜0，y＞0, sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0. 当角α是第四象限角时，它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？ 提示：sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0. ◎结论形成 三角函数值的符号 口诀：“一________，二__________，三__________，四__________”． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0，cos α≥0.(　　) (2)若sin α·cos α>0，则角α为第一象限角．(　　) (3)对于任意角α，三角函数sin α、cos α、tan α都有意义．(　　) (4)三角函数值的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tan α＝－ eq \f(3,5) ，那么x的值为(　　) A．10　　　　　　　　　 B． 8 C．－10 D．－8 解析　根据三角函数的定义得tan α＝ eq \f(－6,x) ＝－ eq \f(3,5) ， 所以x＝10. 答案　A 3．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝ eq \f(3,5) ，则tan α等于(　　) A．－ eq \f(3,4) B． eq \f(3,4) C． eq \f(4,3) D．－ eq \f(4,3) 解析　∵cos α＝ eq \f(3,\r(32＋y2)) ＝ eq \f(3,5) ， ∴ eq \r(32＋y2) ＝5，∴y2＝16， ∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－ eq \f(4,3) . 答案　D 4．当α为第二象限角时， eq \f(|sin α|,sin α) － eq \f(cos α,|cos α|) 的值是__________． 解析　∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴ eq \f(|sin α|,sin α) － eq \f(cos α,|cos α|) ＝ eq \f(sin α,sin α) － eq \f(cos α,－cos α) ＝2. 答案　2 题型一　借助单位圆求三角函数值 　(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，y)) (y<0)，求tan α的值． (2)已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值． [解析]　(1)因为点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，y)) (y<0)在单位圆上， 则 eq \f(9,25) ＋y2＝1，所以y＝－ eq \f(4,5) ， 所以tan α＝－ eq \f(4,3) . (2)设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x，y)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x2＋y2＝1，,x≥0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(5),5)，,y＝\f(2\r(5),5)，)) 即P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5))) ， 所以sin α＝y＝ eq \f(2\r(5),5) ，cos α＝x＝ eq \f(\r(5),5) . [规律方法]　(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法．在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝ eq \f(y,r) ，cos α＝ eq \f(x,r) .当已知α的终边上一点，求α的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角α的终边上点P的坐标以参数形式给出时，可借助单位圆上点P(x，y)满足x2＋y2＝1求出点P的一个坐标，进一步求解． [触类旁通]　 1．已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． 解析　r＝ eq \r(（－3a）2＋（4a）2) ＝5|a|. ①若a>0，则r＝5a，角α的终边在第二象限． sin α＝ eq \f(y,r) ＝ eq \f(4a,5a) ＝ eq \f(4,5) ，cos α＝ eq \f(x,r) ＝ eq \f(－3a,5a) ＝－ eq \f(3,5) ， ∴2sin α＋cos α＝ eq \f(8,5) － eq \f(3,5) ＝1. ②若a<0，则r＝－5a，角α的终边在第四象限． sin α＝ eq \f(4a,－5a) ＝ eq \f(－4,5) ，cos α＝ eq \f(－3a,－5a) ＝ eq \f(3,5) . 2sin α＋cos α＝－ eq \f(8,5) ＋ eq \f(3,5) ＝－1， 综上所述，2sin α＋cos α＝±1. 题型二　三角函数的定义及应用 一题多变 　 已知角α的终边落在射线y＝－ eq \r(3) x(x＜0)上，求sin α，cos α，tan α的值． [解析]　射线y＝－ eq \r(3) x(x＜0)经过第二象限， 在射线上取点(－1， eq \r(3) )， 则r＝ eq \r(（－1）2＋（\r(3)）2) ＝2， 所以sin α＝ eq \f(\r(3),2) ，cos α＝－ eq \f(1,2) ，tan α＝－ eq \r(3) . [母题变式]　 (变条件)把例2题中的“已知角α的终边落在射线y＝－ eq \r(3) x(x＜0)上”，改为“已知角α的终边落在直线y＝－ eq \r(3) x上”，再求sin α，cos α，tan α的值． 解析　直线y＝－ eq \r(3) x，经过第二、四象限， 在第二象限取直线上的点(－1， eq \r(3) )， 则r＝ eq \r( （－1）2＋（\r(3)）2) ＝2， 所以sin α＝ eq \f(\r(3),2) ，cos α＝－ eq \f(1,2) ，tan α＝－ eq \r(3) ； 在第四象限取直线上的点(1，－ eq \r(3) )， 则r＝ eq \r(12＋（－\r(3)）2) ＝2， 所以sin α＝－ eq \f(\r(3),2) ，cos α＝ eq \f(1,2) ，tan α＝－ eq \r(3) . [规律方法]　利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sin α＝ eq \f(b,\r(a2＋b2)) ，余弦值cos α＝ eq \f(a,\r(a2＋b2)) ，正切值tan α＝ eq \f(b,a) . (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． [触类旁通] 2．(2023·扬州高一期末)已知角α的终边经过点(m，－5)，cos α＝ eq \f(12,13) ，则tan α＝(　　) A．± eq \f(12,5) 　　　　　　 B．± eq \f(5,12) C．－ eq \f(5,12) D．－ eq \f(12,5) 解析　由题意cos α＝ eq \f(m,\r(m2＋25)) ＝ eq \f(12,13) ，解得m＝12，tan α＝ eq \f(－5,12) ＝－ eq \f(5,12) .故选C. 答案　C 题型三　三角函数值的符号的判断 　(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)判断下列各式的符号． ①sin 145°cos (－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. (1)[解析]　∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P在第四象限，故选D. [答案]　D (2)[解析]　①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0， ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos (－210°)＜0. ②∵ eq \f(π,2) ＜3＜π，π＜4＜ eq \f(3,2) π， eq \f(3π,2) ＜5＜2π， ∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. [素养聚焦]　利用三角函数的定义判断三角函数值的符号，关键是判断角所在的象限，体现了逻辑推理的核心素养． [规律方法]　三角函数值符号的判断问题 (1)由三角函数的定义sin α＝ eq \f(y,r) ，cos α＝ eq \f(x,r) ，tan α＝ eq \f(y,x) (r>0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键. (2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求． [触类旁通]　 3．(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)设 eq \f(α,2) 是第一象限角，且|cos α|＝－cos α，则α是第__________象限角． 解析　(1)∵P在第四象限，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tan α>0，,cos α<0，)) 可判断角α终边在第三象限．故选C. (2)∵ eq \f(α,2) 是第一象限角，∴2kπ< eq \f(α,2) < eq \f(π,2) ＋2kπ(k∈Z)， ∴4kπ<α<π＋4kπ(k∈Z)， ∴α是第一或第二象限角或终边在y轴的正半轴上． 又∵|cos α|＝－cos α，∴cos α<0， ∴α是第二或第三象限角，∴α是第二象限角． 答案　(1)C　(2)二 [缜密思维提能区]　易错案例 忽略对参数的讨论而致误 【典例】　已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)且cos θ＝ eq \f(\r(10),10) x，求sin θ，tan θ. [解析]　由题意知r＝|OP|＝ eq \r(x2＋9) ， 由三角函数定义得cos θ＝ eq \f(x,r) ＝ eq \f(x,\r(x2＋9)) . 又∵cos θ＝ eq \f(\r(10),10) x，∴ eq \f(x,\r(x2＋9)) ＝ eq \f(\r(10),10) x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝ eq \f(3,\r(12＋32)) ＝ eq \f(3\r(10),10) ，tan θ＝3. 当x＝－1时，P(－1，3)， 此时sin θ＝ eq \f(3,\r(（－1）2＋32)) ＝ eq \f(3\r(10),10) ，tan θ＝－3. [纠错心得]　当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 知识落实 技法强化 (1)三角函数的定义及函数值的求法． (2)特殊角的三角函数值． (3)三角函数值在各象限的符号． (1)常用方法：化归与转化法、分类讨论法． (2)注意：三角函数值的大小与角的终边有关，而与终边上的点无关． $$