专题15 函数的单调性、奇偶性、对称性的应用（4大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题15 函数的单调性、奇偶性、对称性的应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、函数的单调性 2 题型二、函数的奇偶性 3 题型三、函数的对称性 4 题型四、函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用 5 压轴能力测评（12题） 6 一、函数的单调性 （1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数； （2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有 ，那么就说函数在区间上是减函数. 二、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 三、函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 【常用结论】 1.奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； （2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. 2.对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 【题型一 函数的单调性】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 2．（23-24高一上·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数的定义域为. 是上的严格增函数； 任意，都有，且当时，恒有； ：当时，都有； 下列关于的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．都是 B．是，不是 C．不是，是 D．都不是 8．（23-24高一下·上海·期中）已知二次函数，，，若且，则下列说法正确的是（    ） A．对任实数，均有 B．对任意满足实数，均有 C．对任意满足的实数，均有 D．存在实数，使得 【题型二 函数的奇偶性】 一、单选题 1．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 2．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，且.有下列四个结论： ① ②为偶函数 ③ ④在区间上单调递减 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 二、多选题 3．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知定义在上的函数满足为奇函数且，以下说法一定正确的是（    ） A． B．，都有，且 C． D． 4．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．为奇函数 D． 三、填空题 5．（23-24高一上·湖北·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则求出函数的图象的对称中心为 ；类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论是 . 6．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 【题型三 函数的对称性】 一、单选题 1．（23-24高一上·北京大兴·期中）定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江丽水·期末）已知函数的定义域为，的图象关于中心对称，是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）设函数，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高二下·山东青岛·期末）定义在上的两个函数和，已知，.若图象关于点对称，则 . 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知定义在R上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有； ②函数的图象关于直线对称； ③对于任意的，且．则，，的大小顺序是 ．（用“”连接） 【题型四 函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用】 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·三模）已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B．105 C．210 D．225 3．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（22-23高二下·浙江温州·期末）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（    ） A．的图象关于对称 B． C．在上的最小值是-2 D．不等式的解集为 5．（25-26高一上·全国·单元测试）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 三、填空题 6．（24-25高三上·福建龙岩·开学考试）已知函数在其定义域内为偶函数，且，则= . 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知为上的减函数，设函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）函数，对任意，且，都有，则的范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）设函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且图象过原点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（   ） A． B．函数有对称中心 C．函数为奇函数 D．函数为减函数 9．（23-24高一上·湖南郴州·期末）已知函数满足当时，，且对任意实数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．或1 C．函数为非奇非偶函数 D．对任意实数满足 10．（23-24高一上·河南开封·期中）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．若，则 D．若当时，，则在单调递减 三、填空题 11．（24-25高一上·上海·课后作业）已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为 函数． 12．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则x的取值范围为 ． 14．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 15．（24-25高一上·全国·课前预习）设函数若存在，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 16．（2023·河南周口·模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为 ．（用区间表示） 17．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 . 18．（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知函数的定义域，对，，都有，且对，都有.若，则的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 函数的单调性、奇偶性、对称性的应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、函数的单调性 2 题型二、函数的奇偶性 7 题型三、函数的对称性 10 题型四、函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用 13 压轴能力测评（12题） 17 一、函数的单调性 （1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数； （2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有 ，那么就说函数在区间上是减函数. 二、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 三、函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 【常用结论】 1.奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； （2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. 2.对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 【题型一 函数的单调性】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【答案】B 【分析】利用函数单调性的定义即可判断. 【详解】任取，令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以在上单调递增. 故选：B. 2．（23-24高一上·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】读懂题意，能把变形为，得出为单调递增函数，再利用函数的单调性求解． 【详解】函数是定义域为，且对，且，有， 即， 为单调递增函数， ， 整理得到：， 为单调递增函数， 解得：， 故选：C． 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性的定义，可判断在单调递减， 再根据反比例函数的性质即可得到或，从而求出的取值范围. 【详解】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或. 故选：A. 4．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，由单调性的定义可判断得在上单调递增，再将题设不等式转化为，利用的单调性即可求解. 【详解】令， 因为对，且，都有，即成立， 不妨设，则，故，则， 即，所以在上单调递增，又因为，所以， 故可化为，所以由的单调性可得， 即不等式的解集为. 故选：A. 5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可. 【详解】任取， 从而 , 因为，所以， 所以， 则在R上单调递增． 不等式等价于不等式 ， 即． 因为在R上单调递增， 所以，解得． 故选：A. 6．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 7．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数的定义域为. 是上的严格增函数； 任意，都有，且当时，恒有； ：当时，都有； 下列关于的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．都是 B．是，不是 C．不是，是 D．都不是 【答案】B 【分析】根据题意，对于：先分析函数的奇偶性，结合奇偶性、单调性的定义分析可得是的充分条件；对于，利用单调性的定义，据反例可得不是的充分条件；综合可得答案． 【详解】根据题意，对于：任意，，都有， 令，则有， 再令，有，变形可得， 则函数为奇函数； 设，有， 则有， 必有， 故函数是上的严格增函数， 则是的充分条件； 对于，例如，当，满足时，都有；但不是单调递增函数，故不是的充分条件； 故选：B． 8．（23-24高一下·上海·期中）已知二次函数，，，若且，则下列说法正确的是（    ） A．对任实数，均有 B．对任意满足实数，均有 C．对任意满足的实数，均有 D．存在实数，使得 【答案】B 【分析】由题意可知， 化简得，根据与的大小关系确定的范围判断各个选项. 【详解】 对称轴为 ， ， 令 ， 则 ， ， ， ， ， ， 正确，C错误， 对A：，故A错误， 对D: ，故不存在实数，使得，D错误. 故选：B. 【题型二 函数的奇偶性】 一、单选题 1．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】根据题意，令、取特殊值逐一验证四个选项即可. 【详解】令，则，故，A选项错误； 令，则，故，B选项错误； 令，则，故为偶函数，C选项正确； 因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误. 故选：C 2．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，且.有下列四个结论： ① ②为偶函数 ③ ④在区间上单调递减 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】B 【分析】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】令，则，则，故①错误； 令，则，所以为偶函数，故②正确； 令，则，即， 则，故， 则，故，故③正确； 由为偶函数，可知的图像关于对称，由，可知的图像关于对称，故在区间上不单调，故④错误； 故选：B 二、多选题 3．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知定义在上的函数满足为奇函数且，以下说法一定正确的是（    ） A． B．，都有，且 C． D． 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义以及赋值法求解. 【详解】对于选项，因为为奇函数，所以，则正确，错误； 由可知，令，则，则正确，错误； 故选：AD. 【点睛】结论点睛：若是奇函数，则，若是偶函数，则. 4．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．为奇函数 D． 【答案】AC 【分析】抽象函数问题借助赋值法即可得. 【详解】令，则，A正确； 令，则，即， 令，则，即，B错误； 令，则， 又因为的定义域为，所以为奇函数，正确； 令，，得， 则，D错误. 故选：AC. 三、填空题 5．（23-24高一上·湖北·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则求出函数的图象的对称中心为 ；类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论是 . 【答案】 的图像关于对称的充要条件是为偶函数 【分析】根据函数为奇函数，即可求解，根据偶函数的定义，并且类别推广，即可求解推广结论. 【详解】为奇函数，所以且 所以，， 所以函数的图象的对称中心为； 若函数关于对称，则为偶函数， 因为若为偶函数，则，即函数关于对称， 反过来若函数关于对称，则，即为偶函数， 综上可知，命题的推广结论为“的图像关于对称的充要条件是为偶函数”. 故答案为：； 的图像关于对称的充要条件是为偶函数 6．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据题意得出函数的性质，并画出满足题意的一个大致图象；再根据图象即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下：    由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故答案为： 【题型三 函数的对称性】 一、单选题 1．（23-24高一上·北京大兴·期中）定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性和对称性求解即可. 【详解】因为对任意恒成立， 所以函数关于对称， 所以， 又因为函数在上是增函数， 所以， 所以. 故选：A 2．（23-24高二下·浙江丽水·期末）已知函数的定义域为，的图象关于中心对称，是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性定义，再加赋值可解. 【详解】的图象关于中心对称，则（∗）； 是偶函数，则， 则的图象关于轴对称，则（∗∗）； 令代入（∗）得，，解得，代入 （∗∗）得到. 故选：D. 3．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）设函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件易知函数关于点中心对称，结合奇偶性及平移变换列方程组分别求得，从而得到的值. 【详解】因为， 所以函数的图象关于点对称， 因为函数为奇函数，即关于对称， 所以根据平移变换得 函数， 所以， 解得， 所以. 故选：C. 4．（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由为奇函数可得，即可得，由为偶函数，则有，即可得，即有. 【详解】由为奇函数，则有， 则，即， 由为偶函数，则有，即， 则，即， 即，故D正确； A、B、C都不能得到，故A、B、C错误. 故选：D. 二、填空题 5．（23-24高二下·山东青岛·期末）定义在上的两个函数和，已知，.若图象关于点对称，则 . 【答案】3 【分析】因为图象关于点对称，所以，所以，再利用求出即可. 【详解】函数的定义域为，且图象关于点对称，所以，所以， 又，当时，，所以. 故答案为：3. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知定义在R上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有； ②函数的图象关于直线对称； ③对于任意的，且．则，，的大小顺序是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】由条件②可得，结合条件①可得；由条件③可得在单调递减,结合条件②可得在上单调递增，结合单调性可以得到函数值的大小顺序. 【详解】由条件②函数的图象关于直线对称，所以， 由①，可得， 因为，即， 所以，所以， 由③知，所以函数在上单调递减， 由条件②函数的图象关于直线对称， 所以在单调递增， 所以，即． 故答案为： 【题型四 函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用】 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对任意满足得出的对称轴为直线，结合函数在上单调递减得出在上单调递增，根据对称性及单调性求解不等式即可． 【详解】因为对任意满足，所以的对称轴为直线， 又函数在上单调递减，所以在上单调递增， 所以，解得， 故选：B． 2．（2024·陕西西安·三模）已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B．105 C．210 D．225 【答案】C 【分析】根据题意，由奇函数的性质以及，分析可得，求出，，即可求解. 【详解】因为是奇函数，所以．由，可得，则． 因为是奇函数，所以，则，，，，又，则，，，， 所以． 故选：C 3．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案. 【详解】因为数满足. 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数. 又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由图知：. 故选：D. 二、多选题 4．（22-23高二下·浙江温州·期末）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（    ） A．的图象关于对称 B． C．在上的最小值是-2 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】对于A，取求得，再取，推出，即得结论；对于B，利用函数单调性定义，借助于条件，即可推出是上的增函数，排除选项；对于C，利用函数单调性求出的值即得；对于D，不断运用题设等式，将其转化成，利用函数单调性即可求解. 【详解】对于A，因，则有， 令，则得，，即得， 令，则，即， 故的图象关于对称，即A正确； 对于B，则，由②可得，， 而由①，， 故得，即，故是上的增函数，即，故B错误； 对于C，由B可得，在上为增函数， 故，即C正确； 对于D，由可得， 即（*）， 因， 代入（*）式，可得，， 由B知，是上的增函数，故得，解得，，故D正确. 故选：ACD. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 【答案】ABC 【分析】根据函数的奇偶性结合函数的对称性结合函数的单调性分别判断各个选项即可. 【详解】令，因为是奇函数， 所以， 即的图象关于点对称． 令，因为是偶函数， 所以， 即的图象关于直线对称． A选项，由，令，可得， 由，令，可得，故A正确． B选项，由，令，可得，故B正确． C选项，由，令，可得，故C正确． D选项，由在上单调递减，结合的图象关于点对称，可知在上单调递减， 由可知在上单调递减，又的图象关于直线对称，则在上单调递增，故D错误． 故选:ABC． 三、填空题 6．（24-25高三上·福建龙岩·开学考试）已知函数在其定义域内为偶函数，且，则= . 【答案】 【分析】由偶函数的性质和可得，，可求出，计算，求解即可. 【详解】因为的定义域为R，且为偶函数， 所以，即，即.    所以. 又因为，即，所以. 因为， 所= 故答案为：. 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出的值，由二次函数的性质分析的单调性，进而分析的对称性和单调性，由此分析可得答案. 【详解】根据题意，数是定义在上的偶函数， 则有，解可得， 则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数， 又，函数的对称轴为，且在上为减函数， 则有， 即. 故选：D. 2．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解. 【详解】由得，的图象关于直线对称， 令，则是偶函数，又当时，恒有， 故在上单调递减，所以在上单调递减， 则， 即得 解得或. 故选：C. 3．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可得出答案. 【详解】因为在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且， 所以当时，， 当时，. 所以由可得：或或, 解得或或，即或. 所以满足的的取值范围是. 故选：D. 4．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知为上的减函数，设函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出的奇偶性，再根据函数的单调性即可求解. 【详解】解：由题意知：的定义域为，关于原点对称， 当时，，， 则， 当，， 当时，，， 则， 故为偶函数， 又 为上的减函数， 在上单调递减，在上单调递增， ， ，即，解得：. 故选：B. 5．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）函数，对任意，且，都有，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设任意，且，构造函数得到在为增函数，从而得到，恒成立，即可得到答案。 【详解】设任意，不妨令，都有， 等价于任意，且，都有， 等价于任意，且，都有， 设，，则函数在为增函数， 则，恒成立。 等价于，恒成立。 因为在为减函数，所以，即. 故选：D 6．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由题设可得该函数为上的增函数且为奇函数，而原不等式可化为，故可求不等式的解. 【详解】设，则， 其定义域为，定义域关于原点对称，故为上的奇函数， 不妨设，故，即， 故为上的增函数，故为上的增函数. 又 ， 故即，所以， 故，故原不等式的解集为. 故选：B. 7．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）设函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且图象过原点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的对称性和单调性，再结合函数的零点，即可求解不等式. 【详解】函数向右平移1个单位得到函数， 由题意可知，函数关于直线对称，函数的定义域为， 因为在区间上是减函数，所以在区间上是增函数， 且，根据对称性可知，，在区间， 在区间，， 上图是满足函数性质的图象， 不等式，等价于或，即或， 得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 二、多选题 8．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（   ） A． B．函数有对称中心 C．函数为奇函数 D．函数为减函数 【答案】ABC 【分析】令，可得，再令，判断选项A；令，即可判断选项B；由，判断选项C；令,利用函数的单调性定义进行判断选项D. 【详解】由对于任意实数， ， 令，则，即, 再令,则， 即，故A正确; 令，则，即，故B正确； 由，则，即是奇函数，故C正确； 对于任意,则，当时，，则，所以单调递增，即单调递增，故D错误. 故选：ABC 9．（23-24高一上·湖南郴州·期末）已知函数满足当时，，且对任意实数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．或1 C．函数为非奇非偶函数 D．对任意实数满足 【答案】ACD 【分析】对于A，由函数单调性定义可判断正误； 对于B，令，可判断正误； 对于C，由A，B选项分析可判断正误； 对于D，利用做差法及可判断正误. 【详解】对于B，令，，得， 由题意知，所以，故B错误； 对于A，当时，，则， 又，则当时，，即对任意，. 取任意且，则，得， 则 即，所以是上的增函数，故A正确； 对于C，由是上的增函数且，可知为非奇非偶函数，故C正确； 对于D，注意到， 同理，则， 又，且，则 ，即， 故D正确. 故选：ACD. 10．（23-24高一上·河南开封·期中）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．若，则 D．若当时，，则在单调递减 【答案】ABD 【分析】令即可判断A；令，求出，再令，即可判断B；令即可判断C；由，得，再根据函数单调性定义即可判断D. 【详解】因为， 令，得，所以，故A正确； 令，得， 所以，令，得，又， 所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故B正确； 令，得， 又，所以，故C错误； 当时，由， 可得，又， ，在上任取，不妨设， ， ， 故在单调递减，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对和准确的赋值以及对单调性定义计算的精简. 三、填空题 11．（24-25高一上·上海·课后作业）已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为 函数． 【答案】奇 【分析】根据奇偶函数的定义即可判断 【详解】因为是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是， 则的定义域为，关于原点对称， 且， 所以， 所以为奇函数， 故答案为：奇. 12．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据题意得出函数的性质，并画出满足题意的一个大致图象；再根据图象即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下：    由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故答案为： 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意分析可知：是偶函数，且在内单调递增，在内单调递减，进而可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为， 若，则，可得； 同理可得：当时，； 且时，； 综上所述：是偶函数． 因为开口向上，且对称轴为， 可知函数在内单调递增，则函数在内单调递减， 则不等式等价于， 即，整理得，解得或， 所以x的取值范围为. 故答案为：. 14．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 【答案】或 【分析】结合的奇偶性与增减性，可得函数的对称性与单调性，结合对称性与单调性的性质计算即可得解. 【详解】由函数为偶函数，故，即， 则的图象关于对称，由在上为增函数， 则，即在上为增函数，则在上为减函数， 则对可得，即， 则，化简得，即或. 故答案为：或. 15．（24-25高一上·全国·课前预习）设函数若存在，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的对称性以及函数的图象来求得的取值范围. 【详解】若， 则函数的图象关于直线对称． 在同一直角坐标系中画出函数和的图象， 如图所示．若存在，使得，则． 故答案为： 16．（2023·河南周口·模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为 ．（用区间表示） 【答案】 【分析】根据题意，得到的图象关于对称，且在上单调递减，结合，得到，结合图象，即可求得不等式的解集. 【详解】由函数是定义在R上的偶函数，可得函数的图象关于对称， 又由函数在上单调递增，可得函数在上单调递减， 因为，可得， 所以，当时，；当时，；当时，， 对于不等式，如图所示，    当时，可得，解得； 当时，可得，解得， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 17．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】依题意不妨令，即可得，令，，即可得到在上单调递增，再由及奇偶性得到在上的取值情况，从而得到的解集. 【详解】因为对任意的、且，都有成立， 不妨令，则，即， 所以， 令，， 则当且时，， 所以在上单调递增， 又函数是定义域为的奇函数且，则， 所以，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 又为奇函数，所以当时，，当时，， 所以不等式的解集是. 故答案为： 18．（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知函数的定义域，对，，都有，且对，都有.若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别令，，，可求出，即可判断函数的奇偶性，再根据对，都有可判断函数在上的单调性，即可得出函数在上单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】在中， 令，得， 令，得， 令，，得， 又的定义域为，所以为偶函数， 又对，都有， 即对，都有， 所以在上为减函数，所以在上为减函数， 又，，为偶函数， 所以，解得或， 所以的取值范围为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$