7.1 第1课时 任意角（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

7.1　角与弧度 第1课时　任意角 第7章　三角函数 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 目 录 课前案 01 课堂案 02 课后案 03 CONTENTS 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 旋转 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 起始 终止 端点 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 α＋β α＋(－β) 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 第几象限角 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第7章　三角函数 数学·必修 第一册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1．了解角的概念． 2．掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义． 3．熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角． 1．通过角的相关概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过象限角、终边相同的角的表示，提升直观想象、逻辑推理等核心素养． [教材梳理] 导学1　角的分类 　当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？ 提示：旋转方向不同． 　在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？ 提示：顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°，顺时针方向旋转了900°. ◎结论形成 1．角的概念：一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置________到另一个位置所形成的图形． 2．角的构成：顶点，始边，终边．(如图) (1)始边：射线的________位置OA， (2)终边：射线的________位置OB， (3)顶点：射线的________O. 图中的角α可表示为“角α”或“∠α”或“α”． 3．角的分类 类型 定义 图示 正角 按__________________形成的角 负角 按__________________形成的角 零角 如果射线__________________，那么也把它看成一个角叫做零角 导学2　相反角和角的运算 　工人师傅用扳手紧螺丝时，第一次顺时针旋转了30°的角，第二次逆时针旋转了45°的角，一共旋转了多大的角？ 提示：－30°＋45°＝15°. ◎结论形成 1．相反角：把射线OA绕端点O按逆时针、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为相反角．角α的相反角记为－α. 2．角的运算 (1)角的加法：设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是__________． (2)角的减法：α－β＝________________，这样角的减法可以转化为角的加法． 导学3　象限角 　把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的正半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？ 提示：终边可能落在坐标轴上或四个象限内． ◎结论形成 1．前提：(1)角的顶点与坐标原点重合．(2)角的始边与x轴的正半轴重合． 2．结论：角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 导学4　终边相同的角 　在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正半轴重合”下，研究下列角：30°，390°，－330°. (1)这三个角的终边位置相同吗？ 提示：相同． (2)如何用含30°的式子表示390°和－330°？ 提示：390°＝1×360°＋30°，－330°＝－1×360°＋30°. (3)确定一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？ 提示：不唯一． ◎结论形成 与角α终边相同的角β＝k·360°＋α，k∈Z，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角．(　　) (2)终边相同的角一定相等．(　　) (3)锐角都是第一象限角．(　　) (4)第二象限角是钝角．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．下列说法正确的是(　　) A．终边相同的角一定相等 B．钝角一定是第二象限角 C．第一象限角一定不是负角 D．小于90°的角都是锐角 解析　因为钝角在(90°，180°)内，所以钝角一定是第二象限角． 答案　B 3．与600°角终边相同的角可表示为(　　) A．k·360°＋220°(k∈Z) B．k·360°＋240°(k∈Z) C．k·360°＋60°(k∈Z) D．k·360°＋260°(k∈Z) 解析　∵600°＝360°＋240°， ∴与600°终边相同的角可表示为k·360°＋240°(k∈Z). 答案　B 4．若角α＝30°，把角α逆时针旋转20°得到角β，则β＝__________． 解析　β＝30°＋20°＝50°. 答案　50° 题型一　与任意角有关的概念辨析 　(1)给出下列说法： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确命题的序号为____________； (2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是__________． [解析]　(1)锐角指大于0°小于90°的角，都是终边在第一象限的角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③④错误． (2)分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了－120°. [答案]　(1)①　(2)－120° [规律方法]　判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念． (2)技巧：确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小． [触类旁通]　 1．写出图(1)(2)中的角α，β，γ的度数． 解析　题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°； 题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°， γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°. 题型二　终边相同角的表示 　在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)[360°，720°)的角． [解析]　(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，由于－360°＜k·360°＋10 030°＜0°,得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°. (2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°. (3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°. [规律方法]　 1．常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍； (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍； (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角； (3)用不等式表示区域内的角，组成集合． [触类旁通]　 2．写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 －720°≤β＜360°的元素β写出来． 解析　由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}． ∵－720°≤β＜360°， 即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)， ∴3 eq \f(11,36) ≤k＜6 eq \f(11,36) (k∈Z).故k＝4，5，6. k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°； k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°； k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°. 题型三　区域角的表示 一题多变 　(1)－2 024°是第____________象限角． (2)如图所示． ①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． (1)[解析]　－2 024°＝－6×360°＋136°， 136°是第二象限角，所以－2 024°为第二象限角． [答案]　二 (2)[解析]　①终边落在OA位置上的角的集合 为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}， 终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}． ②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到 135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． [母题变式]　 1．(变条件)若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？ 解析　在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围是：150°≤α≤225°，则满足条件的角α为{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}． 2．(变条件)若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？ 解析　由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤ k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋ 60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}． [素养聚焦]　借助于图形表示终边相同的角，并且写出象限角，把直观想象等核心素养体现在解题过程中． [规律方法]　表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． [触类旁通] 3．(2024·扬州高一扬州中学期末)如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是____________． 解析　因为终边落在y轴上的角为90°＋k·180°，k∈Z， 终边落在图中直线上的角为120°＋k·360°＝120°＋2k·180°，k∈Z； 300°＋n·360°＝120°＋180°＋2n·180°＝120°＋(2n＋1)·180°，n∈Z， 即终边在直线上的角为120°＋k·180°，k∈Z， 所以终边落在阴影部分的角为90°＋k·180°≤α≤120°＋k·180°，k∈Z， 答案　{α|90°＋k·180°≤α≤120°＋k·180°，k∈Z} [缜密思维提能区]　易错案例 区域角的表示 【典例】　若角α的终边在下图中阴影所表示的范围内，则α角组成的集合为________________ . [解析]　在0°～360°范围内， 终边落在阴影范围内的角是 60°≤α≤150°， 故满足条件的角的集合为 {α|k·360° ＋60°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}. [纠错心得]　此题注意：(1)弄清角的始边与终边.(2)弄清逆时针还是顺时针． 知识落实 技法强化 (1)正角、负角、零角的概念． (2)终边相同的角的表示． (3)象限角、区域角的表示． (1)常用方法：数形结合、分类讨论． (2)常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z. $$