精品解析：江苏省徐州市铜山区2024-2025学年高二上学期学情调研（一）数学试卷

2024-2025高二第一学期学情调研（一）数学试题 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 过点且斜率为1的直线方程是（ ） A. B. C D. 2. 已知直线过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（ ）． A. B. C. D. 4. 若直线与直线平行，则实数a值为（        ） A. 0 B. 1 C. D. 5. 设，则直线：与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交或相切 D. 相交 6. 已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为两条不重合直线，则下列说法中正确的有（ ） A. 若斜率相等，则平行 B. 若平行，则的斜率相等 C. 若的斜率乘积等于，则垂直 D. 若垂直，则的斜率乘积等于． 10. 已知直线，其中，则（　  ） A. 当时，直线与直线垂直 B. 若直线与直线平行，则 C. 直线过定点 D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等 11. 已知圆：，下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 若，过的直线与圆相交所得弦长为，方程为 C. 若，圆与圆相交 D. 若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为______. 13. 直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形面积为______ 14. 已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是_________ 四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17 ）满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三个顶点的坐标分别是. （1）求的面积 （2）求外接圆的方程 16. 已知直线过点，且其倾斜角是直线倾斜角的 （1）求直线的方程； （2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程． 17. 在平面直角坐标系中，直线与交点为，以为圆心作圆，圆上的点到轴的最小距离为． （Ⅰ）求圆的标准方程； （Ⅱ）过点作圆的切线，求切线的方程． 18. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 19. 已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． （1）求圆的标准方程． （2）若 是圆C上任意一点，求的取值范围 （3）已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二第一学期学情调研（一）数学试题 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 过点且斜率为1的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程的点斜式可直接写出方程，化简即可. 【详解】根据题意可得直线为，化简得. 故选：D 2. 已知直线过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再求出倾斜角. 【详解】依题意，直线的斜率，所以直线的倾斜角为. 故选：C 3. 圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆心为，则圆的方程为，再根据圆过点，求出的值，即可得解. 【详解】依题意设圆心为，则圆的方程为， 又，解得，所以圆的方程为. 故选：D 4. 若直线与直线平行，则实数a的值为（        ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，解出来并检验即可. 【详解】由题意得，，解得，当时，两直线均为（重合），经检验满足题意. 故选：B. 5. 设，则直线：与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交或相切 D. 相交 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线恒过的定点，根据定点与圆的关系可得答案. 【详解】因为，所以，即直线恒过定点； 因为点恰在上，所以直线和圆的位置关系是相交或相切. 故选：C. 6. 已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 作出图形，可知点、在直线的同侧，并求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出的最小值为. 【详解】如下图所示： 由图形可知，点、在直线的同侧，且直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为点，则， 解得，，即点， 由对称性可知， 故选：D. 【点睛】本题考查位于直线同侧线段和的最小值的计算，一般利用对称思想结合三点共线求得，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 7. 已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，再结合图形即可得解. 【详解】因为，， 所以直线的斜率分别为， 由图形知，当或，即或时，直线l与线段AB相交， 所以直线与线段不相交时，直线l斜率k的取值范围为. 故选：A. 8. 若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出与直线平行且到直线的距离为的直线的方程分别为、，由题意可知，这两条直线与圆都相交，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径为， 设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为， 则，解得或， 所以，直线、均与圆相交， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ） A. 若斜率相等，则平行 B. 若平行，则的斜率相等 C. 若的斜率乘积等于，则垂直 D. 若垂直，则的斜率乘积等于． 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两直线平行或垂直与斜率之间的关系逐项判断即可得出结论. 【详解】根据两直线的位置关系可知若斜率相等，则平行； 若平行，当都与轴平行时，的斜率不存在，即可得A正确，B错误； 易知若的斜率乘积等于，则垂直； 若垂直,当与轴平行，与轴平行时，直线的斜率为，的斜率不存在，即可得C正确，D错误； 故选：AC 10. 已知直线，其中，则（　  ） A. 当时，直线与直线垂直 B. 若直线与直线平行，则 C. 直线过定点 D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【解析】 【分析】计算直线斜率判断A；由平行求出参数值判断B；求出直线过的定点判断C；求出直线的截距判断D. 【详解】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为， 因此当时，直线与直线垂直，A正确； 对于B，若直线与直线平行，则，解得或，B错误； 对于C，当时，，与无关，则直线过定点，C正确； 对于D，当时，直线方程为，在两坐标轴上的截距分别是，1，不相等，D错误. 故选：AC 11. 已知圆：，下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 若，过的直线与圆相交所得弦长为，方程为 C. 若，圆与圆相交 D. 若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆的一般方程可判断A；利用点到直线的距离为可判断B；时很容易判断C；直线恒过圆的圆心，可得，利用基本不等式可判断D. 【详解】对于A，方程表示圆可得，解得，故A正确； 对于B，若，可得圆方程：， 过的直线与圆相交所得弦长为， 则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，，满足条件，故B不正确； 对于C，，，圆心，半径为，故C正确； 对于D，直线恒过圆的圆心， 可得，， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为______. 【答案】4 【解析】 【分析】先根据点到直线的距离求出弦心距，然后利用弦，弦心距和半径的关系可求得结果. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以所求弦长， 故答案为：4 13. 直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成三角形面积为______ 【答案】9 【解析】 【分析】根据直线垂直求出直线的方程，再求出直线与坐标轴的交点，进而可得与坐标轴围成的三角形面积. 【详解】直线过点且与直线垂直，直线的斜率为，得直线的斜率为2， 故直线的方程为，即， 当时，，当时，， 所以直线与坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：9 14. 已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是_________ 【答案】或． 【解析】 【分析】根据切线夹角分析出，由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得． 【详解】圆，则圆心为，半径， 设两切点为，则，因为，在中，，所以, 因此只要直线上存在点，使得即可满足题意． 圆心，所以圆心到直线的距离，解得或． 故答案为：或． 四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17 ）满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三个顶点的坐标分别是. （1）求的面积 （2）求外接圆的方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用斜率可得，则，由已知数据求解即可； （2）由，外接圆是以线段为直径的圆，求出圆心和半径即可得外接圆的方程. 【小问1详解】 三个顶点的坐标分别是， 直线的斜率，直线的斜率， 则，即. ，， . 【小问2详解】 由，外接圆是以线段为直径的圆， 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 16. 已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的 （1）求直线的方程； （2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）先求得直线的倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率，进而求得直线的方程； （2）设出直线的方程，根据点到直线的距离列方程，由此求解出直线的方程． 【详解】解（1）直线的倾斜角为， ∴直线的倾斜角为，斜率为， 又直线过点， ∴直线的方程为，即； （2）设直线的方程为，则点到直线的距离 ， 解得或 ∴直线的方程为或 17. 在平面直角坐标系中，直线与的交点为，以为圆心作圆，圆上的点到轴的最小距离为． （Ⅰ）求圆的标准方程； （Ⅱ）过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或． 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出点的坐标，设圆的半径为，圆上的点到轴的最小距离为1求得的值，由此可得出圆的标准方程； （Ⅱ）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，当切线的斜率不存在时，可得切线方程为，验证即可；当切线的斜率存在时，可设所求切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径可求得的值，综合可得出所求切线的方程. 详解】（Ⅰ）联立方程组，解得，即点． 设圆的半径为，由于圆上的点到轴的最小距离为，则，所以， 故圆的标准方程为； （Ⅱ）若切线的斜率不存在，则所求切线的方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意； 若切线的斜率存在，可设切线的方程为，即， 圆的圆心坐标为，半径为，由题意可得，整理得， 解得或． 故所求的切线方程为或． 【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，同时也考查了过圆外一点的圆的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题. 18. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0． 【解析】 【分析】（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点； （2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）证明： 直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）． （2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上截距为，在y轴上的截距为1＋2k， ∴A，B（0，1＋2k）． 又且1＋2k＞0， ∴k＞0． 故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，取等号． 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0． 19. 已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． （1）求圆的标准方程． （2）若 是圆C上任意一点，求的取值范围 （3）已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意圆心坐标为，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径，从而可得出答案. （2）若 是圆C上任意一点，则表示圆上任意一点到点距离的平方，画出图可知最大值为，最小值为，然后求解取值范围即可. （3）设，，分别表示出，由为定值得出答案. 【小问1详解】 依题可设圆心坐标为， 则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆的标准方程为. 【小问2详解】 若 是圆C上任意一点， 则表示圆上任意一点到点距离的平方， 所以的最大值为， 的最小值为： ， 所以的取值范围为： 【小问3详解】 假设存在定点，设， ， 则， 则，当，即，（舍去）时，为定值， 且定值为，故存在定点，且的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$