精品解析：四川省平昌中学等校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

四川省平昌中学高2023级第三学期入学考试试题 数学 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3、回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 设集合则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，若为实数，为纯虚数，则（ ） A. 6 B. C. 2 D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知一个样本容量为7的样本的平均数为6，方差为2，现在样本中插入三个新数据5，6，7，若新样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，点D为AC的中点，交AB于E，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 点为正方形内一点，当平面时，的最小值为 D. 过点、、的平面截正方体所得的截面周长为 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖 D. 任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是 10. △ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. ，则△ABC是锐角三角形 B. 若，则△ABC是直角三角形 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD中点O为圆心，OA为半径的半圆上，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡上． 12. 已知向量，，，与平行，则实数______. 13. 已知，对任意，都有成立，则实数的取值范围是___________ 14. 已知为方程的两个实数根，且，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 15. 为了落实习主席提出的“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，平昌县政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）直方图中a的值； （2）由频率分布直方图估计平昌县居民月用水量的平均数是多少； （3）若平昌县政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），求x的估计值． 16. 如图所示，在三棱锥中，． （1）求证：； （2）若点D为AP的中点，且，求二面角的大小． 17. 如图所示，在中，，点D，E分别在AB，AC上且满足，P为线段DE上一动点． （1）若，求的值； （2）求的最小值． 18. 在中，角所对的边分别为，，，，且． （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 19. 已知函数； （1）判断函数奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数； （3）若函数的定义域为[，]，值域为，，并且在，上为减函数．求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省平昌中学高2023级第三学期入学考试试题 数学 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3、回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 设集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出集合、后，借助补集定义与交集定义计算即可得. 【详解】由可得，即， 由可得或， 即或，则， 则. 故选：D. 2. 复数，若为实数，为纯虚数，则（ ） A. 6 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数的加减运算求、，根据实数、纯虚数定义求参数，进而求出即可. 【详解】因为， 所以为实数， 则，即， 为纯虚数， 则，即， 所以. 故选：B. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断可得. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题， 则命题“”的否定为“”， 故选：A. 4. 已知平面，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案． 【详解】因为， 对于A，若，则有可能在平面内，故A错误； 对于B，若，又，则，又，所以或在平面内，故B错误； 对于C，若，则有可能与平面相交但不垂直，故C错误； 对于D，若，则，又，则，故D正确． 故选：D 5. 已知一个样本容量为7的样本的平均数为6，方差为2，现在样本中插入三个新数据5，6，7，若新样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差公式运算求解.. 【详解】设原样本的7个数据分别为，，…，， 插入的三个新数据分别为，，， 由题意得，， 所以， ， 故选：A． 6. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及函数值确定正确答案. 【详解】因为， ，所以是奇函数，图象关于原点对称，由此排除AC选项. 当时，，排除B选项，所以D选项正确. 故选：D 7. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，点D为AC的中点，交AB于E，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出．根据已知条件可以确定，并求出它们的表达式，在中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出的大小，最后求出面积． 【详解】，由得， 由余弦定理得， ，. 连接，如下图：是的中点，，， ， 在中，由正弦定理得， ，， ，， ，，， ，， . 故选：C. 8. 在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 点为正方形内一点，当平面时，的最小值为 D. 过点、、的平面截正方体所得的截面周长为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：转化为长方体的外接球分析运算；对于B：根据异面直线夹角分析运算；对于C：根据面面平行分析判断；对于D：根据平行关系求截面，进而可得周长. 【详解】对于A：三棱锥的外接球即为以、、为邻边的长方体的外接球， 因为，， 可得外接球的半径， 所以外接球的表面积，故A正确； 对于B：因为，则异面直线与所成角为，且，， 可得，所以， 所以，异面直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C：取、、的中点、、，连接、、、，， 由题意可得：，，则为平行四边形，所以， 因为四边形为正方形，、分别为、的中点，则，， 所以，四边形为平行四边形，所以，，， 又因为，，可得，， 则为平行四边形，所以，可得， 因为平面，平面，则平面， 因为，，则四边形为平行四边形，则， 因为、分别为、的中点，则，同理可得，则，可得， 因为平面，平面，则平面， 因为，、平面，所以平面平面， 则点P在线段上，可得， ， 所以当点P为线段的中点时，， 取到最小值，且最小值为，故C正确； 对于D：连接、， 因为、为、的中点，则， 又因为，，则为平行四边形，可得， 则， 过作，设，，则， 可得，， 连接、，设，，连接、， 可得过点、、的平面截正方体所得的截面为五边形， 因为，则，， 可得，，， 所以截面周长为，故D错误； 故选：D. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖 D. 任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据事件发生的随机性可以判断A,C选项，根据频率与概率的关系可以判断B选项,应用古典概型判断D选项. 【详解】随机事件的不确定性可以确定A,C选项错误， 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 ，B选项正确； 任意投掷两枚质地均匀的骰子基本事件有36种情况， 点数和是3的倍数的情况有12个基本事件,概率是 ，故D选项正确. 故选：BD. 10. △ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. ，则△ABC是锐角三角形 B. 若，则△ABC是直角三角形 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平面向量数量积的定义可判断A；由同角三角函数和正弦定理可判断B；由正弦函数的性质可判断C；由两角和的正切公式，正弦函数的性质和诱导公式可判断D. 【详解】选项A，因为， 所以，因为，所以为钝角，故是钝角三角形，故A错误； 选项B，因为， 所以，化简得：， 由正弦定理得：，所以为直角三角形，故B正确； 选项C，因为，所以，可得：， 又因为在上单增，所以， 所以，故C正确； 选项D，因为，所以为锐角， 又因为，所以为锐角， 所以，可得，所以 同理可得：． 所以，所以，故D正确． 故选：BCD. 11. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD中点O为圆心，OA为半径的半圆上，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于B，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于ACD，以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算结合三角函数的性质即可判断. 【详解】对于B，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上， 所以在边长为3的等边三角形ABC中，， 则，故B正确； 对于C，如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 则， 因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上， 所以点的轨迹方程为，且在轴的下半部分， 设， 则， 所以， 因为，所以，所以， 所以，即，故C正确； 对于A，因为， 所以， 即， 所以，， 所以，， 则， 因为，所以，所以， 所以，即，故A错误； 对于D，由， 因为，所以当时，取得最大值，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适平面直角坐标系，再设，从而写出相关向量，计算其数量积，并结合三角函数的性质得到其范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡上． 12. 已知向量，，，与平行，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件求出向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】因为，，则， 又因，与平行，于是得，解得. 故答案为：. 13. 已知，对任意，都有成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】 可判断在上单调递增，列出式子即可求解. 【详解】对任意，都有成立， 在上单调递增， ，解得. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围，需满足分段函数每部分分别单调，还应注意在分段处的函数值大小问题，这是容易漏掉的地方. 14. 已知为方程的两个实数根，且，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，然后利用判别式求得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】因为不是方程的根，且， 所以是两个不相等的非零实数根，①， 依题意，，解得或， 所以，或， 当时，①符合， ，整理得②， 由于此方程有解，所以， 即，解得， 的最大值为，不满足②，舍去. 当时，①符合， ，整理得，③， 由于此方程有解，所以， 即，解得（舍去）， 的最大值为，代入③得，则. 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根与系数关系、三角恒等变换中的两角和的正切公式、一元二次方程判别式.一个一元二次方程有两个不相等的实数根，则，有实数根，则，在具体问题中，要加以区分. 四、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 15. 为了落实习主席提出的“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，平昌县政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）直方图中a的值； （2）由频率分布直方图估计平昌县居民月用水量的平均数是多少； （3）若平昌县政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），求x的估计值． 【答案】（1） （2）（吨） （3）5.8（吨） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中长方形的面积和为1列式计算即可； （2）由频率分布直方图中平均数的求法计算即可； （3）先由频率之和判断在中，由此即可求出的值. 【小问1详解】 由题意可得， 解得. 【小问2详解】 （吨）. 【小问3详解】 因为的频率为， 的频率为， 故的估计值为（吨）， 所以85%的居民每月的用水量不超过标准（吨）. 16. 如图所示，在三棱锥中，． （1）求证：； （2）若点D为AP的中点，且，求二面角的大小． 【答案】（1） 如图所示，取的中点，分别连接， 在中，因为，可得， 在中，因为，可得， 又由，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，得到和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得. （2）由，证得，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，得到，再求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为且，所以， 又因为，所以， 因为，即， 以点为坐标原点，以所在的直线分别为和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，可得， 设，因为，可得，即，则， 则且, 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则为锐角， 可得， 所以二面角的大小为. 17. 如图所示，在中，，点D，E分别在AB，AC上且满足，P为线段DE上一动点． （1）若，求的值； （2）求的最小值． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三点共线，可设（），由向量的减法可得，再以为基底表示，结合可得的值. （2）把用表示，可得关于的二次式，再利用二次函数的值域问题求解. 【小问1详解】 因为，. 因为三点共线，可设（）. 所以， 又，所以， 所以. 【小问2详解】 由题意知：，，. （）. 当时，取得最小值，为：. 18. 在中，角所对的边分别为，，，，且． （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等价于，化简后利用余弦定理即可求出角的值; （2）利用正弦定理用角表示出，根据角的取值范围，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为，，且， 所以 利用正弦定理化简得：即， 由余弦定理可得， 又因为，所以； 【小问2详解】 由（1）得，即， 又因为三角形为锐角三角形，所以解得：， 因为，由正弦定理得： 所以，， 所以 因为，所以， 所以则的取值范围为 19. 已知函数； （1）判断函数奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数； （3）若函数的定义域为[，]，值域为，，并且在，上为减函数．求的取值范围； 【答案】（1）奇函数；（2）；（3） 【解析】 【详解】试题分析：（1）判断函数的奇偶性，先判断函数的定义域若关于原点对称，再判断的关系若是偶函数，是奇函数，否则是非奇非偶函数，（2）求反函数即把x换成y,y换成x求得x换成y，求出解析式即可（3）利用函数的单调性得出的取值范围及方程有两个实数根，再进行转化，由一元二次方程根与系数的关系得到的取值范围 试题解析：（1）定义域为关于原点对称，又， 所以为奇函数 （2） （3）按题意，得 ∴即 又 ∴ 关于x的方程． 在（2，＋∞）内有二不等实根、．关于的二次方程 在（2，＋∞）内有二异根、 ． 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $